Dipendenza di un vettore da un sistema.
Buona sera, mi manca l'ultimo esercizio prima dell'esame di domani e sono apposto.
Non riesco a capire una cosa.
L'esercizio dice:
"si consideri il sistema di vettori S(k)=[(-2,-1,2,3),(1,1,0,2),(-3,-2,2,k-1)] in R^4.
1)Per quali valori di k il vettore w=(-1,0,2,5) dipende da S(k)?
2)Se possibile, esprimere w come combinazione dei vettori di S(0).
Allora, per il punto uno mi scrivo la matrice mettendo i vettori in colonna e come ultima colonna metto il vettore w.
Calcolo il determinante per vedere per quali valori di k il determinante è 0.
Svolgendo i calcoli mi trovo alla fine in questa situazione:
. . . -2k + 4 +2k -4.
Ora viene 0=0.
Ciò cosa significa? Che il vettore NON dipende da nessun k (perché si elimina)?
Oppure che il vettore w dipende per ogni valore di k?
Quando vado a svolegere il secondo punto, moltiplico ciascun vettore per $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, trovo le coppie e le metto a sistema, ponendo ciascuna di esse uguali ai coefficienti di w.
Solo che nel fare il sistema, trovo tipo che un'equazione mi diventa 2=4 -> mai!
Quindi ciò risponde alla mia domanda di prima che non esiste nessun k affinché il vettore dipenda dal sistema?
Grazie mille...
Non riesco a capire una cosa.
L'esercizio dice:
"si consideri il sistema di vettori S(k)=[(-2,-1,2,3),(1,1,0,2),(-3,-2,2,k-1)] in R^4.
1)Per quali valori di k il vettore w=(-1,0,2,5) dipende da S(k)?
2)Se possibile, esprimere w come combinazione dei vettori di S(0).
Allora, per il punto uno mi scrivo la matrice mettendo i vettori in colonna e come ultima colonna metto il vettore w.
Calcolo il determinante per vedere per quali valori di k il determinante è 0.
Svolgendo i calcoli mi trovo alla fine in questa situazione:
. . . -2k + 4 +2k -4.
Ora viene 0=0.
Ciò cosa significa? Che il vettore NON dipende da nessun k (perché si elimina)?
Oppure che il vettore w dipende per ogni valore di k?
Quando vado a svolegere il secondo punto, moltiplico ciascun vettore per $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, trovo le coppie e le metto a sistema, ponendo ciascuna di esse uguali ai coefficienti di w.
Solo che nel fare il sistema, trovo tipo che un'equazione mi diventa 2=4 -> mai!
Quindi ciò risponde alla mia domanda di prima che non esiste nessun k affinché il vettore dipenda dal sistema?
Grazie mille...
Risposte
Grazie mille Sergio...E invece se avessi questo sistema?
$\{(2a+b+c=3),(-b+c=1),(2b-2c=-2),(a+c=4):}$
Quando lo risolvo in un'equazione mi viene 2=4...
E mi trovo come l'esercizio precendente, perché andando a studiare il determinante, mi trovo che è =0 e k si elimina, quindi dovrebbe dipendere come hai detto tu per qualsiasi valore di k...
$\{(2a+b+c=3),(-b+c=1),(2b-2c=-2),(a+c=4):}$
Quando lo risolvo in un'equazione mi viene 2=4...
E mi trovo come l'esercizio precendente, perché andando a studiare il determinante, mi trovo che è =0 e k si elimina, quindi dovrebbe dipendere come hai detto tu per qualsiasi valore di k...
"Sergio":
Quel sistema, per il teorema di Rouché-Capelli, non ha soluzioni.
E $k$ non ce lo vedo...
Non ce lo vedi perché non ti ho scritto la matrice di partenza...
Il sistema presuppone k=0.
Se trovo che dipende per ogni k, perché k è ininfluente, perché per k=0 il sistema non ha soluzioni?
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