Sp. Localmente compatti: funzioni proprie e chiuse
Propongo un esercizio che pensavo di aver risolto tempo fa. Mi accorgo che c'è un errore nella mia dimostrazione, ma non riesco a trovare una soluzione diversa.
Siano $X,Y$ spazi topologici localmente compatti. Sia $f:X\to Y$ continua e propria. Allora $f$ è chiusa.
Recall: una funzione $f$ si dice propria se per ogni $K \subset Y$ compatto, allora $f^{-1}(K)$ è compatto.
Inserisco in spoiler la mia dimostrazione:
Sul forum ho trovato questo che è sostanzialmente lo stesso esercizio; anzi chiede di più. Nel thread non si arriva a una soluzione. Tuttavia la mia dimostrazione mi sembra "migliore" in quanto per lo meno sembra eliminare l'ipotesi di Hausdorff su $Y$.
Idee?
Siano $X,Y$ spazi topologici localmente compatti. Sia $f:X\to Y$ continua e propria. Allora $f$ è chiusa.
Recall: una funzione $f$ si dice propria se per ogni $K \subset Y$ compatto, allora $f^{-1}(K)$ è compatto.
Inserisco in spoiler la mia dimostrazione:
Sul forum ho trovato questo che è sostanzialmente lo stesso esercizio; anzi chiede di più. Nel thread non si arriva a una soluzione. Tuttavia la mia dimostrazione mi sembra "migliore" in quanto per lo meno sembra eliminare l'ipotesi di Hausdorff su $Y$.
Idee?
Risposte
Qual è la tua definizione si spazio localmente compatto?
Ecco i passaggi errati
Ecco i passaggi errati
"Pappappero":lascio a te capire il perché; ne hai tutte le capacità!
... Dunque $y_n \in K$ per $n>N$ per un certo $N$... e nell'intersezione tra $C$ e $f^{-1}(K)$ ci sono degli elementi $x_n$ tali che $f(x_n)=y_n$ per ogni $n>N$...
Beh, se $\mathcal{P}$ è una proprietà, uno spazio localmente $\mathcal{P}$ è uno spazio per cui ogni punto ammette un sistema fondamentale di intorni con la proprietà $\mathcal{P}$. Quindi uno spazio localmente compatto ammette un sistema fondamentale di intorni compatto. In particolare questo dovrebb essere equivalente ad imporre che ogni punto ammette un intorno la cui chiusura è un compatto (che poi è come dire che ammette un intorno compatto). Comunque non è questo il punto importante, dal momento che a me basta prendere un intorno compatto per farne la retroimmagine. Trovo un intorno compatto perché lo spazio è l.c. e in quell'intorno ci stanno i punti della successione per $n$ grande, perché (in quanto intorno) contiene un aperto e nell'aperto quei punti ci stanno per definizione di limite.
La seconda affermazione da te evidenziata viene semplicemente dalla definizione di preimmagine. Le $y_n$ stanno in $f(C)$ e in $K$, quindi hanno preimmagine (almeno una, ma in realtà direi tutte) in $C \cap f^{-1}(K)$.
Questi due passaggi non mi danno problemi. Il problema vero dovrebbe darlo solo la sottosuccessione, perché a priori se lo spazio non è compatto per successioni non si garantisce che ci sia un'estratta convergente. E' questo il passaggio che (presumo, poi boh, magari è tutto sbagliato) andrebbe risolto sfruttando la locale compattezza di $X$.
La seconda affermazione da te evidenziata viene semplicemente dalla definizione di preimmagine. Le $y_n$ stanno in $f(C)$ e in $K$, quindi hanno preimmagine (almeno una, ma in realtà direi tutte) in $C \cap f^{-1}(K)$.
Questi due passaggi non mi danno problemi. Il problema vero dovrebbe darlo solo la sottosuccessione, perché a priori se lo spazio non è compatto per successioni non si garantisce che ci sia un'estratta convergente. E' questo il passaggio che (presumo, poi boh, magari è tutto sbagliato) andrebbe risolto sfruttando la locale compattezza di $X$.
