Base ortonormale di autovettori
Ciao a tutti. Ho un dubbio riguardo ad un punto fondamentale della geometria da me affrontata (geometria per la laurea in Fisica): data una matrice $A in M_n (RR)$, si possono trovare i suoi autovalori risolvendo l'equazione caratteristica data da $det(A-kI_n)=0$, e da qui si possono determinare gli autospazi relativi ad ogni autovalore $k$. Si può inoltre dimostrare che gli autovalori che generano i diversi spazi sono tra loro linearmente indipendenti e quindi formano una base $beta$ per $RR^n$, ed inoltre si ha che la matrice $B$ che contiene gli autovalori lungo la diagonale (ripetendo ogni autovalore a seconda della sua molteplicità algebrica) è tale che $B=M^-1*A*M$, dove $M$ è la matrice che contiene, in colonna, le componenti di ogni autovettore nella colonna colonna corrispondente al relativo autovalore.
Non è però detto che questa base $beta$ sia ortogonale (in generale non lo è), mentre spesso negli esercizi si richiede di trovare una matrice $C$ di vettori che costituiscono una base ortonormale per $RR^n$, in modo che $B=C^-1*A*C$... Io ho pensato di trovare una base ortonormale partendo da $beta$ con il metodo di Gram-Schmidt, e negli esercizi il risultato sembra essere ottenuto in effetti in questo modo, ma non capisco il perchè questo sia possibile... sarei molto grato a qualcuno che mi indicasse anche a grandi linee il perchè, sarei poi io ad approfondire e a cercare eventuali dimostrazioni rigorose : )
Non è però detto che questa base $beta$ sia ortogonale (in generale non lo è), mentre spesso negli esercizi si richiede di trovare una matrice $C$ di vettori che costituiscono una base ortonormale per $RR^n$, in modo che $B=C^-1*A*C$... Io ho pensato di trovare una base ortonormale partendo da $beta$ con il metodo di Gram-Schmidt, e negli esercizi il risultato sembra essere ottenuto in effetti in questo modo, ma non capisco il perchè questo sia possibile... sarei molto grato a qualcuno che mi indicasse anche a grandi linee il perchè, sarei poi io ad approfondire e a cercare eventuali dimostrazioni rigorose : )
Risposte
Se vuoi che $B$ sia diagonale, allora ti devi tenere $C$ così com'è.
Se rendi $C$ ortogonale, il giochino non funziona più e $B$ non è più diagonale.
Se un esercizio ti chiede di diagonalizzare $B$ dopo non ha molto senso rendere $C$ ortogonale. Lo puoi fare, chiaro, ma sono due esercizi separati.
Se rendi $C$ ortogonale, il giochino non funziona più e $B$ non è più diagonale.
Se un esercizio ti chiede di diagonalizzare $B$ dopo non ha molto senso rendere $C$ ortogonale. Lo puoi fare, chiaro, ma sono due esercizi separati.
Ma per normalizzare le colonne di una matrice si deve scegliere una colonna come vettore di partenza nel metodo di Gram-Schmidt? Non capisco come mai sia giustificato il passaggio da $B=M^-1*A*M$ a $B=N^-1*A*N$, con $N$ che è la matrice ottenuta normalizzando le colonne di $M$...
Ok, quindi i casi sono 2: o gli autovettori sono ortogonali a due a due, e ciò accade solo se $A$ è simmetrica, e quindi si possono normalizzare banalmente, oppure se non sono ortogonali si può ottenere un'altra base ortonormale con il metodo di Gram-Schmidt. L'ultima cosa che non mi hai detto è questa: se si trova una base ortonormale $C$ a partire da una base di autovettori non ortogonali $M$, con $B=M^-1*A*M$, è ancora valida la relazione $B=C^-1*A*C$?
Anche secondo me era ovvio che non potesse essere così, però sul libro su cui facevo esercizi c'è un problema in cui la matrice $A$ non è simmetrica ma viene chiesto di trovare una matrice ortogonale che diagonalizzi $A$... a questo punto credo sia un errore del testo e basta....
Avevo preso il libro in biblioteca e l'ho riconsegnato... se trovo da qualche parte il foglio su cui avevo fatto l'esercizio lo posto : )
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