Differenze tra matrici associate

[Flamber]

Gentili utenti del forum ho un problema nel capire l'associazione di una matrice ad un'applicazione lineare, vi spiego meglio il mio problema con un esempio (che è sempre la cosa più efficace):


$V=L(v1,v2,v3,v4)$
$W=L(w1,w2,w3)$

$f: V \rightarrow W $

f(v1) = w1+w2;
f(v2) = w1-w2+w3;
f(v3) = w2;
f(v4) = w1 + w3;

la matrice associata è:

$((1,1,0,1),(1,-1,1,0),(0,1,0,1))$

che ridotta diventa:

$((1,1,0,1),(1,-1,1,0),(-1,0,0,0))$

Primo problema:

Risolvendo il sistema omogeneo associato si ottiene che:

x=0; y=z; t=-z; Il nucleo è quindi composto da tutti i vettori del tipo (0,z,z,-z);

per quale motivo mi dice che il nucleo è (zv2+zv3-zv1) ? i coefficienti sono quelli, ma non capisco perchè li sommi!


Problema numero due:

perchè invece la matrice associata di f(x,y,z,t) = (x-5t, y+z+t, x-y-z-t) è:

$((1,0,0,-5),(0,1,1,1),(1,-1,-1,-1))$

e non invece la sua trasposta come nell'esempio precendente?

[Flamber]

Qualcuno può aiutarmi? sono totalmente bloccato

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Come da regolamento, devi aspettare 24h prima di poter fare sollecitazioni di questo genere.

3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 24 ore dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta.[/xdom]

[weblan]

"Flamber":Gentili utenti del forum ho un problema nel capire l'associazione di una matrice ad un'applicazione lineare, vi spiego meglio il mio problema con un esempio (che è sempre la cosa più efficace):


$V=L(v1,v2,v3,v4)$
$W=L(w1,w2,w3)$

$f: V \rightarrow W $

f(v1) = w1+w2;
f(v2) = w1-w2+w3;
f(v3) = w2;
f(v4) = w1 + w3;

la matrice associata è:

$((1,1,0,1),(1,-1,1,0),(0,1,0,1))$

che ridotta diventa:

$((1,1,0,1),(1,-1,1,0),(-1,0,0,0))$

Primo problema:

Risolvendo il sistema omogeneo associato si ottiene che:

x=0; y=z; t=-z; Il nucleo è quindi composto da tutti i vettori del tipo (0,z,z,-z);

per quale motivo mi dice che il nucleo è (zv2+zv3-zv1) ? i coefficienti sono quelli, ma non capisco perchè li sommi!

Le componenti dei vettori del nucleo nella base $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ sono le quaterne del tipo $(0,k,k,-k)$ al variare di $kinRR$, se vogliamo costruire i vettori di $V$ del nucleo dobbiamo considerare i vettori del tipo $0*v_1+k*v_2+k*v_3-k*v_4=k*v_2+k*v_3-k*v_4$

Problema numero due:

perchè invece la matrice associata di f(x,y,z,t) = (x-5t, y+z+t, x-y-z-t) è:

$((1,0,0,-5),(0,1,1,1),(1,-1,-1,-1))$

e non invece la sua trasposta come nell'esempio precendente?

L'applicazione considerata è $f:RR^4toRR^3$ e la matrice nelle rispettive basi canoniche è una matrice $3x4$ e quella considerata va bene. Trasposta di cosa?

[Flamber]

nel primo caso per esempio io per calcolare l'immagine devo fare la trasposta di quella matrice e vedere qualirighe rimangono l.i. perchè nel secondo caso non devo farlo?

[weblan]

Data un'applicazione lineare $f:VtoW$, si fissa una base $B_V$ in $V$ e $B_W$ in $W$.

La matrice che rappresenta $f$ rispetto alle due basi scelte si ottiene mettendo in colonna le componenti dei vettori trasformati di $B_V$ rispetto alla base $B_W$.

Nella prima matrice risulta evidente.

La seconda matrice è determinata rispetto alle basi canoniche:

$f(1,0,0,0)=(1,0,1)$
$f(0,1,0,0)=(0,1,-1)$
$f(0,0,1,0)=(0,1,-1)$
$f(0,0,0,1)=(-5,1,-1)$

Quali sono le componenti di $(1,0,1)$ rispetto alla base $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$? Prima colonna della matrice.

Quali sono le componenti di $(0,1,-1)$ rispetto alla base $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$? Seconda colonna della matrice.

.........

Viene fuori la matrice

[Flamber]

Grazie mille per l'aiuto