Una matrice definita positiva per una definita negativa
Ho due matrici [tex]P, N[/tex] reali simmetriche, una definita positiva e l'altra definita negativa. Posso essere certo che [tex]PN[/tex] è diagonalizzabile?
______________
Il problema origina da un testo che sto leggendo: ad un certo punto spunta fuori un sistema di equazioni differenziali
[tex]$P \ddot{\mathbf{x}}=N\mathbf{x}[/tex]
dove [tex]P, N[/tex] sono come sopra e in particolare non dipendono dal tempo. L'autore procede con la risoluzione con la sicurezza di trovare un sistema fondamentale di soluzioni nella forma [tex]e^{\lambda t}\mathbf{v}[/tex]. A me non pare ovvio che si possano trovare abbastanza soluzioni (lin. indip.) di questo tipo a meno che la matrice [tex]P^{-1}N[/tex] non sia diagonalizzabile, ma forse mi sbaglio io?
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Il problema origina da un testo che sto leggendo: ad un certo punto spunta fuori un sistema di equazioni differenziali
[tex]$P \ddot{\mathbf{x}}=N\mathbf{x}[/tex]
dove [tex]P, N[/tex] sono come sopra e in particolare non dipendono dal tempo. L'autore procede con la risoluzione con la sicurezza di trovare un sistema fondamentale di soluzioni nella forma [tex]e^{\lambda t}\mathbf{v}[/tex]. A me non pare ovvio che si possano trovare abbastanza soluzioni (lin. indip.) di questo tipo a meno che la matrice [tex]P^{-1}N[/tex] non sia diagonalizzabile, ma forse mi sbaglio io?
Risposte
caso semplice:
Se $A$ e $B$ sono simmetriche e $A*B=B*A$ allora il loro prodotto è ancora una matrice simmetrica, quindi diagonalizzabile, quindi si dimostra tutto a prescindere dal fatto che siano o meno definite positive (o negatve).
caso generale:
Se $N$ è definita negativa, allora in un'opportuna base questa è una matrice diagonale con numeri negativi sulla diagonale, mentre $P$ resta una matrice definita positiva (il fatto che sia definita positiva è un'invariante per cambiamento di base).
Fissiamoci dunque su questa base.
Quindi $P*N$ è il prodotto di due matrici, $N$ è diagonale, quindi il prodotto rispetta il "caso semplice", cioè $P*N=N*P$ grazie al fatto che $N$ è diagonale, quindi la matrice risultante è diagonalizzabile
Se $A$ e $B$ sono simmetriche e $A*B=B*A$ allora il loro prodotto è ancora una matrice simmetrica, quindi diagonalizzabile, quindi si dimostra tutto a prescindere dal fatto che siano o meno definite positive (o negatve).
caso generale:
Se $N$ è definita negativa, allora in un'opportuna base questa è una matrice diagonale con numeri negativi sulla diagonale, mentre $P$ resta una matrice definita positiva (il fatto che sia definita positiva è un'invariante per cambiamento di base).
Fissiamoci dunque su questa base.
Quindi $P*N$ è il prodotto di due matrici, $N$ è diagonale, quindi il prodotto rispetta il "caso semplice", cioè $P*N=N*P$ grazie al fatto che $N$ è diagonale, quindi la matrice risultante è diagonalizzabile
Una risposta veloce, vado di fretta...
Essendo $P$ diagonalizzabile (in quanto simmetrica), esiste una base $v_1,...,v_n$ di autovettori di $P$.
Pongo $w_i=N^{-1}v_i$ (con $i=1,...,n$).
Si ha che i vettori $w_1,...,w_n$ formano una base ($N$ è non degenere in quanto definita negativa) e sono autovettori di $PN$.
Quindi $PN$ ammette una base di autovettori. Dovrebbe bastare per la diagonalizzabilità di $PN$.
Scusa se sono stato un po' stringato, sto uscendo.
Spero di non aver detto castronerie
Essendo $P$ diagonalizzabile (in quanto simmetrica), esiste una base $v_1,...,v_n$ di autovettori di $P$.
Pongo $w_i=N^{-1}v_i$ (con $i=1,...,n$).
Si ha che i vettori $w_1,...,w_n$ formano una base ($N$ è non degenere in quanto definita negativa) e sono autovettori di $PN$.
Quindi $PN$ ammette una base di autovettori. Dovrebbe bastare per la diagonalizzabilità di $PN$.
Scusa se sono stato un po' stringato, sto uscendo.
