Interpretazione testo d'esame
Salve a tutti, sono un lettore come tanti che spesso ha sciolto dubbi grazie al vostro lavoro privo di qualsiasi secondo fine ma che ha come scopo il "voler far conoscere", mi sono appena registrato e dando un'occhiata al regolamento è proprio quello che si evince.
Convenevoli a parte(ma doverosi per questioni morali) vorrei porvi una mia difficoltà nel interpretare il testo di un esercizio
Banale di qualche passaggio ma che include nozioni teoriche a trabocchetto.
l'esercizio è il numero 3
e l'ultimo termine è ''ie7'
'
Convenevoli a parte(ma doverosi per questioni morali) vorrei porvi una mia difficoltà nel interpretare il testo di un esercizio
Banale di qualche passaggio ma che include nozioni teoriche a trabocchetto.
l'esercizio è il numero 3
e l'ultimo termine è ''ie7'
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Risposte
L'immagine di f ha sicuramente dimensione maggiore di 1, perché lo dice il testo stesso, ma non può neanche avere dimensione 3, perché due vettori l.i. dello spazio di partenza hanno la stessa immagine.
Quindi $1 \le dim(Im f) \le 2$.
Poi tenuto conto della somma diretta, $5 \le dim(W) \le 6$.
Ma non ne sono sicuro al 100%, attenderei altre risposte.
Quindi $1 \le dim(Im f) \le 2$.
Poi tenuto conto della somma diretta, $5 \le dim(W) \le 6$.
Ma non ne sono sicuro al 100%, attenderei altre risposte.
Ti ringrazio per la risposta .. È difficile far capire che problemi riscontro, mi manca l anello di connessione tra il mettere in pratica quello che il professore ci ha spiegato.
Ed è in particolare questo che mi innervosisce, alcuni professori spiegano con la gelosia del loro sapere quando secondo me dovrebbero non solo spiegare in termini più semplici ma DEVONO trasmettere la voglia della conoscenza.
Sfogo a parte, ragiono sulle dimensioni della matrice formata dai 3 vettori che mi da il testo
Due sono applicazioni quindi f(..) e il terzo è un vettore, il rango non può essere 0 ma almeno 1 ,ok!
Ma perchè non 3? Forse non so come interpretare le f(..)
Ed è in particolare questo che mi innervosisce, alcuni professori spiegano con la gelosia del loro sapere quando secondo me dovrebbero non solo spiegare in termini più semplici ma DEVONO trasmettere la voglia della conoscenza.
Sfogo a parte, ragiono sulle dimensioni della matrice formata dai 3 vettori che mi da il testo
Due sono applicazioni quindi f(..) e il terzo è un vettore, il rango non può essere 0 ma almeno 1 ,ok!
Ma perchè non 3? Forse non so come interpretare le f(..)
Anche il ricevimento non è servito ,non so piu' a chi rivolgermi, ho raccolto in 2 immagini i quesiti simbolo e le domande che mi pongo , non mi servono i risultati esatti in quanto non sono esercizi per casa ma vorrei solo capire ed interpretare il testo, senza sollecitazioni aspetto che qualche illuminato sappia darmi qualche delucidazione sulla metodica d'approccio per tali quesiti.( è fuori uso anche il servizio per caricare le immagini e l'ho raggirato cariicandole su un altro sito,spero non sia problematico)
http://imageshack.us/photo/my-images/854/img0472i.jpg/
http://img593.imageshack.us/img593/533/img0473az.jpg
grazie anticipate
http://imageshack.us/photo/my-images/854/img0472i.jpg/
http://img593.imageshack.us/img593/533/img0473az.jpg
grazie anticipate
Per quanto riguarda la prima immagine.