Il secondo "errore" è stata una mia svista; invece, la prima affermazione dev'essere leggermente modificata così:
Forse ti ho risposto indirettamente nell'altro thread... oggi sono fuso
...per definizione si successione convergente:\[\forall n\in\mathbb{N},\,\exists A\subseteq Y\,\text{ aperto}\mid\forall m\geq n,\,y;y_n\in A\] ovvero per la locale compattezza:\[\forall n\in\mathbb{N},\,\exists K\subseteq Y\,\text{ compatto}\mid\forall m\geq n,\,y;y_n\in K\]comunque non vedo come risolvere il quesito posto utilizzando le successioni e gli insiemi compatti.
Forse ti ho risposto indirettamente nell'altro thread... oggi sono fuso
@Pappappero
Mi sembra che la tua dimostrazione sia essenzialmente corretta, nel senso che adesso ti dico. Ti faccio notare prima un paio di cose.
Primo.
Questo è VERO e si dimostra facilmente. È il viceversa in generale a essere falso (vale negli spazi N1). Quindi nell'aver usato questo fatto non hai commesso alcun errore.
Secondo.
L'errore concettuale nella tua dimostrazione è l'assunzione fatta nel primo rigo:
Infatti, in generale, NON È VERO che se \(x \in \overline{E}\) allora esiste una successione \(\{x_n\} \subset E\) che converge a \(x\) (ancora una volta, questo vale se lo spazio è N1).
Infine.
Credo che la tua dimostrazione vada bene a patto di sostituire il termine "successione" con "rete" (in particolare non mi sembra influente l'ipotesi che \(X\) sia localmente compatto). Se non lo sai, la rete è una generalizzazione del concetto di successione che ha il vantaggio di poter caratterizzare i concetti di continuità, di punto di accumulazione e di spazio compatto senza far ricorso all'ipotesi "spazio N1" (necessaria se si usano solo le successioni).
http://it.wikipedia.org/wiki/Rete_(matematica)
Mi sembra che la tua dimostrazione sia essenzialmente corretta, nel senso che adesso ti dico. Ti faccio notare prima un paio di cose.
Primo.
Poiché la successione {xn} è in un compatto, ammette un'estratta convergente.
Questo è VERO e si dimostra facilmente. È il viceversa in generale a essere falso (vale negli spazi N1). Quindi nell'aver usato questo fatto non hai commesso alcun errore.
Secondo.
L'errore concettuale nella tua dimostrazione è l'assunzione fatta nel primo rigo:
Vogliamo dimostrare che f(C) è chiuso in Y. Sia {yn} una successione in f(C) che converge in Y e sia y il suo limite. Vogliamo mostrare che y∈f(C)
Infatti, in generale, NON È VERO che se \(x \in \overline{E}\) allora esiste una successione \(\{x_n\} \subset E\) che converge a \(x\) (ancora una volta, questo vale se lo spazio è N1).
Infine.
Credo che la tua dimostrazione vada bene a patto di sostituire il termine "successione" con "rete" (in particolare non mi sembra influente l'ipotesi che \(X\) sia localmente compatto). Se non lo sai, la rete è una generalizzazione del concetto di successione che ha il vantaggio di poter caratterizzare i concetti di continuità, di punto di accumulazione e di spazio compatto senza far ricorso all'ipotesi "spazio N1" (necessaria se si usano solo le successioni).
http://it.wikipedia.org/wiki/Rete_(matematica)
Io non sto dicendo che se $x \in \bar{E}$ allora esiste una successione che ci tende. Però dovrebbe essere vero sempre (forse c'è qualche ipotesi nascosta, ma non credo) che dato $E \subset X$ tale che per ogni successione in $E$ convergente in $X$ si verifica che il limite sta in $E$, allora $E$ è chiuso. Insomma, se tutti i limiti sono in $E$, allora $E$ contiene tutti i suoi punti di aderenza (mi pare si chiamassero così), quindi $E$ è chiuso.
Non ho capito cosa dici a proposito dell'estratta convergente. Se $X$ è compatto, ma non compatto successioni, non potrei trovare successioni che non hanno estratte convergenti? O almeno, la risposta a questa domanda è sì, quindi non ho capito come risolvi il problema.
Infine, so a grandi linee cos'è una rete, ma questo è un esercizio di topologia 0 XD; non credo servano concetti troppo avanzati per risolverlo.
Non ho capito cosa dici a proposito dell'estratta convergente. Se $X$ è compatto, ma non compatto successioni, non potrei trovare successioni che non hanno estratte convergenti? O almeno, la risposta a questa domanda è sì, quindi non ho capito come risolvi il problema.
Infine, so a grandi linee cos'è una rete, ma questo è un esercizio di topologia 0 XD; non credo servano concetti troppo avanzati per risolverlo.
Mi sono ripreso! 
@Pappappero L'implicazione è falsa, a meno di miei errori, come ho dimostrato (ieri) in questo post.
@Pappappero L'implicazione è falsa, a meno di miei errori, come ho dimostrato (ieri) in questo post.
L'esempio di j18eos mi torna. In generale quindi implicazione non vale. Indico con $\mathbb{I}$ l'intervallo con la topologia dei dischi volanti e con $\mathbb{D}$ il disco con la topologia dei dischi volanti. Analizzando gli esempi di j18eos, direi che i compatti (sia in $\mathbb{I}$ che in $\mathbb{D}$) dovrebbero essere tutti gli insiemi in cui la norma (euclidea) assume un massimo. Infatti dato un ricoprimento di un tale insieme, ci deve essere un aperto del ricoprimento che prende il punto di massimo della norma. Quell'aperto contiene tutto l'insieme preso in considerazione!
Nei punti di norma più bassa di quella massima può succedere quindi qualunque cosa, tanto gli aperti sono tutti uno dentro l'altro. In particolare questi compatti si guardano bene (almeno in generale) dall'essere chiusi (non a caso lo spazio non è $T_2$, ma a dire il vero non è neanche $T_0$) in quanto i chiusi dovrebbero essere corone circolari chiuse in cui la circonferenza più grande ha raggio $1$. Domanda secondo me lecita: dove cade in questo esempio l'argomento da me proposto? In effetti non credo che cada l'ipotesi di compattezza per successione di quei compatti, in quanto in entrambi gli spazi, data una successione $\{ x_n\}$, basta prendere un elemento che ha norma maggiore o uguale di tutti gli elementi della successione ed ecco che lui è un limite per $x_n$. Quindi cade qualcosa nel resto del ragionamento.
Per quanto riguarda l'esercizio originario, devo essermi perso per strada qualche ipotesi di separazione. Ad esempio se lo spazio fosse $T_2$, (riaggiungendo l'ipotesi che era stata fatta nel thread linkato), come si potrebbe dimostrare l'implicazione? Il mio argomento ha la solita falla dell'estratta convergente.
Nei punti di norma più bassa di quella massima può succedere quindi qualunque cosa, tanto gli aperti sono tutti uno dentro l'altro. In particolare questi compatti si guardano bene (almeno in generale) dall'essere chiusi (non a caso lo spazio non è $T_2$, ma a dire il vero non è neanche $T_0$) in quanto i chiusi dovrebbero essere corone circolari chiuse in cui la circonferenza più grande ha raggio $1$. Domanda secondo me lecita: dove cade in questo esempio l'argomento da me proposto? In effetti non credo che cada l'ipotesi di compattezza per successione di quei compatti, in quanto in entrambi gli spazi, data una successione $\{ x_n\}$, basta prendere un elemento che ha norma maggiore o uguale di tutti gli elementi della successione ed ecco che lui è un limite per $x_n$. Quindi cade qualcosa nel resto del ragionamento.
Per quanto riguarda l'esercizio originario, devo essermi perso per strada qualche ipotesi di separazione. Ad esempio se lo spazio fosse $T_2$, (riaggiungendo l'ipotesi che era stata fatta nel thread linkato), come si potrebbe dimostrare l'implicazione? Il mio argomento ha la solita falla dell'estratta convergente.