Spero di non aver detto castronerie
@cirasa: Mmhh...purtroppo mi sa che non va bene. Infatti i tuoi $w_i$ non avranno obbligo di essere autovettori di $PN$: a questo scopo dovrebbe risultare
$PNw_i=lambda_iw_i$
mentre invece riusciamo ad affermare che
$PNw_i=lambda_i v_i$.
Del resto se la tua proposizione fosse vera, dovremmo avere che
($P$ è diagonalizzabile, $N$ è invertibile) $Rightarrow$ ($PN$ è diagonalizzabile)
il che è falso: per esempio $P=[[0, 0], [0, 1]], N=[[0, 1],[1, 0]]$ verificano le ipotesi ma $PN=[[0, 0], [1, 0]]$ non è diagonalizzabile.
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@angus: *** EDIT *** Quanto segue contiene un errore (in rosso) che falsa completamente il discorso. [/edit]
Capito: buona idea. Vediamo di formalizzarla completamente risolvendo alcuni punti che vanno chiariti.
Sia $S$ una matrice ortogonale tale che $N^{\star}=S^TNS$ sia diagonale. E' importante che la matrice di passaggio sia ortogonale, perché così $P^{\star}=S^TPS$ è simmetrica. Consideriamo il prodotto $P^{\star}N^{\star}$: questa matrice è simmetrica perché i singoli fattori sono simmetrici e inoltre
$P^{\star}N^{\star}=N^{\star}P^{\star}$
essendo $N^{\star}$ diagonale. Quindi $P^{\star}N^{\star}$ è diagonalizzabile ed essendo
$P^{\star}N^{\star}=S^TPNS$
abbiamo che $PN$ è simile ad una matrice diagonalizzabile, e pertanto è diagonalizzabile essa stessa.
$PNw_i=lambda_iw_i$
mentre invece riusciamo ad affermare che
$PNw_i=lambda_i v_i$.
Del resto se la tua proposizione fosse vera, dovremmo avere che
($P$ è diagonalizzabile, $N$ è invertibile) $Rightarrow$ ($PN$ è diagonalizzabile)
il che è falso: per esempio $P=[[0, 0], [0, 1]], N=[[0, 1],[1, 0]]$ verificano le ipotesi ma $PN=[[0, 0], [1, 0]]$ non è diagonalizzabile.
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@angus: *** EDIT *** Quanto segue contiene un errore (in rosso) che falsa completamente il discorso. [/edit]
Capito: buona idea. Vediamo di formalizzarla completamente risolvendo alcuni punti che vanno chiariti.
Sia $S$ una matrice ortogonale tale che $N^{\star}=S^TNS$ sia diagonale. E' importante che la matrice di passaggio sia ortogonale, perché così $P^{\star}=S^TPS$ è simmetrica. Consideriamo il prodotto $P^{\star}N^{\star}$: questa matrice è simmetrica perché i singoli fattori sono simmetrici e inoltre
$P^{\star}N^{\star}=N^{\star}P^{\star}$
essendo $N^{\star}$ diagonale. Quindi $P^{\star}N^{\star}$ è diagonalizzabile ed essendo
$P^{\star}N^{\star}=S^TPNS$
abbiamo che $PN$ è simile ad una matrice diagonalizzabile, e pertanto è diagonalizzabile essa stessa.
Ok, ok, chiedo scusa per l'erroraccio 
Meno male che avevo avvisato che andavo di fretta
Meno male che avevo avvisato che andavo di fretta
[EDIT] Cancello il messaggio precedente perché conteneva una proposizione falsa.
Allora, anche la soluzione basata sull'idea di angus non funziona. Entrambi abbiamo assunto che
$AD=DA$ se $D$ è diagonale, cosa falsissima:
prendere $A=[[0, 1], [0, 0]], D=[[1, 0], [0, 2]]$ per un facile controesempio.
@angus: Ci siamo confusi con le matrici di tipo $[[lambda, ,],[, ddots,],[,,lambda]]$, quelle si che commutano con tutte le altre. Ma le matrici diagonali in genere no.
Allora, anche la soluzione basata sull'idea di angus non funziona. Entrambi abbiamo assunto che
$AD=DA$ se $D$ è diagonale, cosa falsissima:
prendere $A=[[0, 1], [0, 0]], D=[[1, 0], [0, 2]]$ per un facile controesempio.
@angus: Ci siamo confusi con le matrici di tipo $[[lambda, ,],[, ddots,],[,,lambda]]$, quelle si che commutano con tutte le altre. Ma le matrici diagonali in genere no.
Mi pare vero anche senza che [tex]N[/tex] sia definita negativa.
