Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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salve, non riesco a svolgere questo esercizio che vi propongo:Si danno in E^3 i punti P=(1, 0, 1) e Q=(0, 1, 0). Si da, inoltre, nello stesso spazio la retta 'r' di equazioni parametriche x=1-t; y=2t; z=1+t. Trovare i punti A della retta 'r' che hanno la proprietà che i segmenti AP, AQ siano uguali.
Partendo dal presupposto che non ci so mettere mano ad intuito ho pensato di passare dalle equazioni parametriche alle cartesiane e dall' ultima mi sono ricavata che t=z-1 e, sostituendo nelle altre ...
Siano S la sfera unitaria di $R^3$ meno due punti e $T$ l'equatore di S. allora $T$ è retratto e/o retratto di deformazione di S??
io pensavo per quanto riguarda il retratto di deformazione prima di tutto di guardare i gruppi fondamentali
il gruppo fondamentale di $T$ è $Z$ e il gruppo fondamentale di $S$ è isomorfo al gruppo fondamentale di$R^2-{1 pt}$ pertanto è $Z$ anch'esso...quindi dai ...
Buongiorno a tutti,
vi propongo il seguente esercizio che non riesco a risolvere.
Spero possiate aiutarmi.
Dati i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3$ $U=\{(x,y,z) : x−y−z=0\}$ e $V=L[(1,1,1)(0,1,2)]$.
a) determinare una base e la dimensione di $U nn V$
b) Vi prego di essere dettagliati in questo punto perchè è quello su cui ho maggiori difficoltà.
Detto f l'endomorfismo di $R^3$ che ha U come autospazio relativo all'autovalore 1 e tale che ...
Salve, qualcuno mi sa dare un'aiuto?
L'esercizio mi dice:
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy.Siano dati i punti A(1,0) e B(3,0) e la retta r di equazione 2x - y - 6 = 0. Trovare la parabola Z con asse parallelo all'asse y , tangente in B ad r e passante per A . Studiare il fascio contenente Z più la circonferenza tangente in B ad r e passante per A.
Ora per la circonferenza credo di esserci arrivata per via geometrica usando la corda AB e la retta ...
Salve. In un esercizio mi viene chiesto di verificare che data una certa matrice \(M\) simmetrica, \(\exists v : v^t \cdot M \cdot w = 0\ \forall w\) con \(v,w\) appartenenti eccetera eccetera eccetera. Ora, la condizione l'ho trovata: deve essere \(det(M)=0\), però quello che volevo sapere è, per evitarmi alcuni calcoli:
poiché deve valere \(\forall w\), posso dire che \(v^t \cdot M \cdot w = 0 \Leftrightarrow v^t \cdot M=0\)?
In un certo senso, cioè, vale la legge di annullamento del ...
sia f: $ cc(R)4 rarr cc(R) 3 $ data da f $ ( ( x y z w ) ) $ = $ ( x+ky+w,kx+4y+2w,x+z+w ) $ trovare basi di KERN f e Im f al variare di $ k in R $
procedo cosi
f $ ( ( 1 0 0 0 ) ) $ = $ ( 1,k,1) $
f $ ( ( 0 1 0 0 ) ) $ = $ ( k,4,0) $
f $ ( ( 0 0 1 0 ) ) $ = $ ( 0,0,1) $
f $ ( (0 0 0 1 ) ) $ = $ ( 1,2,1) $
viene una matrice cosi....
$ ( ( 1 , k , 1 ),( k , 4 , 0 ),( 0,0,1 ),( 1,2,1) ) $
e ora?
Salve a tutti, sono un lettore come tanti che spesso ha sciolto dubbi grazie al vostro lavoro privo di qualsiasi secondo fine ma che ha come scopo il "voler far conoscere", mi sono appena registrato e dando un'occhiata al regolamento è proprio quello che si evince.
