Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Mi chiedevo ieri se fosse vero il seguente risultato.
Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $RR^n$, omeomorfi tra di loro. Se $A$ è aperto, allora anche $B$ lo è.
In dimensione $1$ è sufficiente notare che, essendo $A$ un'unione di intervalli aperti, togliendone un punto qualsiasi si aumenta il numero di componenti connesse, cosa invece falsa in $B$ se per assurdo avesse dei punti di ...
Ragazzi per determinare gli autovalori come sapete è necessario trovare il polinomio caratteristico, ecco, volevo sapere un modo per fattorizzarlo che non sia quello di ruffini, perchè credo che non sia adatto per tutti i polinomi...non so tipo questo $x^2 - x + 3$?
Grazie mille
$Q = (1,0,2)$ ed $r:$ $((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_2 + 2x_3 - 5 = 0),(x_2 = 1),())$
le equazioni parametriche della retta sono $((x_1),(x_2),(x_3)) = ((1),(0),(0)) t + ((0),(3),(1))$
Allora per trovare il piano in questo modo devo imporre il passaggio per il punto, che abbia lo stesso vettore direttore della retta, però essendo un piano me ne serve un altro, che in reatà si chiamano vettori di giacitura come lo trovo?
$\{(x_1 = 1 + t + ?),(x_2 = 0 + 0t + ?),(x_3 = 2 + 0t + ?):}$
Grazie mille
P.S mi è venuto in mente che l'altro vettore direttore potrebbe essere quello che mi indica la direzione ...
Scegliendo a caso tre vertici diversi di un poligono regolare a 13 lati, quale è la probabilità che siano i vertici di un triangolo rettangolo?
Ho provato a scomporlo nei 13 triangoli isoscele, ma non ne vengo a capo.
Qualche idea?
Salve a tutti.
Provavo a fare questo esercizio ma come al solito vengo assalito dai dubbi:
sia $\psi:M->N$ un'applicazione differenziabile. Si supponga che in un punto $x \in M$ risulti (Rank $\psi$)=dim N.
Provare che scelte ad arbitrio coordinate locali $y^1,.....y^m$ in un intorno di $\psi(x)$,
le funzioni $\psi^*(y^\alpha),\alpha =1,....m$ sono funzionalmente indipendenti in un intorno di x;
le $\psi^*(y^\alpha),\alpha =1,....m$ sono i pull-back delle una funzioni differenziabili ...
Ciao Ragazzi, sono di nuovo io e a distanza di una settimana ho avuto altri 2 problemi di cui non ho capito alcune cose:
1°problema: Siano v1,v2,v3 vettori non nulli di uno spazio euclideo V, con v1⊥v2, v1⊥v3,v2⊥v3. Dimostrare che essi sono linearmente dipendenti.
Soluzione: Allora so che affinché i 3 vettori siano linearmente indipendenti a1v1+a2v2+a3v3=0 quindi a1=a2=a3=0, cioè se il sistema omogeneo ammette soluzione banale. Sapendo che perché siano tra loro perpendicolari il prodotto ...
Nello svolgere degli esercizi ho spesso notato che il Professore ottiene lo "stesso" risultato però con matrici semplificate in maniera più approfondita, usando ovviamente la riduzione a scalini e le matrici elementari.
Vi posto un esercizio da me svolto che, comunque, è riuscito ma con un risultato diverso da quello del Professore.
Traccia:
"Il vettore $(0,0,1,0)$ appartiene allo spazio $W$ = \(\displaystyle \langle \)$(2,1,-1,3),(1,0,5,1),(2,-1,3,1)$\(\displaystyle \rangle \)?"
Ho ...
Stavo svolgendo questo esercizio che il mio prof ha assegnato qualche anno fa in una prova d'esame:
Si consideri l'applicazione $ f: RR _3[x]rarr M_2( RR ) $ definita da $ f(p)=( ( p(1) , p(0) ),( p(0) , p(-1) ) ) AA p in RR _3[x] $ e si ponga $ A=( ( 2 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ .
Si determinino una base di $ kerf $ e una base di $ Imf $ . Si calcoli la dimesione di $ f^-1(W) $ dove $ f(W)=L(A) $ .
Svolgendo il primo punto, ho trovato che la dimensione del nucleo è 1 e che una base è $ { x^3-x } $ . Per il teorema del ...
Sono molto confuso su come riuscire a trovare una base di un piano / sottospazio o quel che sia.
Un esercizio dice: "Dato il piano di equazione $3x+5y+4z=0$, determinarne una base. Lo stesso per il piano $-y+z=0$."
Io ormai in preda a febbre da matrici ho subito impostato queste due matrici: $((3,5,4,0),(0,-1,1,0))$ rendendomi conto solo dopo che non c'entra nulla.
Ricapitolando: una base è quell'insieme di vettori linearmente indipendenti che attraverso la combinazione lineare di ...