Teorema: Siano [tex]P,N[/tex] matrici reali simmetriche, [tex]P[/tex] def. positiva. Allora esiste una matrice nonsingolare [tex]X[/tex] tale che [tex]X^TPX=I[/tex] e [tex]X^TNX=D[/tex] diagonale. (Per chi conosce il problema generalizzato agliautovalori, [tex]D[/tex] ha come elementi gli autovalori di [tex](N,P)[/tex], [tex]X[/tex] ha per colonne gli autovettori e inoltre gli autovalori sono semisemplici)
Ne segue che [tex]D=ID=X^{-1}P^{-1}X^{-T}X^TNX=X^{-1}P^{-1}NX[/tex], da cui [tex]P^{-1}N[/tex]è diagonalizzabile.
Teorema: Siano [tex]P,N[/tex] matrici reali simmetriche, [tex]P[/tex] def. positiva. Allora esiste una matrice nonsingolare [tex]X[/tex] tale che [tex]X^TPX=I[/tex] e [tex]X^TNX=D[/tex] diagonale. (Per chi conosce il problema generalizzato agliautovalori, [tex]D[/tex] ha come elementi gli autovalori di [tex](N,P)[/tex], [tex]X[/tex] ha per colonne gli autovettori e inoltre gli autovalori sono semisemplici)
Ne segue che [tex]D=ID=X^{-1}P^{-1}X^{-T}X^TNX=X^{-1}P^{-1}NX[/tex], da cui [tex]P^{-1}N[/tex]è diagonalizzabile.
Ah, ecco, grazie mille Alvin: è proprio la proposizione che cercavo. Mi potresti illuminare un po' su questo "problema generalizzato agli autovalori"? Si tratta forse di risolvere [tex]\det(\lambda P-N)=0[/tex]?
Esatto, il problema generalizzato agli autovalori (GEP) consiste nel trovare, date due matrici quadrate $A$ e $B$, scalari $\lambda$ e vettori non nulli $x$ tali che $Ax=\lambdaBx$. Ovviamente c'è tutta una teoria sopra, che però non si trova molto facilmente quanto quella sul problema standard agli autovalori (SEP).
Se ti interessa questo
http://www.speedyshare.com/files/23874334/QEP.pdf
è un seminario che ho preparato l'anno scorso per un corso, in cui tratto il QEP (problema quadratico agli autovalori), una ulteriore generalizzazione del problema agli autovalori.
Ci trovi qualcosina anche sul GEP, ad esempio la dimostrazione del teorema da me enunciato (occhio che è la versione non corretta, ossia ci sono un sacco di errori di battitura, di impaginazione ecc.), mentre se vuoi approfodire il GEP prova queste dispense di Y.Saad (ci sono tantissime altre cose, la parte che ti interessa è il capitolo 9, spiega in che modo sono collegati il SEP e il GEP e tratta alcuni casi in ci si possono ricavare risultati sul GEP a partire da fatti noti di algebra lineare-non c'è però il teorema del mio post precedente-)
http://books.google.it/books?hl=it&lr=& ... &q&f=false
Spero ti siano utili.
Se ti interessa questo
http://www.speedyshare.com/files/23874334/QEP.pdf
è un seminario che ho preparato l'anno scorso per un corso, in cui tratto il QEP (problema quadratico agli autovalori), una ulteriore generalizzazione del problema agli autovalori.
Ci trovi qualcosina anche sul GEP, ad esempio la dimostrazione del teorema da me enunciato (occhio che è la versione non corretta, ossia ci sono un sacco di errori di battitura, di impaginazione ecc.), mentre se vuoi approfodire il GEP prova queste dispense di Y.Saad (ci sono tantissime altre cose, la parte che ti interessa è il capitolo 9, spiega in che modo sono collegati il SEP e il GEP e tratta alcuni casi in ci si possono ricavare risultati sul GEP a partire da fatti noti di algebra lineare-non c'è però il teorema del mio post precedente-)
http://books.google.it/books?hl=it&lr=& ... &q&f=false
Spero ti siano utili.
Che belle le tue slide, e parlano proprio del problema che mi interessa! Grazie. Di cosa trattava il tuo corso, se non sono indiscreto? Analisi numerica?
Il corso si chiama Calcolo Scientifico, è un corso del terzo anno per l'indirizzo computazionale qui a Pisa. Al secondo anno abbiamo il classico Analisi Numerica, mentre Calcolo Scientifico approfondisce molto di più l'algebra lineare numerica e da una panoramica più ampia sui metodi usati attualmente. L'ultima parte del corso (un paio di settimane) fu dedicata all'accenno di argomenti extra, un pò più specifici e "attuali" (nel senso di tratti da articoli di ricerca recenti e comunque in settori in sviluppo), fra cui il GEP E IL QEP, che io ho deciso di approfondire come mio seminario d'esame.
Sono contento che le slide ti garbino, era la mia prima (e per ora unica) volta che ne realizzavo!
Ho anche altro materiale molto confuso (più che altro miei scarabocchi mascherati da proposizioni) sull'argomento, nel caso ti interessino. Sarebbe interessante fare degli appunti che raccolgano i risultati di base su questi problemi, tipo teoremi di diagonalizzabilità, diagonalizzabilità simultanea, ortogonalità ecc., perchè io ancora non ho trovato un testo o un articolo che possa essere usato da solo per studiare la teoria di questi problemi, che invece ritengo importanti. O magari esistono e io non lo so (il che è probabile)
P.S. se ti interessa il QEP, l'articolo che cito come prima reference, e da cui ho tratto il seminario, è la bibbia!
Sono contento che le slide ti garbino, era la mia prima (e per ora unica) volta che ne realizzavo!
Ho anche altro materiale molto confuso (più che altro miei scarabocchi mascherati da proposizioni) sull'argomento, nel caso ti interessino. Sarebbe interessante fare degli appunti che raccolgano i risultati di base su questi problemi, tipo teoremi di diagonalizzabilità, diagonalizzabilità simultanea, ortogonalità ecc., perchè io ancora non ho trovato un testo o un articolo che possa essere usato da solo per studiare la teoria di questi problemi, che invece ritengo importanti. O magari esistono e io non lo so (il che è probabile)
P.S. se ti interessa il QEP, l'articolo che cito come prima reference, e da cui ho tratto il seminario, è la bibbia!
Bello però, al terzo anno già studiate questioni "vere" di calcolo numerico. Così è ben fatto un corso applicativo, non come qui a Bari ... (stendiamo un velo pietoso).
Comunque, hai ragione sul fatto che scarseggia il materiale specifico su questi argomenti. E sì che non richiedono grandi prerequisiti, e inoltre hanno applicazioni simpatiche. Mandameli i tuoi appunti, vedrò di dare un'occhiata appena possibile! Grazie ancora.
Comunque, hai ragione sul fatto che scarseggia il materiale specifico su questi argomenti. E sì che non richiedono grandi prerequisiti, e inoltre hanno applicazioni simpatiche. Mandameli i tuoi appunti, vedrò di dare un'occhiata appena possibile! Grazie ancora.
"dissonance":
Bello però, al terzo anno già studiate questioni "vere" di calcolo numerico. Così è ben fatto un corso applicativo, non come qui a Bari ... (stendiamo un velo pietoso).
Comunque, hai ragione sul fatto che scarseggia il materiale specifico su questi argomenti. E sì che non richiedono grandi prerequisiti, e inoltre hanno applicazioni simpatiche. Mandameli i tuoi appunti, vedrò di dare un'occhiata appena possibile! Grazie ancora.
Scusate l'OT...
Perchè dissonance come sono i corsi qui di Calcolo numerico? Proprio in questi giorni me lo stavo chiedendo.
Io trovo (e non ho mai fatto mistero di questo) che i nostri corsi di calcolo numerico siano pietosi, se confrontati con quelli per esempio frequentati da Alvin. Soprattutto manca completamente l'aspetto pratico: tu esci da ben 2 corsi di Calcolo numerico e potenzialmente sei incapace di applicare quello che hai imparato. Se questo può essere fisiologico per un corso strettamente teorico, è assolutamente devastante per un corso applicativo: lo riduce ad una successione di nozioni slegate l'una dall'altra e dal contesto matematico generale, da imparare a memoria - spiattellare all'esame - dimenticare al più presto.
Dai un'occhiata, invece, alle slide di Alvin. Lui parte dallo stimolo di un problema concreto e poi sviluppa su dei metodi per trattarlo numericamente. La differenza è proprio nel concetto, si vede che lui ha un approccio diverso, più avanzato, alla materia. Te lo immagini lo studente medio nostro del terzo anno, fare un discorso del genere?
Comunque, i nostri corsi non sono proprio da buttare. Intanto, studiando la teoria del calcolo numerico si devono usare un sacco di strumenti provenienti da altre materie, algebra lineare e analisi in primis, e questa è una ottima palestra. Poi se hai l'accortezza di integrare da solo l'aspetto pratico, puoi renderti lo studio più interessante e fruttuoso. A questo scopo ti consiglio il libro di Moler che io purtroppo ho scoperto solo durante il secondo modulo; non ti serve a nulla per la teoria, ma ti insegna a usare benissimo MATLAB e a divertirti con il calcolo numerico, proprio quello che non ti insegneranno a lezione.