Convenevoli a parte(ma doverosi per questioni morali) vorrei porvi una mia difficoltà nel interpretare il testo di un esercizio
Banale di qualche passaggio ma che include nozioni teoriche a trabocchetto.
l'esercizio è il numero 3
e ...
se io considero la proiezione:
$\pi: \mathbb{R}^{n+1}\rightarrow\mathbb{R}^n$
$ (x_1,...,x_n,t)\mapsto (x_1,...,x_n)$
e la sezione nulla
$s: \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n+1}$
$ (x_1,...,x_n)\mapsto (x_1,...,x_n,0)$
avrò che
$\pi^{\star}: A^k(\mathbb{R}^{n})\rightarrow A^{k+1}(\mathbb{R}^{n+1})$
$s^{\star}: A^{k+1}(\mathbb{R}^{n+1})\rightarrow A^{k}(\mathbb{R}^{n})$
come faccio a vedere che
$s^{\star}\circ\pi^{\star}=id$?
cioè vorrei dimostrarlo localmente, vedendo come una k-forma $\alpha$ agisce, posto $\alpha=\sum_{|I|=k}\alpha_I(x_1,...,x_n)dx_I$
Se ho 2 vettori non nulli, con lo stesso modulo ed ortogonali $\vec u$ e $\vec v$, come varia la soluzione $\vec x$ dell'equazione $\vec x ^^ (\vec u - \vec v) = h\vec u + 2\vec v$ al variare di h?
Considerando una generica equazione vettoriale $\vec x ^^ \vec v = \vec w$, per avere una soluzione $\vec v$ deve essere ortogonale a $\vec w$. In tal caso lasoluzione è del tipo $\vec x = a\vec v + 1/(|\vec v| ^ 2) \vec v ^^ \vec w$.
Nel mio esempio $\vec v$ e $\vec w$ sono ortogonali se $h=2$, in ...
Dato l'endomorfismo $ f((x,y,z))= (x -2y +3z, -2x +4y -6z, x -2y +3z) $ determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f).
allora ho trovato il Ker(f) mettendo a sistema le equazioni dell'endomorfismo e trovando ke ne rimane una sola, dato ke la prima e la terza sono identike e la seconda è la prima moltiplicata per -2. Quindi la dimensione del Ker(f) è 1 ed una sua base è: $ (2y -3z, y, z) $. Ora per l'immagine trovo ke la dimensione è 1 ma nn so trovare una base. Potreste aiutarmi? grazie!
'Giorno! Ho un problema con un esercizio riguardo l'iperbole!
Determinare i valori del parametro reale t per i quali la conica $2x^2 + 2xy + ty^2+1=0$ è un iperbole equilatera.
Io so che un iperbole equilatera ha un equazione del tipo $x^2 - y^2 = a^2$, quindi ho provato a ricondurmi a quella forma con il metodo degli invariati.. ma a un certo punto mi blocco.. quindi non riesco a capire se sbaglio qualcosa strada facendo o se è proprio il metodo ad essere sbagliato!
Ho provato anche ad usare ...
Ragazzi, vorrei dimostrare che $V$$=$$R^2$ con queste leggi di composizione non è uno spazio vettoriale su $R$ :
(a) interna: $(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_2)$
esterna: $\alpha$ $(x,y)$ = $\alpha$$x$, $\alpha$$y$
Non so come fare, dalla teoria so che per riconoscere se è uno spazio vettoriale dovrei applicare le 8 proprietà...devo agire così anche in questo caso? :S??
C'ho pensato un ...
Salve! Qualcuno può aiutarmi con un paio di esercizi?
1) Determinare i valori di t per i quali il sistema
$\{(tx+4y=1),(y+(t+3)z=2),(2x-7z=3):}$
ammette più di una soluzione.
Io ho pensato che un sistema o ha infinite soluzioni, o ne ha una o non ne ha.. perciò la richiesta può essere vista come trovare i valori per cui il sistema a infinite soluzioni.. o meglio i valori per cui il determinante della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa che è uguale a 2!
Ho impostato un sistema con i due ...
Ciao a tutti. Ho un problema che non riesco a risolvere:
se le proiezioni ortogonali di $\vec v$ lungo $\vec i - \vec j$ e $\vec j + \vec k$ sono uguali a quelle di $\vec i + 2\vec j - \vec k$ e $\vec v$ è ortogonale a $2\vec i - 2 \vec k$, calcolare $\vec v$.
Ho calcolato le proiezioni ortogonali di $\vec i + 2\vec j - \vec k$ sui 2 vettori dati e il risultato è $1/sqrt2 (\vec i - \vec j)$, ma come arrivare a calcolare $\vec v$?
Grazie a tutti
Buongiorno a tutti.
Sto studiando le applicazioni lineari e mi è abbastanza chiaro il concetto di iniettività e suriettività. Tuttavia ho difficoltà a comprendere questo tipo di esercizio, in cui la funzione non è specificata quindi non ci sono calcoli da fare.
Se $f: RR^n -> RR^m$ è un'applicazione lineare e $A$ è la matrice associata rispetto alle basi canoniche, cosa si può dire riguardo l'iniettività e la suriettività della funzione e l'invertibilità della matrice, ...
Salve a tutti!Ho difficoltà a svolgere il seguente esercizio: considera i sottospazi di $RR^4$ dati da $ U= {x in RR^4 | 2x_1+ x_2 -x_4 =0, 3x_3 - 5/2x_4=0}$ e $W={x in RR^4| 2x_2-x_3=0}$. Trova dimensione, base, equazioni parametriche per $U+W$ e $ U nn W$.
La mia difficoltà sta proprio nel considerare l'unione e l'intersezione dei due sottospazi..
Per l'intersezione la matrice risultante è questa $ U nn W = |(2 ,1,0,-1), (0,0,3,-5/2), (0, 2, -1, 0)|$? Mentre l'unione, come sarebbe?Grazie per le eventuali risposte:)
Sempre il solito tipo di esercizi. Date due matrici stabilire quando sono simili.
Il caso in cui NON siano simili è facile da verificare. Infatti basta controllare rango determinante traccia ecc ecc..
Il caso in cui siano simili si dovrebbe studiare trovando secondo la definizione la matrice H del cambiamento di base. Questo è stato detto che si può fare facendo un sistema in cui si deve verificare date due matrici A e B che AH=BH
Ma non c'è un metodo più veloce?
Faccio un esempio concreto ...
Salve a tutti! Provavo a svolgere il seguente esercizio: sia $A_\alpha in M_(3,3) (RR)$ la matrice
$A_\alpha =| ( \alpha , \alpha , \alpha +1 ),( -1 , 0 , 2 ),( 2 , 0 , \alpha ) | $. Determina, al variare di $\alpha in RR$, la dimensione di $Ker A_\alpha$ e $Im A_\alpha$, e trova quali valori di $\alpha$ si ha $RR^3 =Ker A_\alpha + Im A_\alpha$.
Ho provato a ridurre la matrice a scala ma purtroppo non ci sono riuscita. E' sbagliato iniziare in questo modo oppure ho semplicemente fatto un errore?Grazie a tutti per le eventuali risposte.
Sia H l'insieme delle matrici 2x2 permutabili con C = $ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) ) $
Determinare una base e la dimensione di H.
SVOLGIMENTO:
Fissata una matrice A = $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ ho imposto AC=CA e mi ritrovo, un sistema di questo tipo
a+b=a
b=b
a+c=c+d
d=c+d
Ora, le soluzioni sono date da a=d e b,c=0 oppure da a=d, b,c=qualsiasi numero?
Ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio, pur sapendo il procedimento da usare!!
Determinare una base ortonormale di autovettori per la matrice M = $((2,3,5),(3,-6,-3),(5,-3,2))$
Qualcuno mi da un aiuto? Grazie a tutti!
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