Rette e piani, un esercizio di geometria analitica
Questo è il primo esercizio di geometria analitica in cui mi cimento..vorrei un vostro parere sulla risoluzione che ho pensato 
, premetto che il post è lungo ma non sono domande è lo svolgimento dell'esercizio.. 
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano abbiamo due rette $r$ ed $s$ definite
$r=\{(x-y+2z+2=0),(x-2y-2z=0):}$ $s=\{(x=t),(y=t),(z=t):}$
a) Si determini il punto $P$ di $s$ se $t=2$
Il punto cercato è $P(2,2,2)$
b)Si determini il piano $alpha$ contenente $P$ ed $r$
Prendo il sistema omogeneo derivante da quello che rappresenta la retta
$\{(x-y+2z=0),(x-2y-2z=0):}$ ha infinite soluzioni tutte proporzionali a $(6,4,-1)$ dunque il vettore $V_r=(6,4,-1)$ rappresenta il vettore direzione della retta $r$
Poi prendo un punto di $r$ a caso fissando uno dei parametri (x,y,z), prendo $z=0$ ottenendo il sistema
$\{(x-y+2=0),(x-2y=0):}$ ottenendo il punto $Q=(-4,-2,0)$
Poi faccio la differenza tra i due punti ottenendo un vettore $P-Q=(6,4,2)$ mettendo il 2 in evidenza ottengo un vettore sulla stessa retta ma più "corto" e più facile da usare nei calcoli
Il vettore che rappresenta la direzione della retta tra il punto $P$ e il punto $Q$ è:
$P-Q=(3,2,1)$
I vettori $P-Q$ e $V_r$ rappresentano la giaciutra del piano che voglio,
Presa la generica equazione rappresentante un piano $ax+by+cz+d=0$ i parametri (a,b,c) rappresentano la direzione di un vettore perpendicolare al piano, per trovare tale vettore basta fare il prodotto vettoriale tra i vettori $P-Q$ e $V_r$
$|(i,j,k),(3,2,1),(6,4,-1)|=(-6,9,0)$ le componenti del vettore $(-6,9,0)$ corrispondono ad (a,b,c) per cui
$a=-6$$b=9$$c=0$
Il piano passa per $P$, da questa condizione ricaviamo il parametro $d=-6$
Il piano $alpha$ ha equazione $-6x+9y-6=0$
c) Si determini la retta $n$ appartenente al piano $alpha$, perpendicolare a $r$ e incidente a $s$
Qui iniziano i dolori..
, avendo fatto nella mia vita solo esercizi di geometria analitica in $R^2$ mi trovo spaesato a cercare un'equazione di una retta in $R^3$..premesso questo cerco delle condizioni e procedo così:
Una retta qualsiasi in $R^3$ si rappresenta come intersezione di due piani, la retta $n$ appartiene ad $alpha$ quindi posso scriverla come intersezione di $alpha$ e un generico piano
$n=\{(-6x+9y-6=0),(ax+by+cz+d=0):}$
Non mi resta che trovare i coefficienti a,b,c,d imponendo opportune condizioni..in tal caso però starei cercando un piano non una retta
Le condizioni a cui avevo pensato sono queste:
1) $n$ ed $s$ sono incidenti per cui sono complanari
per questa condizione non uso la rappresentazione parametrica di $s$ ma la rappresento come interezione di due piani
$s=\{(x-y=0),(y-z=0):}$
metto a sistema $n$ ed $s$:
$\{(x-y=0),(y-z=0),(-6x+9y-6=0),(ax+by+cz+d=0):}$ se sono complanari tutto il determinanate di questo sistema deve essere uguale a 0
$|(1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(-6,9,0,-6),(a,b,c,d)|=0$ tramite Laplace ottengo una prima equazione in $a,b,c,d$
2)$n$ è perpendicolare a $r$ duque il prodotto scalare tra i due vettori direzione deve essere uguale a 0
3)Se $n$ appartiene ad $alpha$ vuol dire che è complanare pure con $r$ questa sembra essere sbagliata perchè al posto di un'equazione ottengo una identità 0=0 ..
4)?
