Endomorfismo e matrice associata
Buongiorno a tutti,
vi propongo il seguente esercizio che non riesco a risolvere.
Spero possiate aiutarmi.
Dati i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3$ $U=\{(x,y,z) : x−y−z=0\}$ e $V=L[(1,1,1)(0,1,2)]$.
a) determinare una base e la dimensione di $U nn V$
b) Vi prego di essere dettagliati in questo punto perchè è quello su cui ho maggiori difficoltà.
Detto f l'endomorfismo di $R^3$ che ha U come autospazio relativo all'autovalore 1 e tale che f$(1,1,1)=(−1,−1,−1)$
scrivere la matrice di f associata alla base canonica.
c) Dire se f è semplice e determinare l'autospazio corrispondente all'autovettore $(1,1,1)$.
Grazie mille a tutti
vi propongo il seguente esercizio che non riesco a risolvere.
Spero possiate aiutarmi.
Dati i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3$ $U=\{(x,y,z) : x−y−z=0\}$ e $V=L[(1,1,1)(0,1,2)]$.
a) determinare una base e la dimensione di $U nn V$
b) Vi prego di essere dettagliati in questo punto perchè è quello su cui ho maggiori difficoltà.
Detto f l'endomorfismo di $R^3$ che ha U come autospazio relativo all'autovalore 1 e tale che f$(1,1,1)=(−1,−1,−1)$
scrivere la matrice di f associata alla base canonica.
c) Dire se f è semplice e determinare l'autospazio corrispondente all'autovettore $(1,1,1)$.
Grazie mille a tutti
Risposte
punto a) credo di averlo risolto.
per il punto b)
Non riesco a capire come sfruttare la condizione che U è l'autospazio relativo all'autovalore 1.
senza di questa f(1,1,1)=(-1,-1,-1) non è sufficiente per creare la matrice.
per questo motivo non ho inserito i miei tentativi
per il punto b)
Non riesco a capire come sfruttare la condizione che U è l'autospazio relativo all'autovalore 1.
senza di questa f(1,1,1)=(-1,-1,-1) non è sufficiente per creare la matrice.
per questo motivo non ho inserito i miei tentativi
[xdom="Seneca"]Ci sono alcune cose che non vanno bene. Precisamente:
1) Mancano i tuoi tentativi (sono obbligatori)
2) Le sollecitazioni del tipo "up" sono vietate prima delle canoniche 24h (vd. regolamento)
Cerca di porre rimedio alla 1) (usa il tasto "modifica" per aggiungere ciò che manca) e di non ripetere più la 2).[/xdom]
1) Mancano i tuoi tentativi (sono obbligatori)
2) Le sollecitazioni del tipo "up" sono vietate prima delle canoniche 24h (vd. regolamento)
Cerca di porre rimedio alla 1) (usa il tasto "modifica" per aggiungere ciò che manca) e di non ripetere più la 2).[/xdom]
"yalbach":
punto a) credo di averlo risolto.
per il punto b)
Non riesco a capire come sfruttare la condizione che U è l'autospazio relativo all'autovalore 1.
senza di questa f(1,1,1)=(-1,-1,-1) non è sufficiente per creare la matrice.
per questo motivo non ho inserito i miei tentativi
Come vedi i moderatori sono decisamente "rigorosi" (ci mancherebbe
).Magari , per evitare che una "autorisposta"
possa venire scambiata per un "up", puoi modificare il post originale.Adesso, gli autospazi.
Prendi due vettori di U, es. $(1,1,0), (1,0,1)$ e scriviamo
$M ((1),(1),(0)) = ((1),(1),(0))$
ok ?
M è "vergine" adesso, ma se espliciti i calcoli, con i singoli elementi, tra i 9 elementi risultano delle relazioni, es. $x_(1,1)=1-x_(1,2)$.
Fai la stessa cosa con l'altro vettore di U.
Alla fine rimangono 3 incognite, e con l'ultimo "indizio" la matrice M diventa unica.
[OT] @Quinzio: Il secondo post, prima che lo modificasse, non era una autorisposta bensì un qualcosa del tipo (cito a memoria) "vi prego aiutatemi almeno con il b)". [/OT]
ok....
Innanzi tutto grazie del tuo aiuto!
non ho capito il passaggio $M(1,1,0)=(1,1,0)$ che calcoli fai per ottenerlo?
non ho capito il passaggio $M(1,1,0)=(1,1,0)$ che calcoli fai per ottenerlo?
$U$ è autospazio, quindi $f(1,1,0) = (1,1,0)$. Considera ora
$f(0,0,1) = f(1,1,1) - f(1,1,0) = (-1,-1,-1) - (1,1,0) = (-2,-2,-1)$ e quindi:
$M = ((x_(11),x_(12),-2),(x_(21),x_(22),-2),(x_(31),x_(32),-1))$
$U$ è autospazio, quindi $f(2,1,1) = (2,1,1)$.
$f(1,0,0) = f(2,1,1) - f(1,1,1) = (2,1,1) - (-1,-1,-1) = (3, 2 , 2)$ e quindi:
$M = ((3,x_(12),-2),(2,x_(22),-2),(2,x_(32),-1))$
Ed infine imponi $M ((1),(1),(1)) = ((3,x_(12),-2),(2,x_(22),-2),(2,x_(32),-1)) ((1),(1),(1)) = ((-1),(-1),(-1))$
Nota che, se non sbaglio, il fatto che le condizioni dell'esercizio siano sufficienti deriva dal fatto che $RR^3 = U \oplus L(1,1,1)$.
$f(0,0,1) = f(1,1,1) - f(1,1,0) = (-1,-1,-1) - (1,1,0) = (-2,-2,-1)$ e quindi:
$M = ((x_(11),x_(12),-2),(x_(21),x_(22),-2),(x_(31),x_(32),-1))$
$U$ è autospazio, quindi $f(2,1,1) = (2,1,1)$.
$f(1,0,0) = f(2,1,1) - f(1,1,1) = (2,1,1) - (-1,-1,-1) = (3, 2 , 2)$ e quindi:
$M = ((3,x_(12),-2),(2,x_(22),-2),(2,x_(32),-1))$
Ed infine imponi $M ((1),(1),(1)) = ((3,x_(12),-2),(2,x_(22),-2),(2,x_(32),-1)) ((1),(1),(1)) = ((-1),(-1),(-1))$
Nota che, se non sbaglio, il fatto che le condizioni dell'esercizio siano sufficienti deriva dal fatto che $RR^3 = U \oplus L(1,1,1)$.
Vi ringrazio molto per il vostro aiuto!
Ora ho capito come procedere.
A presto
Ora ho capito come procedere.
A presto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo