Basi di Kern e Im al variare di K

[mictrt]

sia f: $ cc(R)4 rarr cc(R) 3 $ data da f $ ( ( x y z w ) ) $ = $ ( x+ky+w,kx+4y+2w,x+z+w ) $ trovare basi di KERN f e Im f al variare di $ k in R $

procedo cosi

f $ ( ( 1 0 0 0 ) ) $ = $ ( 1,k,1) $
f $ ( ( 0 1 0 0 ) ) $ = $ ( k,4,0) $
f $ ( ( 0 0 1 0 ) ) $ = $ ( 0,0,1) $
f $ ( (0 0 0 1 ) ) $ = $ ( 1,2,1) $

viene una matrice cosi....

$ ( ( 1 , k , 1 ),( k , 4 , 0 ),( 0,0,1 ),( 1,2,1) ) $


e ora?

[Sk_Anonymous]

E ora discuti il rango della matrice al variare di \(\displaystyle k \).

[mictrt]

per k=2 il rango della matrice è 3 per esempio....ma non credo intendevi questo

[Seneca1]

Per prima cosa, giusto per parlare dello stesso oggetto, non considererei quella matrice ma la sua trasposta $M$.
Il rango di $M$ può essere o 2 o 3. Per trovare una base del nucleo puoi risolvere il sistema lineare omogeneo $M \bb{x} = \bb{0}$ e trovare una base del sottospazio delle soluzioni del sistema (che avrà almeno dimensione 1).

Inoltre $"Im"(f) = \{ M \bb{ v} : \bb{v} \in RR^4 \}$. Sia $y \in "Im"(f)$:

$y_1 = x_11 v_1 + x_12 v_2 + x_13 v_3 + x_14 v_4$
$y_2 = x_21 v_1 + x_22 v_2 + x_23 v_3 + x_24 v_4$
$y_3 = x_31 v_1 + x_32 v_2 + x_33 v_3 + x_34 v_4$

$(y_1 , y_2 , y_3 ) = v_1 ( x_11, x_21 , x_31 ) + v_2 ( x_12, x_22 , x_32 ) + v_3 ( x_13 , x_23 , x_33 ) + ...$

Cioè $"Im"(f)$ coincide con il sottospazio generato dai vettori colonna di $M$.