K-forme

[Dinah1]

se io considero la proiezione:
$\pi: \mathbb{R}^{n+1}\rightarrow\mathbb{R}^n$
$ (x_1,...,x_n,t)\mapsto (x_1,...,x_n)$

e la sezione nulla
$s: \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n+1}$
$ (x_1,...,x_n)\mapsto (x_1,...,x_n,0)$

avrò che

$\pi^{\star}: A^k(\mathbb{R}^{n})\rightarrow A^{k+1}(\mathbb{R}^{n+1})$

$s^{\star}: A^{k+1}(\mathbb{R}^{n+1})\rightarrow A^{k}(\mathbb{R}^{n})$

come faccio a vedere che
$s^{\star}\circ\pi^{\star}=id$?

cioè vorrei dimostrarlo localmente, vedendo come una k-forma $\alpha$ agisce, posto $\alpha=\sum_{|I|=k}\alpha_I(x_1,...,x_n)dx_I$

[apatriarca]

Un primo metodo per dimostrarlo è quello di sfruttare le proprietà funtoriali del pullback. E' infatti immediato osservare che \( \pi \, s = \mathrm{id} \) e quindi \( (\pi \, s)^* = s^* \, \pi^* = \mathrm{id}. \) Volendo invece fare una dimostrazione meno categoriale, inizia a scrivere la definizione di queste mappe in modo da poter capire che cosa è il risultato della loro composizione..

[Dinah1]

La dimostrazione tramite pull back mi è chiara, ma volevo vederlo anche da un punto di vista locale.
Tramite le definizioni io scriverei
$\pi^{\star}\alpha=\sum_{|I|=k}\alpha_{I,t}(x_1,...,x_n,t)dx_Idt$
e poi chiaramente applicando $s^{\star}$ avrei $\alpha$.
Ma è il passaggio in mezzo di cui non sono convinta, applicando $\pi^{\star}$ la mia $k+1$-forma è fatta come ho scritto io?

[apatriarca]

Per prima cosa c'è un errore nel tuo primo post. Il pullback manda sempre \(k\)-forme in \(k\)-forme.. Per cui \(\pi^* \colon \Lambda^k\,\mathbb R^n \to \Lambda^k\,\mathbb R^{n+1} \) e \(s^* \colon \Lambda^k\,\mathbb R^{n+1} \to \Lambda^k\,\mathbb R^n \). Se a questo punto dai un'occhiata alle definizioni, scoprirai che \( \alpha = \sum \alpha_I \, dx_I \) viene mandato "in se stesso" da \(\pi^*\). Infatti si ha che \( (\pi^*\,\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha (\pi_*\,v_1, \dots, \pi_*\,v_k) \) e \( \pi_* \) è in pratica, localmente, la proiezione \(\pi\). \(s^*\) può essere studiato in modo simile e si vede che alla fine \(\alpha\) rimane lo stesso e la composizione è l'identità.