Matrice diagonalizzabile?
Ciao a tutti!
ho a che fare con una matrice $C$ fatta così: $C=B^-1*A$
- $A$ reale quadrata simmetrica
- $B$ reale quadrata simmetrica e definita positiva. Nota: anche $B^-1$ ha le stesse proprietà
la domanda è: $C$ è diagonalizzabile? O, equivalentemente, ammette una base di autovettori?
Si può vedere che gli autovalori di $C$ sono tutti reali, quindi $C$ è triangolabile e questo è già buon segno..
ho a che fare con una matrice $C$ fatta così: $C=B^-1*A$
- $A$ reale quadrata simmetrica
- $B$ reale quadrata simmetrica e definita positiva. Nota: anche $B^-1$ ha le stesse proprietà
la domanda è: $C$ è diagonalizzabile? O, equivalentemente, ammette una base di autovettori?
Si può vedere che gli autovalori di $C$ sono tutti reali, quindi $C$ è triangolabile e questo è già buon segno..
Risposte
Il problema ha una rilevanza pratica notevole perchè emerge, ad esempio, dallo studio linearizzato di vibrazioni non smorzate, nello studio generale della curvatura di una superficie...
Tutti questi problemi arrivano a questa formulazione, cosiddetta "problema agli autovalori generalizzato"
$A*x=\lambda*B*x$
ma siccome $B$ è definita positiva, quindi anche invertibile, l'equazione è equivalente a:
$B^-1*A*x=\lambda*x$
ci si si riconduce quindi al problema agli autovalori classico con matrice $B^-1*A$.
Finchè le matrici del problema agli autovalori classico sono simmetriche è tutto tranquillo, questa però non lo è!
Di più: $C=B^-1*A$ non è nemmeno una matrice normale, basta vedere che $C*C^T!=C^T*C$, quindi non è detto che ammetta una base ortonormale di autovettori. Potrebbe però comunque esistere in generale una base non ortonormale di autovettori...
Se $C$ ha tutti gli autovalori distinti, allora sicuramente la base esiste perchè è noto che ad autovalori distinti sono associati autovettori indipendenti tra loro. Tutto sta nel vedere cosa succede nel caso di autovalori multipli...
Spero di aver condiviso con voi il mio interesse per questo problema
Tutti questi problemi arrivano a questa formulazione, cosiddetta "problema agli autovalori generalizzato"
$A*x=\lambda*B*x$
ma siccome $B$ è definita positiva, quindi anche invertibile, l'equazione è equivalente a:
$B^-1*A*x=\lambda*x$
ci si si riconduce quindi al problema agli autovalori classico con matrice $B^-1*A$.
Finchè le matrici del problema agli autovalori classico sono simmetriche è tutto tranquillo, questa però non lo è!
Di più: $C=B^-1*A$ non è nemmeno una matrice normale, basta vedere che $C*C^T!=C^T*C$, quindi non è detto che ammetta una base ortonormale di autovettori. Potrebbe però comunque esistere in generale una base non ortonormale di autovettori...
Se $C$ ha tutti gli autovalori distinti, allora sicuramente la base esiste perchè è noto che ad autovalori distinti sono associati autovettori indipendenti tra loro. Tutto sta nel vedere cosa succede nel caso di autovalori multipli...
Spero di aver condiviso con voi il mio interesse per questo problema
Grazie mille Sergio, è esattamente lo stesso problema. anch'io oggi ho risolto, si può risolvere come due problemi agli autovalori "classici".
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