Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Il mio dubbio è il seguente:
se ho due sottospazi vettoriali di V, chiamiamoli U, W, tali che la loro intersezione comprenda solo il vettore nullo, posso dire che U e W sono in somma diretta.
Questo fatto è sufficiente a dire che U e W sono supplementari ?
oppure ho bisogno di altre condizioni ? ragionandoci direi che la somma diretta, quindi l' intersezione limitata al solo vettore nullo, non è una condizione sufficiente a garantire che due spazi siano supplementari, ad esempio prendiamo due ...
Ciao... premesso che sto pensando di aver sbagliato indirizzo ... avrei dovuto fare lettere probabilmente, vi chiedo se potete aiutarmi ancora una volta.
Questa volta non so proprio da dove iniziare... avrei bisogno di una mano a capire, non la soluzione...
Inizio con i primi due (sono cinque in totale :/) sperando mi diano una spinta per gli altri
Es. 1
Determinare l'insieme dei punti M di un piano con cordinate(in francese lo chiamano affixe ma non riesco a trovare la parola equivalente in ...
Ciao a tutti, qualcuno sa se è possibile utilizzare un software come Jitter, per disegnare degli spazi vettoriali e poter quindi tastare, ciò che si studia in geometria?
Grazie in anticipo!
Come da titolo, come si determina l'equazione (parametrica o cartesiana) di un piano, conoscendo un pt del piano ed un vettore normale al piano?
Sia $F : RR^3 -> RR^3$ l’applicazione lineare definita da
$F(x, y, z) = (x, y, z) \wedge (3, 0,−4)$.
non riesco proprio ad esplicitarmi l'applicazione da dove devo partire?? ho pensato al prodotto semplice cioè
$F(x,y,z)= 3x-4z$ ma non sarà sicuramente così!! grazie in anticipo.
ESercizio :
Sia A= \begin{pmatrix}
k & 1 &1 \\
k & 2 & 2\\
0 &1 &k \\
0 & -1 & k
\end{pmatrix}
Dove $\alpha \in RR$.Determinare il rango di $A$ , al variare di $\alpha$.
Svolgo l'esercizio utilizzando il principio degli orlati.
Innanzi tutto noto che $1<=Rg(A)<=3$.
Scelgo come minore da orlare il minore :
H = \begin{vmatrix}
k & 1\\
k & 2
\end{vmatrix} = k .
Dunque se $k!=0 => Rg(A) >=2$.
Gli orlati di $H$ risultano essere
...
Fissato nello spazio un riferimento monometrico ortogonale si considerino le
seguenti due rette:
r :
x = y
z = y
s :
x = 2y
z = 1
il punto A(2,−1, 0) ed il piano Beta rappresentato da: x + 2y + z + 3 = 0. Si
rappresenti
La retta r' proiezione di s da A su Beta(piano)
ragazzi sono proprio in alto mare, ho pensato ad una soluzione ma al 90% credo sia sbagliata, la posto comunque:
ho pensato di calcolarmi il piano per A perpendicolare al piano Beta ed intersecarlo con beta stesso. grazie ...
Salve, parto subito bene sul forum con una richiesta di "aiuto" (più che aiuto, è una richiesta per capire se i miei ragionamenti sono giusti, dal momento che ho l'esame di g&a a breve e voglio fare più esercizi possibili).
Esercizio:
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} \) la funzione lineare così definita:
\(\displaystyle f(x,y,z)=(x+y+z,2x-y+z,3x+kz) \) con k numero reale.
a) Trovare (una) base e la dimensione di Nf (Nucleo) e di If (Immagine)
b) Discutere l'iniettività e ...
Ho un problema con la molteplicità geometrica.
so che la m.g. è la dimensione dell'autospazio generato dall'autovalore \(\displaystyle \lambda \) generico.
è il metodo di calcolo che mi sfugge.
nel caso specifico. ho una matrice con un parametro t. la matrice è 3x3 con la terza riga di tutti zeri, quindi il suo rk è 2
una volta ricavati gli autovalori come faccio a calcolarne la molteplicità geometrica?
il problema sarebbe quello di stabilire i valori di t per cui la matrice è ...
Salve a tutti.
Sto tentando di risolvere il seguente esercizio: "Fissato un sistema di riferimento affine RA(O, $\vec i $ , $\vec j$ , $\vec k $ ) nello spazio considera i vettori $\vec OA$ = 3 $\vec i $ + $\vec j $ - 2 $\vec k $ , $\vec OB$ = 2 $\vec i$ + 3 $\vec j$ + $\vec k$ e il piano $\pi$ = Span ( $\vec OA$ , $\vec OB$ ).
Verifica che la retta di equazioni ...