1. Un metodo potrebbe essere quello di calcolarti la matrice della trasformazione lineare e poi invertirla per calcolare la controimmagine di quel vettore. Per calcolarti la matrice \(F\) corrispondente alla tua trasformazione lineare \(f\) puoi partire dall'uguaglianza:
\[ F \, P = B \text{ dove } P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \text{ e } B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}. \]
(\(P\) è la matrice le cui colonne sono i due vettori del quale conosci le immagini e \(B\) è la matrice le cui colonne sono le corrispondenti immagini. In pratica ho preso i due sistemi che si ottengono dalle due uguaglianze del testo e ho poi messo insieme i due sistemi creando le due matrici)
A questo punto moltiplichi a destra da entrambe le parti per \(P^{-1}\) e inverti il tutto ottenendo
\[ F^{-1} = (B\,P^{-1}) = P\,B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1/7 & -2/7 \\ 2/7 & 3/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/7 & -8/7 \\ 12/7 & 11/7 \end{pmatrix}. \]
A questo punto, per calcolare la controimmagine di \((5, -8)\) è sufficiente calcolare:
\[ \begin{pmatrix} -3/7 & -8/7 \\ 12/7 & 11/7 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 5 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}. \]
Se non ho sbagliato i calcolati, \(f^{-1}(5\,e_1 - 8\,e_2)\) dovrebbe essere uguale a \( 7\,e_1 - 4\,e_2 \).
2. In questo caso non conosco la notazione utilizzata, però immagino che ti stia in effetti chiedendo di trovare le coordinate del polinomio in quelle basi. Hai idea di come farlo?
(3.?) In che senso hai scritto "Cercare un ragionamento da adottare sempre"? Ragionamento per cosa? Per un esercizio che hai cancellato?
4. Siccome due vettori sono mandati nello stesso vettore dell'immagine, il nucleo della mappa ha dimensione almeno uno e la dimensione dell'immagine è al più 4 (la somma delle dimensioni di immagine e nucleo è uguale alla dimensione del dominio). La dimensione di W (che è uguale alla codimensione dell'immagine) è almeno uguale a \(9 - 4 = 5\).
7. Che dubbi hai su questo esercizio? Come calcolare la proiezione su \(X\)?
Per quanto riguarda il secondo foglio.
1. Non mi è chiaro il tuo dubbio.
2. Devi scrivere la matrice corrispondente ad \(A + t\,B\) e quindi calcolare il determinante di tale matrice in funzione di \(t\). La mappa ha nucleo non banale quando il determinante è uguale a \(0\). Devi quindi trovare gli zeri del polinomio e per ogni zero trovato calcolarti il nucleo della matrice. Nel secondo punto devi considerare le matrici come vettori 4-dimensionali e trovare le equazioni cartesiane del sottospazio generato dai due vettori corrispondenti a quelle matrici (hai idea di come farlo?). Per quanto riguarda l'ultimo punto non sono certo del significato della notazione adottata (lo stesso vale per l'esercizio seguente).
1. Un metodo potrebbe essere quello di calcolarti la matrice della trasformazione lineare e poi invertirla per calcolare la controimmagine di quel vettore. Per calcolarti la matrice \(F\) corrispondente alla tua trasformazione lineare \(f\) puoi partire dall'uguaglianza:
\[ F \, P = B \text{ dove } P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \text{ e } B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}. \]
(\(P\) è la matrice le cui colonne sono i due vettori del quale conosci le immagini e \(B\) è la matrice le cui colonne sono le corrispondenti immagini. In pratica ho preso i due sistemi che si ottengono dalle due uguaglianze del testo e ho poi messo insieme i due sistemi creando le due matrici)
A questo punto moltiplichi a destra da entrambe le parti per \(P^{-1}\) e inverti il tutto ottenendo
\[ F^{-1} = (B\,P^{-1}) = P\,B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1/7 & -2/7 \\ 2/7 & 3/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/7 & -8/7 \\ 12/7 & 11/7 \end{pmatrix}. \]
A questo punto, per calcolare la controimmagine di \((5, -8)\) è sufficiente calcolare:
\[ \begin{pmatrix} -3/7 & -8/7 \\ 12/7 & 11/7 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 5 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \end{pmatrix}. \]
Se non ho sbagliato i calcolati, \(f^{-1}(5\,e_1 - 8\,e_2)\) dovrebbe essere uguale a \( 7\,e_1 - 4\,e_2 \).
2. In questo caso non conosco la notazione utilizzata, però immagino che ti stia in effetti chiedendo di trovare le coordinate del polinomio in quelle basi. Hai idea di come farlo?
(3.?) In che senso hai scritto "Cercare un ragionamento da adottare sempre"? Ragionamento per cosa? Per un esercizio che hai cancellato?
4. Siccome due vettori sono mandati nello stesso vettore dell'immagine, il nucleo della mappa ha dimensione almeno uno e la dimensione dell'immagine è al più 4 (la somma delle dimensioni di immagine e nucleo è uguale alla dimensione del dominio). La dimensione di W (che è uguale alla codimensione dell'immagine) è almeno uguale a \(9 - 4 = 5\).
7. Che dubbi hai su questo esercizio? Come calcolare la proiezione su \(X\)?
Per quanto riguarda il secondo foglio.
1. Non mi è chiaro il tuo dubbio.
2. Devi scrivere la matrice corrispondente ad \(A + t\,B\) e quindi calcolare il determinante di tale matrice in funzione di \(t\). La mappa ha nucleo non banale quando il determinante è uguale a \(0\). Devi quindi trovare gli zeri del polinomio e per ogni zero trovato calcolarti il nucleo della matrice. Nel secondo punto devi considerare le matrici come vettori 4-dimensionali e trovare le equazioni cartesiane del sottospazio generato dai due vettori corrispondenti a quelle matrici (hai idea di come farlo?). Per quanto riguarda l'ultimo punto non sono certo del significato della notazione adottata (lo stesso vale per l'esercizio seguente).
Seguo i tuoi punti.
1) illuminante,chiaro efficace. mi tornano tutti gli esercizi simili
2) effettivamente no, ma credo basti passare ai vettori moltiplicarli per due coefficienti alpha e beta che troverò risolvendo il sistema uguagliandolo al vettore noto di B.
In particolare dallo spazio X=[ $ in $ $ RR \leqslant <2> $ [t] : p(-1)=0] che informazioni posso ricavare? come lo leggo?
3) Il ragionamento da adottare nell'esercizio 4, cosa che è già accaduta quindi va benissimo!
4)era proprio il ragionamento sull'immagine e sul nucleo, anche tutti questi esercizi simili mi tornano
7) Si con le proiezioni faccio confusione, mi sta chiedendo in pratica questo? http://img443.imageshack.us/img443/1423/alge.jpg
Secondo Foglio
1)trovare equazioni parametriche(esprimo i parametri) ma come faccio ad eguagliare il sistema al ker(f) o all'imm(f) ?
2) mi tornano gli esercizi simili fino a trovare le equazioni cartesiane per il sottospazio generato, non riesco ad immaginarmelo.
Mi permetto di dirti che in un solo post mi hai chiarito dei dubbi che non riuscivo a togliermi, la tua(vostra) disponibilità è mostruosa
1) illuminante,chiaro efficace. mi tornano tutti gli esercizi simili
2) effettivamente no, ma credo basti passare ai vettori moltiplicarli per due coefficienti alpha e beta che troverò risolvendo il sistema uguagliandolo al vettore noto di B.
In particolare dallo spazio X=[ $
3) Il ragionamento da adottare nell'esercizio 4, cosa che è già accaduta quindi va benissimo!
4)era proprio il ragionamento sull'immagine e sul nucleo, anche tutti questi esercizi simili mi tornano
7) Si con le proiezioni faccio confusione, mi sta chiedendo in pratica questo? http://img443.imageshack.us/img443/1423/alge.jpg
Secondo Foglio
1)trovare equazioni parametriche(esprimo i parametri) ma come faccio ad eguagliare il sistema al ker(f) o all'imm(f) ?