E infine, questa è solo la mia opinione. Ho conosciuto gente che la pensa in modo profondamente diverso da me. Per questo, non farti passare la voglia di seguire i corsi, nei quali comunque imparerai un sacco di cose: potrebbe essere che alla fine anche tu non sarai d'accordo con me.
Dai un'occhiata, invece, alle slide di Alvin. Lui parte dallo stimolo di un problema concreto e poi sviluppa su dei metodi per trattarlo numericamente. La differenza è proprio nel concetto, si vede che lui ha un approccio diverso, più avanzato, alla materia. Te lo immagini lo studente medio nostro del terzo anno, fare un discorso del genere?
Comunque, i nostri corsi non sono proprio da buttare. Intanto, studiando la teoria del calcolo numerico si devono usare un sacco di strumenti provenienti da altre materie, algebra lineare e analisi in primis, e questa è una ottima palestra. Poi se hai l'accortezza di integrare da solo l'aspetto pratico, puoi renderti lo studio più interessante e fruttuoso. A questo scopo ti consiglio il libro di Moler che io purtroppo ho scoperto solo durante il secondo modulo; non ti serve a nulla per la teoria, ma ti insegna a usare benissimo MATLAB e a divertirti con il calcolo numerico, proprio quello che non ti insegneranno a lezione.
E infine, questa è solo la mia opinione. Ho conosciuto gente che la pensa in modo profondamente diverso da me. Per questo, non farti passare la voglia di seguire i corsi, nei quali comunque imparerai un sacco di cose: potrebbe essere che alla fine anche tu non sarai d'accordo con me.
"dissonance":
Dai un'occhiata, invece, alle slide di Alvin. Lui parte dallo stimolo di un problema concreto e poi sviluppa su dei metodi per trattarlo numericamente. La differenza è proprio nel concetto, si vede che lui ha un approccio diverso, più avanzato, alla materia. Te lo immagini lo studente medio nostro del terzo anno, fare un discorso del genere?
Pur lusingato dagli apprezzamenti, ci tengo a ribadire che ho avuto un bell'articolo a disposizione sul quale costruire il mio seminario, non l'ho tirato fuori dal nulla. Avevo molto materiale a disposizione e ho deciso di dare questo tipo di impronta: dallo stesso articolo potevano venire fuori, secondo me, almeno altri 2 seminari completamente diversi. Inoltre il nostro corso prevedeva anche una parte di esercitazioni che trattavano modellizzazione e soluzione numerica con l'uso del computer del problema, e per l' esame avevamo una prova pratica che consisteva nell'implementazione di un algoritmo descritto o accennato durante il corso, e nel fare della sperimentazione numerica su di esso, ovvero produrre tabelle riguardo tempi di esecuzione e stabilità dell'algoritmo.
Insomma, se da voi non è così è normale che poi l'approccio sia diverso.
Grazie Dissonance per le delucidazioni. Devo dire che questo è un aspetto della matematica che non tanto mi affascina, almeno per ora... seguirò (ovviamente) il corso e poi ti saprò dire!
Grazie ancora e complimenti anche ad AlvinLee per le slide
Grazie ancora e complimenti anche ad AlvinLee per le slide
Ciao Alvin,
anch'io sto affrontando seriamente questo problema, poco analizzato dai libri ma molto frequente nella pratica (vibazioni, studio della curvatura in una superficie, etc..)
per avere tutto questo non basta che P non sia singolare?
grazie
"alvinlee88":
Mi pare vero anche senza che [tex]N[/tex] sia definita negativa.
Teorema: Siano [tex]P,N[/tex] matrici reali simmetriche, [tex]P[/tex] def. positiva. Allora esiste una matrice nonsingolare [tex]X[/tex] tale che [tex]X^TPX=I[/tex] e [tex]X^TNX=D[/tex] diagonale. (Per chi conosce il problema generalizzato agliautovalori, [tex]D[/tex] ha come elementi gli autovalori di [tex](N,P)[/tex], [tex]X[/tex] ha per colonne gli autovettori e inoltre gli autovalori sono semisemplici)
Ne segue che [tex]D=ID=X^{-1}P^{-1}X^{-T}X^TNX=X^{-1}P^{-1}NX[/tex], da cui [tex]P^{-1}N[/tex]è diagonalizzabile.
anch'io sto affrontando seriamente questo problema, poco analizzato dai libri ma molto frequente nella pratica (vibazioni, studio della curvatura in una superficie, etc..)
per avere tutto questo non basta che P non sia singolare?
grazie
come non detto. hai ragione: serve che sia definita positiva. se B è invece è definita negativa ci si riconduce banalmente cambiando il segno sia a N che a P
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