Ciao a tutti ho un problema con una cosa abbastanza stupida e speravo di ricevere una mano:
Ho due sottospazi vettoriali:
$A=L{(1,0,0,1,1,1,1,-1,1),(0,1,0,0,1,1,-1,1,0),(0,0,1,0,0,1,1,0,0)}$
$B=L{(1,0,0,1,-1,1,1,1,1),(0,1,0,0,1,-1,1,1,0),(0,0,1,0,0,1,1,0,0)}$
voglio calcolare: $L(A)nnL(B)$ e $L(AnnB)$.
So per Grassman che $dimL(A)nnL(B) = 1$. A occhio mi viene da dire che la loro intersezione è il vettore: $(0,0,1,0,0,1,1,0,0)$ perché compare in entrambi i sottospazi, ma se volessi calcolarmelo come dovrei fare?
Mentre non so cosa fare per calcolare $L(AnnB)$.
Propongo un esercizio che pensavo di aver risolto tempo fa. Mi accorgo che c'è un errore nella mia dimostrazione, ma non riesco a trovare una soluzione diversa.
Siano $X,Y$ spazi topologici localmente compatti. Sia $f:X\to Y$ continua e propria. Allora $f$ è chiusa.
Recall: una funzione $f$ si dice propria se per ogni $K \subset Y$ compatto, allora $f^{-1}(K)$ è compatto.
Inserisco in spoiler la mia dimostrazione:
Sia ...
Dopo aver individuato un opportuno polinomio v(t) € Z3(t) irriducibile su Z3, per costruire GF(3^3) si calcoli (1,2,1)+(2,2,2) ed (1,2,1)*(2,2,2).
Aiuto non so come procedere!!! Grazie mille a tutti
Ciao, amici! Mi chiedevo se sia lecito secondo le norme comunemente accettate riguardanti le notazioni matematiche indicare per brevità il prodotto scalare o hermitiano con un puntino, tipo \(\mathbf{x}·\mathbf{y}\), invece che con \(\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle\), anche se non si tratta di vettori appartenenti a $RR^n$ o $CC^n$, per brevità o per evitare di interpretare \(\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \text{Span}(\mathbf{x},\mathbf{y})\)...
Grazie a tutti!!!
Ciao, amici! Il Sernesi, Geometria I, accenna a coefficienti di Fourier e proiezioni di vettori lungo la direzione di un vettore non nullo nel caso di spazi vettoriali hermitiani, dicendo che si definiscono come nel caso di spazi euclidei.
Ora, nel caso euclideo il coefficiente di Fourier e la proiezione lungo \(\mathbf{v}\) sono definiti rispettivamente come
\[a_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})=\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\]e ...
Ciao, amici! Leggo (su Sernesi, Geometria I, capitolo 2, paragrafo 20 Operatori unitari e isometrie) che se $T:\mathbf{V}\to\mathbf{V}$ con $\mathbf{V}$ spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, "allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) $T$ è un operatore unitario.
2) $T$ è un operatore lineare tale che \(\|T(\mathbf{v})\|=\|\mathbf{v}\|\) per ogni $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$.
3) $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ e \(\|T(\mathbf{v})-T(\mathbf{w})\|=\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|\) per ...
Assegnata una circonferenza di raggio AB=2 sia $t$ la semiretta tangente alla semicirconferenza in B e K la proiezione del generico punto P su $t$ della semicirconferenza.
a) Determinare per quale posizione di P è massima la somma dei cateti del triangolo APB. Fissato opportunamente un sistema di riferimento scrivere l'equazione della curva razionale intera di quarto grado che ha:
gli estremi relativi in A, B e nel punto P determinato.
Ho trovato P ed ho visto ...
ciao. potreste aiutarmi a trovare gli autovalori della matrice
$ A( ( -9 , -2 , 0 , 0 ),( 2 , -9 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -9 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , -9 ) ) $
ho provato con il polinomio caratteristico ma non ne sono uscita dato che escono dei numeri particolarmente grandi e del quarto grado
salve a tutti. mi sono imbattuta in un esercizio che non riesco a fare
scrivere l'equazione della conica $C$ avente per vertice $V=(2,1)$, come asintoto la retta $x=y$ ,come diametro la retta$ s$ $ x-2y+1=0$.
determinare le equazioni delle tangenti alla conica nei punti in cui $s$ incontra $C$.
dunque io so che:
il vertice è il punto in cui la conica incontra l'asse.
l'asintoto sono diametri autoconiugati
...
determinare la parabola avente asse la retta $x+y+1=0$ e passante per $P=(-1,2)$ ed $Q=(0,0)$.
non riesco a farla:(
ma come sfrutto quell'asse?
l'equazione della parabola è $y=aX^(2)+bx+c=0$
iponendo il passaggio per Q ottengo $c=0$
imponendo il passaggio per P ottengo $a=b+2$
ma come sfrutto quell'asse?
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