Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
ho una domanda da farvi: la molteplicità geometrica è SEMPRE minore(o uguale) di quella algebrica, anche se l'applicazione NON è diagonalizzabile?
Ovvero questo teorema secondo cui la molteplicità geometrica è sempre minore(o uguale) a quella algebrica, ossia compresa tra 1 e quella algebrica, è una conseguenza del fatto che f è diagonalizzabile?
Spero in una vostra risposta precisa e puntuale per risolvere questo mio dubbio, non so se mi sono spiegato bene, grazie in anticipo!
Quando ho una conica degenere, e quindi ho il determinante della matrice che la rappresenta uguale a 0, perché risolvendo l'equazione della conica rispetto a una delle due incognite il $Delta = b^2 - 4*a*c$ è sempre un quadrato perfetto???
Oggi per l'\(n\)-esima volta ho realizzato di avere ingurgitato, durante i vari corsi di geometria della mia Università, delle nozioni senza averne capito minimamente il significato e la provenienza. La colpa è del formalismo iper-astratto e di un certo piacere perverso dei geometri nel nascondere accuratamente sotto di esso, MOLTO sotto, ogni barlume di idea che possa filtrare dalla loro trattazione. Sospetto addirittura che molti di loro si siano tanto sforzati di nascondere le idee che se le ...
Salve a tutti.
Ho un dubbio che riguarda la dimostrazione del fatto che in uno spazio metrizzabile $X$ la separabilità è condizione sufficiente per verificare il secondo assioma di numerabilità.
Come saprete, detto $D\subseteq X$ il sottoinsieme denso numerabile di $X$ esistente per ipotesi, l'idea è quella di mostrare che l'insieme \[\mathcal{B}=\{B(x,r[: x\in D, \, r\in \mathbb{Q} \cap ]0,+\infty [\}\] è una base numerabile per gli aperti della topologia.
La ...
Ragazzi ho qualche difficoltà a capire come si risolve un esercizio simile:
In $A^3$, scrivere le equazioni cartesiane del piano passante per P0 (1,0,1) e contenente la retta per P1 (1,2,2) e P2(3,1,3).
Il professore esegue il seguente passaggio:
$\{(x=1+t a1 +s a2),(y=0 + t b1 + s b2),(z=1+ t c1 + s c2):}$ Questo se la direzione del piano è v1= (a1, b1, c1) e v2=(a2,b2,c2).
Le direzioni sono quindi v1= P1 - P0= (0,2,1) e v2= P2 - P0 = (2,1,2) Per quale motivo sono queste le direzioni??
e poi scrive le equazioni ...
Salve a tutti.
Come saprete, dato uno spazio topologico $X$, un punto $c\in X$ si dice essere un cluster point della successione di punti di $X$ $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ se, per ogni intorno $V$ di $c$ in $X$, l'insieme degli indici $n\in \mathbb{N}$ tali che $x_n \in V$ è infinito.
L'esercizio che mi lascia perplesso richiede di dimostrare che in uno spazio topologico qualsiasi la condizione che ...
Magari sarà banale, ma non riesco proprio a capire:
Allora sapendo che avendo due spazi vettoriali: V e W si dice che $T: V \to W $ è un 'applicazione lineare di V in W se per ogni u, v $in$ W e per ogni $\alpha$ $in K$ (campo):
1) T(u+v)=T(u)+T(v);
2)T( $\alpha$ *u)=$\alpha$ * T(u)
come faccio a dire che prendendo due trasformazioni T: $R^2$ $\to$ $R^2$ definite ...
Salve a tutti ragazzi. Sto cercando di capire la teoria di Jordan; cosa che penso di aver ben capito!! Il mio problema però nasce sugli esercizi...Nel senso che quando si tratta di trovare J(matrice di Jordan) ci riesco; il è quando mi chiedono di trovare la matrice H, tale che H^(-1) A H = J. Come si fa a trovare le colonne della matrice H? So che alcune colonne possono essere gli autovettori degli autovali, ma le altre colonne con che criterio le trovo? Potreste spiegarmi in parole semplici ...
Oggi mi è venuto in mente questo problema:
Sia dato il classico sistema lineare $Ax=b$ con soluzione unica ($A$ invertibile).
Inizio a trasformarlo in sistemi equivalenti al primo semplicemente scambiando righe o, più in generale, sostituendo ogni riga con una combinazione lineare delle righe originarie stando attento a non formare righe linearmente dipendenti dalle altre.
Poi do il sistema trasformato ad un amico ignaro di tutto quello che ho fatto.
Ammettiamo che ...
Ragazzi domanda banale, però vorrei lo stesso farvela. Allora le basi di $U$ e $W$ so trovarmele e quindi le relative dimensioni. Poi per c) io metto in una matrice i vettori in colonna delle due basi e vedo il valore del rango che mi dice il valore della dimensione $U + W$ (EDIT)
Invece il punto b) posso farlo come segue?
trovo le cordinate del vettore generico di $U$ che sarebbero $(0,a,a,b)$ che messe nelle equazioni cartesiane ...