?
Ok quattro equazioni quattro incognite ma a me manca un'equazione..e arrivato qui ho la netta impressione di aver sbagliato tutto..
, premetto che il post è lungo ma non sono domande è lo svolgimento dell'esercizio.. Fissato nello spazio un riferimento cartesiano abbiamo due rette $r$ ed $s$ definite
$r=\{(x-y+2z+2=0),(x-2y-2z=0):}$ $s=\{(x=t),(y=t),(z=t):}$
a) Si determini il punto $P$ di $s$ se $t=2$
Il punto cercato è $P(2,2,2)$
b)Si determini il piano $alpha$ contenente $P$ ed $r$
Prendo il sistema omogeneo derivante da quello che rappresenta la retta
$\{(x-y+2z=0),(x-2y-2z=0):}$ ha infinite soluzioni tutte proporzionali a $(6,4,-1)$ dunque il vettore $V_r=(6,4,-1)$ rappresenta il vettore direzione della retta $r$
Poi prendo un punto di $r$ a caso fissando uno dei parametri (x,y,z), prendo $z=0$ ottenendo il sistema
$\{(x-y+2=0),(x-2y=0):}$ ottenendo il punto $Q=(-4,-2,0)$
Poi faccio la differenza tra i due punti ottenendo un vettore $P-Q=(6,4,2)$ mettendo il 2 in evidenza ottengo un vettore sulla stessa retta ma più "corto" e più facile da usare nei calcoli
Il vettore che rappresenta la direzione della retta tra il punto $P$ e il punto $Q$ è:
$P-Q=(3,2,1)$
I vettori $P-Q$ e $V_r$ rappresentano la giaciutra del piano che voglio,
Presa la generica equazione rappresentante un piano $ax+by+cz+d=0$ i parametri (a,b,c) rappresentano la direzione di un vettore perpendicolare al piano, per trovare tale vettore basta fare il prodotto vettoriale tra i vettori $P-Q$ e $V_r$
$|(i,j,k),(3,2,1),(6,4,-1)|=(-6,9,0)$ le componenti del vettore $(-6,9,0)$ corrispondono ad (a,b,c) per cui
$a=-6$$b=9$$c=0$
Il piano passa per $P$, da questa condizione ricaviamo il parametro $d=-6$
Il piano $alpha$ ha equazione $-6x+9y-6=0$
c) Si determini la retta $n$ appartenente al piano $alpha$, perpendicolare a $r$ e incidente a $s$
Qui iniziano i dolori..
, avendo fatto nella mia vita solo esercizi di geometria analitica in $R^2$ mi trovo spaesato a cercare un'equazione di una retta in $R^3$..premesso questo cerco delle condizioni e procedo così:Una retta qualsiasi in $R^3$ si rappresenta come intersezione di due piani, la retta $n$ appartiene ad $alpha$ quindi posso scriverla come intersezione di $alpha$ e un generico piano
$n=\{(-6x+9y-6=0),(ax+by+cz+d=0):}$
Non mi resta che trovare i coefficienti a,b,c,d imponendo opportune condizioni..in tal caso però starei cercando un piano non una retta
Le condizioni a cui avevo pensato sono queste:
1) $n$ ed $s$ sono incidenti per cui sono complanari
per questa condizione non uso la rappresentazione parametrica di $s$ ma la rappresento come interezione di due piani
$s=\{(x-y=0),(y-z=0):}$
metto a sistema $n$ ed $s$:
$\{(x-y=0),(y-z=0),(-6x+9y-6=0),(ax+by+cz+d=0):}$ se sono complanari tutto il determinanate di questo sistema deve essere uguale a 0
$|(1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(-6,9,0,-6),(a,b,c,d)|=0$ tramite Laplace ottengo una prima equazione in $a,b,c,d$
2)$n$ è perpendicolare a $r$ duque il prodotto scalare tra i due vettori direzione deve essere uguale a 0
3)Se $n$ appartiene ad $alpha$ vuol dire che è complanare pure con $r$ questa sembra essere sbagliata perchè al posto di un'equazione ottengo una identità 0=0 ..
4)?
