Dubbio esercizio su dimensione nucleo e dimensione immagine
Buongiorno a tutti,
un paio di settimane fa ho avuto il primo esonero, e c'è un esercizio che ho sbagliato e non riesco proprio a capire. Spero che possiate aiutarmi nel risolvere questo dubbio.
L'esercizio è il seguente:
"Sia $V=M_3(RR)$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 3 ad elementi reali. Sia
$T:M_3(RR)->M_3(RR)$ l'applicazione lineare definita da $T(A)=B=b_{i,j}$ dove per ogni $j=1,2,3$ si definisce $b_{i,j}=a_{i,1}+a_{i,2}+a_{i,3}$ = somma degli elementi della i-esima riga di A. Stabilire quale delle seguenti affermazioni è vera:
1) il nucleo di T ha dimensione 3 e l'immagine ha dimensione 6
2) il nucleo di T ha dimensione 6 e l'immagine ha dimensione 3
3) il nucleo di T ha dimensione 3 e l'immagine ha dimensione 3
4) il nucleo di T ha dimensione 6 e l'immagine ha dimensione 6
5) nessuna delle precedenti.
Dunque, ho iniziato a ragionare così:
se $A=((a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3}),(a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3}),(a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3}))$
la matrice $B=T(A)$ è formata, per ogni riga, da tre elementi uguali, così:
$B = ((b_1,b_1,b_1),(b_2,b_2,b_2),(b_3,b_3,b_3))$ dove $b_1=a_{1,1}+a_{1,2}+a_{1,3} , b_2=a_{2,1}+a_{2,2}+a_{2,3} , b_3=a_{3,1}+a_{3,2}+a_{3,3}$.
A questo punto, escludo subito le risposte 3) e 4), perchè dato che la dimensione di $M_3(RR)$ (e quindi di A) è 9, la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine di T deve essere 9 per il teorema di Grassmann. A questo punto restano la 1) la 2) e la 5). Io ho messo la 1) ma la risposta esatta era la 2) , ma non riesco proprio a capire perchè, poichè a me i parametri della matrice B sembrano 3 e non 6...
Ringrazio in anticipo, come sempre, per la disponibilità
Valentina
P.S. perchè mi scrive così la matrice A che ho scritto all'inizio del ragionamento??O lo la visualizza in modo strano solo a me e da voi si vede bene?
un paio di settimane fa ho avuto il primo esonero, e c'è un esercizio che ho sbagliato e non riesco proprio a capire. Spero che possiate aiutarmi nel risolvere questo dubbio.
L'esercizio è il seguente:
"Sia $V=M_3(RR)$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 3 ad elementi reali. Sia
$T:M_3(RR)->M_3(RR)$ l'applicazione lineare definita da $T(A)=B=b_{i,j}$ dove per ogni $j=1,2,3$ si definisce $b_{i,j}=a_{i,1}+a_{i,2}+a_{i,3}$ = somma degli elementi della i-esima riga di A. Stabilire quale delle seguenti affermazioni è vera:
1) il nucleo di T ha dimensione 3 e l'immagine ha dimensione 6
2) il nucleo di T ha dimensione 6 e l'immagine ha dimensione 3
3) il nucleo di T ha dimensione 3 e l'immagine ha dimensione 3
4) il nucleo di T ha dimensione 6 e l'immagine ha dimensione 6
5) nessuna delle precedenti.
Dunque, ho iniziato a ragionare così:
se $A=((a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3}),(a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3}),(a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3}))$
la matrice $B=T(A)$ è formata, per ogni riga, da tre elementi uguali, così:
$B = ((b_1,b_1,b_1),(b_2,b_2,b_2),(b_3,b_3,b_3))$ dove $b_1=a_{1,1}+a_{1,2}+a_{1,3} , b_2=a_{2,1}+a_{2,2}+a_{2,3} , b_3=a_{3,1}+a_{3,2}+a_{3,3}$.
A questo punto, escludo subito le risposte 3) e 4), perchè dato che la dimensione di $M_3(RR)$ (e quindi di A) è 9, la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine di T deve essere 9 per il teorema di Grassmann. A questo punto restano la 1) la 2) e la 5). Io ho messo la 1) ma la risposta esatta era la 2) , ma non riesco proprio a capire perchè, poichè a me i parametri della matrice B sembrano 3 e non 6...
Ringrazio in anticipo, come sempre, per la disponibilità
Valentina
P.S. perchè mi scrive così la matrice A che ho scritto all'inizio del ragionamento??O lo la visualizza in modo strano solo a me e da voi si vede bene?
Risposte
Aaaaah ok, perchè l'immagine sarebbe lo Span dei trasformati di ogni elemento della base canonica... la base canonica che io devo considerare, quindi, data $T:V->W$ lineare, deve essere di W? Non di V? Cioè, l'immagine di T non sarebbe uguale a $Span(T(v_1),...,T(v_n))$ dove $v_1,...,v_n$ costituiscono una base di V? Anche se, in effetti, in questo caso l'applicazione lineare va da $M_3(RR)$ a $M_3(RR)$ (è un endomorfismo?) , ma questa cosa mi confonde, perchè io avrei detto che la base canonica doveva contenere 9 elementi...
Aspetta, ma quella base canonica che tu hai scritto è la base canonica di $Span(T(v_1),...,T(v_n))$ che ho scritto io, cioè, di $M_3(RR)$ dopo l'applicazione lineare (non so se si può dire così)?.....
Ho capito. L'unico motivo per cui ragionavo in termini di basi e di Span era che tenevo conto di un lemma che sta sul mio libro, che dice: "Data un'applicazione $T:V->W$ lineare, e ${v_1,...,v_n}$ una base di V, allora $ImT=Span(T(v_1),...,T(v_n)).$"
, e c'è scritto che questo lemma è utile per il calcolo dell'immagine di un'applicazione lineare. Comunque ho capito sia ragionando in questi termini che no!
Ma se invece volessi fare il ragionamento a partire dal nucleo, cioè, se invece di trovare la dimensione dell'immagine e da lì capire quella del nucleo, volessi trovare la dimensione del nucleo per poi arrivare a quella dell'immagine, come dovrei fare?
, e c'è scritto che questo lemma è utile per il calcolo dell'immagine di un'applicazione lineare. Comunque ho capito sia ragionando in questi termini che no!
Ma se invece volessi fare il ragionamento a partire dal nucleo, cioè, se invece di trovare la dimensione dell'immagine e da lì capire quella del nucleo, volessi trovare la dimensione del nucleo per poi arrivare a quella dell'immagine, come dovrei fare?
Va bene. Comunque lo farò con il ragionamento che mi hai spiegato all'inizio, che mi sembra essere il più immediato.
Grazie mille, e buon Natale
Grazie mille, e buon Natale
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