Amici, questa mattina non risco a venirne a capo...deve essere il caldo estivo...vi chiedo aiuto.
Devo stabilire per quali valori del parametro reale $k$ la matrice
$Ak$$((1,-1,1),(-1,k,1),(1,1,k))$
è la matrice canonicamente associata ad un prodotto scalare $\varphi$$k$.
Da ciò che ricordo o penso di ricordare, tale quesito richiede che ci sia la simmetria e rango max quindi
Trovando il det di $Ak$ dovrei essere in grado di rispondere a ...
Salve a tutti, non riesco a trovare un modo di dimostrare questo:
data la matrice $A$, dimostrare che se vale $A^2$ = $A$ e $A$ ≠ $I$ $rArr$ determinante($A$) = 0
Io sono riuscito a dimostrare, tramite il teorema di Binet, che se $A^2$ = $A$ allora determinante($A$) = 0 oppure 1.
Come faccio a dire che se $A$ ≠ $I$ allora ...
ciao ragazzi ho dei problemi con questa matrice
$ ( ( 12 , 3 , -2 , 0 ),( 2 , 1 , 0 , 0 ),( -3 , 0 , 1 , 0 ) ) $
il libro mi dice che i tre vettori che la compongono sono linearmente indipendenti, ma quando faccio l'eliminazione di Gauss mi viene rango 2, quindi uno comb. lineare degli altri due vi faccio vedere come la svolgo
$ ( ( 12 , 3 , -2 , 0 ),( 2 , 1 , 0 , 0 ),( -3 , 0 , 1 , 0 ) ) $
$ ( ( 2 , 1 , 0 , 0 ),( 12 , 3 , -2 , 0 ),( -3 , 0 , 1 , 0 ) ) $
togliendo alla seconda 6 volte la prima, e alla terza aggiungo i 3/2 della prima
$ ( ( 2 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -3 , -2 , 0 ),( 0 , 3/2 , 1 , 0 ) ) $
aggiungo alla terza 1/2 della prima
$ ( ( 2 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -3 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
se il ...
Salve ragazzi, la mie forse saranno domande banali ma ho un pò di confusione...
Da quello che so io, se una matrice X è quadrata (nxn) e ha rango pieno n e è possibile calcolarne l'inversa...
Le mie domande sono:
- se ho una matrice quadrata nxn ma il rango è p
Buonasera, non riesco a fare due punti di un esercizio... magari qualcuno può aiutare
"Sia $T : R^4 -> R^3$ la funzione lineare associata alla matrice $A = ((2,1,0,0),(4,2,1,1),(10,5,2,2))$.
b) Determinare una controimmagine per ciascuno dei vettori $(2,4,10), (0,1,2)$ nella funzione $T$.
d) Dimostrare che fissate le basi $B = ((1,-2,0,0),(0,0,1,-1),(1,0,0,0),(0,0,1,0))$ e $C = ((2,4,10),(0,1,2),(0,0,1))$, si ha $M_B^C(T) = ((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$."
Grazie!
Perchè le geodetiche di $\mathbb{H}^2$ sono le intersezioni di $\mathbb{I}^+$ con i piani per l'origine?
Cioè, io so che in $S^2$ le geodetiche sono solo gli assi di simmetria, in quanto se ho una curva che passa per due punti $a$ e $b$ e suppongo che questa sia una geodetica, se vado a simmetrizzarla avrei due geodetiche distinte di ugual lunghezza e ciò è impossibile.
Per quale motivo invece le geodetiche di $\mathbb{H}^2$ sono proprio le ...
Ciao a tutti. Ho questo esercizio, che peraltro mi sembra banale, ma che non riesco a risolvere.
Si considerino le rette $ r_1:y=x-1 r_2:x+1 $ nel piano affine $ RR ^2 $ . Determinare un'affinità $ f:RR ^2 rarr RR^2 $ tale che $ f(r_1)=r_2 $ e $ f(r_2)=r_1 $ .
Ok, le due rette sono parallele, quindi quest'affinità deve conservare il parallelismo. Ma non so come impostare questa condizione... Sono abituata a considerare rette incidenti, per cui scelgo tre punti distinti che vengono ...
Allora la dimostrazione l'ho fatta. Anchd anche i punti a); b); c)
La matrice $A = ((0,h,h(h-2)),(1,0,h),(1,h,0))$ e se $h=2$ la matrice diventa:
$A(2) = ((0,2,0),(1,0,2),(1,2,0))$
Tuttavia siccome oggi c'è stata la prima lezione sui cambiamenti di base, vorrei magari una piccola dritta per fare l'ultimo punto...
Grazie mille ragazzi!
Salve.
Ho cercato in lungo ed in largo, purtroppo però il linguaggio corretto della geometria mi rende estremamente ostico capire la soluzione al mio problema, in quanto noi controllisti non usiamo tale linguaggio.
Sto facendo esercizi sul portare matrici in forma di Jordan.
Cosa so:
-data la matrice, ne trovo il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori e le relative molteplicità algebriche
-una volta trovati gli autovalori, devo trovare le dimensioni dei nuclei delle relative matrici ...
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