2) mi tornano gli esercizi simili fino a trovare le equazioni cartesiane per il sottospazio generato, non riesco ad immaginarmelo.
Mi permetto di dirti che in un solo post mi hai chiarito dei dubbi che non riuscivo a togliermi, la tua(vostra) disponibilità è mostruosa
Sul primo foglio
2. Si tratta dello spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al più \(2\) con uno zero in \(-1\). E' quindi formato da tutti i polinomi nella forma \( (x + 1)\,(a\,x + b) \) per ogni \(a,\, b \in \mathbb R. \) E' ovviamente uno spazio vettoriale di dimensione \(2\). La struttura di spazio vettoriale è quella data dai polinomi, per cui la somma e la moltiplicazione per uno scalare sono quelli soliti definiti sui polinomi. Puoi vederlo come ad un sottospazio dello spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(2\) che ha come base \(\{1, x, x^2\}\). A questo punto il problema non è molto diverso dal chiederti di calcolarti i coefficienti del vettore \((5, 2, -3)\) rispetto a \(\{(1,2,1), (1, -3, -4)\}. \) Io ho trovato \((3.4, 1.6).\)
7. Direi che è quello che devi calcolare.
Secondo foglio
1. Ma non c'è niente da uguagliare.. Devi solo trovare le equazioni parametriche del nucleo e cartesiane dell'immagine in funzione di \(t\). In che modo le dovresti uguagliare? Non sono uguali. Dovrai invece poi calcolare la somma diretta di questi due spazi e calcolare la proiezione. Immagino tu debba insomma vedere che se \(v\) è una base del nucleo, allora l'immagine è contenuta nel piano di equazione \( \langle v, x \rangle = 0. \) Ma non ho provato in realtà a farlo.
2. Per trovare l'equazione cartesiana è sufficiente trovare due vettori linearmente indipendenti ortogonali al sottospazio generato da \(U\) e \(V\). Scrivi poi le equazioni degli iperpiani con quei vettori come normali e li metti a sistema.
2. Si tratta dello spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al più \(2\) con uno zero in \(-1\). E' quindi formato da tutti i polinomi nella forma \( (x + 1)\,(a\,x + b) \) per ogni \(a,\, b \in \mathbb R. \) E' ovviamente uno spazio vettoriale di dimensione \(2\). La struttura di spazio vettoriale è quella data dai polinomi, per cui la somma e la moltiplicazione per uno scalare sono quelli soliti definiti sui polinomi. Puoi vederlo come ad un sottospazio dello spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(2\) che ha come base \(\{1, x, x^2\}\). A questo punto il problema non è molto diverso dal chiederti di calcolarti i coefficienti del vettore \((5, 2, -3)\) rispetto a \(\{(1,2,1), (1, -3, -4)\}. \) Io ho trovato \((3.4, 1.6).\)
7. Direi che è quello che devi calcolare.
Secondo foglio
1. Ma non c'è niente da uguagliare.. Devi solo trovare le equazioni parametriche del nucleo e cartesiane dell'immagine in funzione di \(t\). In che modo le dovresti uguagliare? Non sono uguali. Dovrai invece poi calcolare la somma diretta di questi due spazi e calcolare la proiezione. Immagino tu debba insomma vedere che se \(v\) è una base del nucleo, allora l'immagine è contenuta nel piano di equazione \( \langle v, x \rangle = 0. \) Ma non ho provato in realtà a farlo.
2. Per trovare l'equazione cartesiana è sufficiente trovare due vettori linearmente indipendenti ortogonali al sottospazio generato da \(U\) e \(V\). Scrivi poi le equazioni degli iperpiani con quei vettori come normali e li metti a sistema.
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