Applicazioni lineari, iniettività e suriettività

[dragon11]

Buongiorno a tutti.
Sto studiando le applicazioni lineari e mi è abbastanza chiaro il concetto di iniettività e suriettività. Tuttavia ho difficoltà a comprendere questo tipo di esercizio, in cui la funzione non è specificata quindi non ci sono calcoli da fare.
Se $f: RR^n -> RR^m$ è un'applicazione lineare e $A$ è la matrice associata rispetto alle basi canoniche, cosa si può dire riguardo l'iniettività e la suriettività della funzione e l'invertibilità della matrice, considerando solo le dimensioni degli spazi? Mi spiego meglio: se $n=m$ cosa si può dedurre? E se $nm$?
Grazie a tutti per la risposta.

[Principe2]

Esistono una funzione iniettiva da un insieme di 5 mele ad uno di 3 mele? Esiste una funzione suriettiva da un insieme di 3 mele ad uno di 5 mele? Esiste una funzione iniettiva ma non suriettiva da un insieme di 5 mele ad un insieme di 5 banane?

P.s. non ti sto prendendo in giro.

[dragon11]

Quindi per essere iniettiva deve essere $n<=m$, per essere suriettiva $n>=m$ e se $n=m$ l'iniettività implica la suriettività. Giusto? E riguardo l'invertibilità della matrice associata, se $n=m$ è possibile dire che è sempre invertibile o bisogna sempre verificare il determinante?
Grazie.

[Principe2]

Certo che devi verificare il determinante. Insomma, che in un cesto tu abbia 5 mele e in un altro abbia 5 banane, significa che ESISTONO applicazioni invertibili da un cesto all'altro, NON che tutte siano invertibile. Stessa cosa per iniettivita' e suriettivita': Se n$\leq m$ esistono applicazioni iniettive e non esistono applicazioni suriettive. NON e' vero che ogni applicazione e' iniettiva (pensa all'applicazione banale, in cui mandi tutto in zero).