Sia dato il seguente sistema lineare:
${(x+ay+(a-1)z=1), (y+(a+1)z=a),(ay+ 2az=2a-1):}$
con $a$ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è vera:
A)Per $a=1$ il sistema è possibile e indeterminato con $oo^1$ soluzioni
B)Nessuna delle altre risposte
C)Per $a=0$ il sistema è possibile
D)Il sistema non è mai determinato
E)Per $a in RR\{0,1}$, il sistema è impossibile
....allora io per prima cosa mi sono andata a calcolare l'equazione che si ottiene dalla matrice ...
Quante sorgenti puntiformi occorrono per illuminare una sfera?
Il testo, se ben ricordo, non dava altre indicazioni!
Salve a tutti.
Sono un Ingegnere ma ho un problema puramente matematico sulla diagonalizzazione di una matrice A.
Spero mi possiate aiutare.
Tale matrice 6x6 ha un autovalore di molteplicità 4 ed altri due autovalori di molteplicità 1.
Il mio problema nasce dal fatto che gli autovettori associati all'autovalore di molteplicità 4,
per un particolare set di valori numerici assegnati alle variabili (ovvero quando una delle variabili che chiamerò qui x diventa 0) diventano linearmente ...
Salve, ho 2 problemini.
1) data la direzione della retta r ovvero r(3,2) passante per il punto P(-1,-1), determinare la sua equazione cartesiana.
2) data la retta di equazione parametrica {x = 2t-1; y = 3t} determinarne l'equazione cartesiana.
per il 1) ho ottenuto il vettore perpendicolare a r ovvero (2,-3) per cui se non erro, l'equazione è:
2x-3y+c=0.
nel caso sia corretta, come calcolo c?
invece per il 2) non so come iniziare.
Grazie
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio.
Vi posto il testo e come l'ho risolto io.
Dire se la seguente matrice è diagonalizzabile. $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$
Allora io so che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Detto questo mi sono trovato gli autovalori della matrice che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a(t)=2$. La somma delle molteplicità algebriche è ...
Sono stato colto da un dubbio atroce.
Sarò ignorante o quel che sia ma, come devo predisporre i vettori in una matrice?
Verticalmente (per colonna) od orizzontalmente (per riga)?
L'autore del mio libro universitario a volte inverte le due "rappresentazioni". Ad esempio quando si tratta di un sottospazio, inserisce i vettori per riga.
Potreste spiegarmi come mai avviene ciò?
Vi ringrazio!
Buongiorno ragazzi, sono uno studente di Ingegneria e sto trovando qualche difficoltà nel comprendere come l'autore del mio libro arrivi ad un risultato spiegato nella teoria, appunto, delle equazioni cartesiane di un sottospazio.
Vi cito tutto così è più chiaro e magari riesco ad ottenere una soluzione
"Sia W= \(\displaystyle \langle \)(1,0,2,0), (2,-1,0,3), (0,1,4,-3)\(\displaystyle \rangle \), sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R} \)^4. Vogliamo determinare una matrice A, di tipo ...
Ciao a tutti. Non riesco a venire a capo di questo esercizio. Si consideri la forma quadratica $ q: RR ^3rarr RR $ definita da $ q(x,y,z)=2kx^2-6xy+2y^2+8yz+2z^2 $ dove $ k in RR $ . Stabilire per quali valori di k q è definita positiva e nel caso k=1 diagonalizzare q. Per prima cosa ho scritto la matrice associata a q $ ( ( 2k , -3 , 0 ),( -3 , 2 , 4 ),( 0 , 4 , 2 ) ) $ Dagli appunti ho studiato che condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma quadratica sia definita positiva è che i determinanti di tutti i minori principali siano ...
Salve a tutti ragazzi,
ho un dubbio sulla lineare dipendenza di tre vettori.
Ho 3 vettori $\v_1$, $\v_2$, $v_3$ appartenti allo stesso spazio vettoriale $V$
$\v_2$ e $v_3$ costituiscono una base di $V$
Per provare che $v_1$ non è combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$ mi basta provare che$\v_1$,$v_2$ e $v_3$ sono linearmente ...
Ciao a tutti.. ho un po' di confusione nella mia testa sulle matrici di applicazioni lineari e spero che qualcuno riesca a chiarirmi le idee..
Qualche settimana fa abbiamo visto che ad ogni applicazione lineare della forma $ f: k^(n,1) -> k^(m,1)$ si può associare una matrice $A$, costruita mettendo in colonna le immagini dei vettori della base di $k^(n,1)$ cosìcchè $f(X)= AX$..
Dopo aver fatto gli isomoformismi siamo tornati sull'argomento e abbiamo visto che data ...
ciao a tutti! ho una richiesta da porvi: se ho una quadrica del tipo x2+y2+z2-2xy-1=0, come faccio a trovare un punto ad essa appartenente? qual è il ragionamento che sta alla base? come si procede?
grazie
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