?Ok quattro equazioni quattro incognite ma a me manca un'equazione..e arrivato qui ho la netta impressione di aver sbagliato tutto..
Risposte
Oggi pomeriggio ci ho pensato ancora fino ad ora ma l'unica cosa che mi è venuta in mente è parametrizzare le rette e sfruttare l'equazione normale cartesiana della retta in $R^3$ eppure non riesco a venirne a capo..
Che tristezza..
Dovrei cambiare approccio e passare alle equazioni parametriche?
Che tristezza..
Dovrei cambiare approccio e passare alle equazioni parametriche?
Prova a schematizzarlo con una figura se non l'hai già fatto. Può tornare molto utile.
Per il resto, ti sconsiglio di farti suggerire l'idea da quacluno, perchè solo così, riflettendo e provando, sarai in grado di affronarli da solo a un esame.
Se ti dicessi la mia idea, saresti poi di sicuro abilissimo a fare i conti e trovare il risultato, ma non avresti imparato nulla.Ti do un indizio: Quando due rette sono incidenti? Di che tipo è l'insieme delle soluzioni del sistema che ne vien fuori?
Per il resto, ti sconsiglio di farti suggerire l'idea da quacluno, perchè solo così, riflettendo e provando, sarai in grado di affronarli da solo a un esame.
Se ti dicessi la mia idea, saresti poi di sicuro abilissimo a fare i conti e trovare il risultato, ma non avresti imparato nulla.Ti do un indizio: Quando due rette sono incidenti? Di che tipo è l'insieme delle soluzioni del sistema che ne vien fuori?
due rette incidenti hanno in comune un solo punto, la soluzione del sistema dovrebbe essere unica?!
ma anche se fosse mi mancherebbero delle condizioni per trovare a,b,c,d
almeno la strada su cui stavo ragionando e giusta oppure devo cambiare totalmente approccio alla cosa?
ma anche se fosse mi mancherebbero delle condizioni per trovare a,b,c,d
almeno la strada su cui stavo ragionando e giusta oppure devo cambiare totalmente approccio alla cosa?
Suggerimento: (per il punto c) ).
Calcola il fascio di piani aventi asse la retta $s$ e "seleziona" quello perpendicolare alla retta $r$.
Ti verrà fuori un piano $beta$.
$n := alpha cap beta$
Guarda l'immagine..
http://postimage.org/image/ca9e758y7/
Fammi sapere, spero di esserti stato un po' d'aiuto!
Calcola il fascio di piani aventi asse la retta $s$ e "seleziona" quello perpendicolare alla retta $r$.
Ti verrà fuori un piano $beta$.
$n := alpha cap beta$
Guarda l'immagine..
http://postimage.org/image/ca9e758y7/
Fammi sapere, spero di esserti stato un po' d'aiuto!
Sul punto (b) suggerirei un metodo alternativo sicuramente più ...corto. Il fascio di piani di assi r ha equazione :
(1) \(\displaystyle \lambda(x-y+2z+2)+\mu(x-2y-2z)=0 \)
Imponendo il passaggio per il punto P si ha:
\(\displaystyle 6\lambda-6\mu=0 \)
da cui \(\displaystyle \lambda=\mu \)
Sostituendo tale valore di \(\displaystyle \lambda \) nella (1) e dividendo per \(\displaystyle \mu \) risulta :
\(\displaystyle x-y+2z+2+x-2y-2z=0 \) ovvero : \(\displaystyle 2x-3y+2=0 \)
che coincide comunque con quella da te trovata.
(1) \(\displaystyle \lambda(x-y+2z+2)+\mu(x-2y-2z)=0 \)
Imponendo il passaggio per il punto P si ha:
\(\displaystyle 6\lambda-6\mu=0 \)
da cui \(\displaystyle \lambda=\mu \)
Sostituendo tale valore di \(\displaystyle \lambda \) nella (1) e dividendo per \(\displaystyle \mu \) risulta :
\(\displaystyle x-y+2z+2+x-2y-2z=0 \) ovvero : \(\displaystyle 2x-3y+2=0 \)
che coincide comunque con quella da te trovata.
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