Scrivere l'equazione di una parabola
Salve, qualcuno mi sa dare un'aiuto?
L'esercizio mi dice:
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy.Siano dati i punti A(1,0) e B(3,0) e la retta r di equazione 2x - y - 6 = 0. Trovare la parabola Z con asse parallelo all'asse y , tangente in B ad r e passante per A . Studiare il fascio contenente Z più la circonferenza tangente in B ad r e passante per A.
Ora per la circonferenza credo di esserci arrivata per via geometrica usando la corda AB e la retta perpendicolare ad r nel punto B per trovare il centro e il raggio ho scritto la circonferenza dalla formula generica. Per la parabola io ho immaginato che questa sia una specie di fascio di coniche bitangenti nel punto B e A e che quindi il fascio che mi serve per individuare la parabola sia dato dalla somma: r^2 + k y^2=0, ma questa soluzione non terrebbe assolutamente conto dell'asse parallelo all'asse y, il che mi suggerisce che forse dovrei usare in qualche modo la retta che passa per il punto improprio.Ma come lo trovo il punto improprio? e come la trovo la retta che passa per il punto improprio? e come glielo scrivo dentro il fascio quello che ho eventualmente trovato? Cioè teoricamente so che sto sbagliando, ma praticamente non riesco a scrivere diversamente da come sto facendo... mi spreste dire come impostarlo?
L'esercizio mi dice:
Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy.Siano dati i punti A(1,0) e B(3,0) e la retta r di equazione 2x - y - 6 = 0. Trovare la parabola Z con asse parallelo all'asse y , tangente in B ad r e passante per A . Studiare il fascio contenente Z più la circonferenza tangente in B ad r e passante per A.
Ora per la circonferenza credo di esserci arrivata per via geometrica usando la corda AB e la retta perpendicolare ad r nel punto B per trovare il centro e il raggio ho scritto la circonferenza dalla formula generica. Per la parabola io ho immaginato che questa sia una specie di fascio di coniche bitangenti nel punto B e A e che quindi il fascio che mi serve per individuare la parabola sia dato dalla somma: r^2 + k y^2=0, ma questa soluzione non terrebbe assolutamente conto dell'asse parallelo all'asse y, il che mi suggerisce che forse dovrei usare in qualche modo la retta che passa per il punto improprio.Ma come lo trovo il punto improprio? e come la trovo la retta che passa per il punto improprio? e come glielo scrivo dentro il fascio quello che ho eventualmente trovato? Cioè teoricamente so che sto sbagliando, ma praticamente non riesco a scrivere diversamente da come sto facendo... mi spreste dire come impostarlo?
Risposte
Io farei così anche se non sono sicuro che sia un metodo del tutto accettato in geometria (perchè c'è una derivata).
La forma canonica della parabola con asse di simmetria // all'asse y è $y=ax^2+bx+c$.
Dobbiamo quindi trovare tre equazioni per fare un sistema e trovare $a,b,c$.
Due equazioni si trovano impostando il passaggio per i due punti. La terza equazione si ottiene ponendo la derivata $y'=2ax+b$ in A uguale al coefficiente angolare della retta.
La forma canonica della parabola con asse di simmetria // all'asse y è $y=ax^2+bx+c$.
Dobbiamo quindi trovare tre equazioni per fare un sistema e trovare $a,b,c$.
Due equazioni si trovano impostando il passaggio per i due punti. La terza equazione si ottiene ponendo la derivata $y'=2ax+b$ in A uguale al coefficiente angolare della retta.
Puoi considerare il fascio di parabole tangenti a r in B. Prendi come generatrici la retta r e la parabola che degenera in due rette coincidenti ( ovvero (x-3)^2=0). Il fascio sarà dunque $(x-3)^2+k(2x-y-6)=0$. Imponi il passaggio per A, risolvi l'equazione rispetto a k e sostituisci il valore di k nell'equazione del fascio.
no, devo usare i fasci per forza, l'esercizio fa parte di quelli che si devono risolvere coi fasci... 
forse è che non ho riconosciuto i punti base e non so come trattarlo...
forse è che non ho riconosciuto i punti base e non so come trattarlo...
Il punto base è doppio e sarebbe il punto B comunque
luca96 scusa ma non ti seguo...perchè r la prendo una volta sola? e il fatto che io considero che la parabola degeneri in due rette coincidenti significa che questa "degenerazione" rappresenta l'asse di simmetria della parabola che cerco?
Per una migliore comprensione bisogna forse precisare quali sono i punti base del fascio di coniche che si cerca e quali le coniche degeneri corrispondenti. Ora i punti base sono: [ in coordinate proiettive ] il punto improprio dell'asse y \(\displaystyle Y_{\infty}(0,1,0) \) contato due volte con tangente relativa di equazione \(\displaystyle t=0 \) [ ovvero la retta impropria del piano della conica] ed il punto \(\displaystyle B(3,0,1) \) pur'esso contato due volte e con tangente relativa coincidente con la retta r data . Pertanto l'equazione del fascio richiesto si può simbolicamente scrivere così :
\(\displaystyle \lambda (Y_{\infty} Y_{\infty}) \cdot (BB) +\mu (Y_{\infty}B)\cdot (Y_{\infty}B)=0 \)
Ovvero :
( 1) \(\displaystyle \lambda t\cdot (2x-y-6)+\mu (x-3t)\cdot (x-3t)=0\)
Imponendo ora il passaggio per A(1,0,1), si trova \(\displaystyle \lambda=\mu \) e quindi la (1 ) diventa [in coordinate affini ] :
\(\displaystyle y=x^2-4x+3 \)
\(\displaystyle \lambda (Y_{\infty} Y_{\infty}) \cdot (BB) +\mu (Y_{\infty}B)\cdot (Y_{\infty}B)=0 \)
Ovvero :
( 1) \(\displaystyle \lambda t\cdot (2x-y-6)+\mu (x-3t)\cdot (x-3t)=0\)
Imponendo ora il passaggio per A(1,0,1), si trova \(\displaystyle \lambda=\mu \) e quindi la (1 ) diventa [in coordinate affini ] :
\(\displaystyle y=x^2-4x+3 \)
vittorino70 hai azzaccato esattamente la cosa che non avevo capito.... ok ora è più che chiaro, ti ringrazio e ringrazio tutti coloro che mi hanno risposto... 
grazie...
grazie...
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