Utile esercizio di topologia

[Richard_Dedekind]

Vi propongo questo simpatico e semplice esercizio di topologia. Credo sia molto utile a chi sta studiando per la prima volta queste cose.

Sia \(X=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\) un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) dotato della topologia euclidea. Si provi che il quoziente \(\mathbb{R}/X\) ottenuto facendo collassare \(X\) ad un punto è omeomorfo alla circonferenza \(\mathbb{S}^1\).

[j18eos]

"Richard_Dedekind":...Credo sia molto utile a chi sta studiando per la prima volta queste cose...

Concordo e sono del parere che sia conveniente spendere due parole sul collassamento di uno spazio topologico su un suo sottoinsieme chiuso.

[Richard_Dedekind]

Scusatemi, ho dimenticato di dare le utili definizioni del caso. Anche se è roba standard, è sempre meglio chiarire.

Sia \(X\) uno spazio topologico e sia \(S\) un suo sottoinsieme. Si definisca su \(X\) la seguente equivalenza:
\[x\sim y\iff x=y\text{ oppure } x,y\in S\]
Il quoziente così ottenuto si denota come \(X/S\) e si dice, suggestivamente, che si è identificato \(S\) ad un punto.

[killing_buddha]

Molto meglio, credo che si possa dire che $\mathbb R/X\cong S^1$, dove $X=(-\infty,a]\cup [b,+\infty)$ per $a

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