Retta simmetrica rispetto ad un piano

[marixg]

devo trovare la retta simmetrica alla retta di equazione:
$X=2t+1$
$Y=3t-2$
$Z=t-1$

rispetto al piano $x+z+y-3=0$

io ho ragionato cosi..

ho trovato un generico punto della retta ponendo $t=0$ ottenedo cosi $A=(1,-2,-1)$


ho considerato la retta perpendicolara al piano e passante per A ottenedo cosi H

per provare il simmetrico di A cioè A' devo imporre che la distanza di AH sia uguale a HA'

similmete considero $t=1$ ottenedo il punto $B=(3,1,0)$ trovo la retta perpendicolara al piano e passante per B ottenedo

cosi H'

per provare il simmetrico di B cioè B' devo imporre che la distanza di BH' sia uguale a H'B'. trovando B' e A' trovo la retta passante per essi e quindi la retta cercata.

il fatto è che con riesco a uscire da queste identità per trovare le coordinate di A' e di B'....

io ho trovato:


retta perpendicolara al piano e passante per A: $x-y-3=0$ $ x-z-2=0$ $H=(2,-1,0)$


retta perpendicolara al piano e passante per B : $x-y-2=0$ $ x-z-3=0$ $H'=(4,2,-3)$

distanza $AH = 3^(1/2)$

distanza $BH' = 11^(1/2)$

[vittorino70]

Il punta generico A' della prima perpendicolare potresti scriverlo come \(\displaystyle A'(x,x-3,x-2) \)
Ora devi solo imporre la condizione \(\displaystyle A'H=\sqrt3 \) ed ottieni x .
In alternativa potresti imporre che il punto medio di AA' appartenga al piano dato.
Similmente puoi operare per avere B', dopo aver osservato che tale punto si può porre nella forma \(\displaystyle B'(x,x-2,x-3) \) .