"Pappappero":Invece è falso!
...Però dovrebbe essere vero sempre [...] che dato $E \subset X$ tale che per ogni successione in $E$ convergente in $X$ si verifica che il limite sta in $E$, allora $E$ è chiuso. Insomma, se tutti i limiti sono in $E$, allora $E$ contiene tutti i suoi punti di aderenza (mi pare si chiamassero così), quindi $E$ è chiuso...
Ma non riesco a fornirti un esempio.
"Pappappero":Questa è l'affermazione corretta.
...Analizzando gli esempi di j18eos, direi che i compatti (sia in $\mathbb{I}$ che in $\mathbb{D}$) sono tutti i sottoinsiemi!...
"Pappappero":Quando consideri la successione \(\{y_n\in Y\}_{n\in\mathbb{N}}\) non puoi affermare che \(y\) sia il limite ma un limite; inoltre, come tu stesso hai notato, la compattezza e la compattezza per successioni sono due proprietà topologiche indipendenti.
... Domanda secondo me lecita: dove cade in questo esempio l'argomento da me proposto?...
"Pappappero":Se ragioni diversamente, basta richiedere che \(X\) (il dominio) sia uno spazio \(T_2\)
... Per quanto riguarda l'esercizio originario, devo essermi perso per strada qualche ipotesi di separazione...
e poiché in tal caso ogni punto ha un sistema fondamentale di intorni compatti ovvero chiusi ottieni che \(X\) è uno spazio \(T_3\)!Spero che sia tutto corretto.
EDIT: Non lo era, spero ora di sì!
@Pappappero
Torno a ripeterti che:
1) Se \(K\) è uno spazio compatto, allora è compatto per successioni. Quindi passare all'estratta non costituisce un errore nella tua dimostrazione (non richiede nessuna ipotesi su \(X\)).
2) Sei nella situazione di dover mostrare che un certo sottospazio \(f(C)\) è chiuso. Allora, all'inizio della tua dimostrazione, dici: "prendo un punto di accumulazione \(y\) per \(f(C)\) e faccio vedere che \(y \in f(C)\)". E fin qui tutto bene. Poi continui: "sia \(y_n \to y\)...". Qui c'è l'errore: non è vero che i punti di accumulazione sono limiti di successioni (è così invece per gli spazi N1).
Nota quindi che:
1) Non è necessario richiedere che \(X\) sia localmente compatto.
2) La tua dimostrazione va benissimo con le ipotesi \(Y\) spazio N1 e localmente compatto.
2bis) Si arriva allo stesso risultato con l'ipotesi \(Y\) Hausdorff localmente compatto. La dimostrazione che ho buttato giù è la seguente:
Torno a ripeterti che:
1) Se \(K\) è uno spazio compatto, allora è compatto per successioni. Quindi passare all'estratta non costituisce un errore nella tua dimostrazione (non richiede nessuna ipotesi su \(X\)).
2) Sei nella situazione di dover mostrare che un certo sottospazio \(f(C)\) è chiuso. Allora, all'inizio della tua dimostrazione, dici: "prendo un punto di accumulazione \(y\) per \(f(C)\) e faccio vedere che \(y \in f(C)\)". E fin qui tutto bene. Poi continui: "sia \(y_n \to y\)...". Qui c'è l'errore: non è vero che i punti di accumulazione sono limiti di successioni (è così invece per gli spazi N1).
Nota quindi che:
1) Non è necessario richiedere che \(X\) sia localmente compatto.
2) La tua dimostrazione va benissimo con le ipotesi \(Y\) spazio N1 e localmente compatto.
2bis) Si arriva allo stesso risultato con l'ipotesi \(Y\) Hausdorff localmente compatto. La dimostrazione che ho buttato giù è la seguente:
@elvis:
Se $K$ compatto allora è compatto per successioni. Non è vero! Un esempio (difficile) è la compattificazione di Stone-Cech di uno spazio metrico non compatto, che è compatta ma non compatta per successioni. Tuttavia dimostrarlo richiede un po' di fatica (la dimostrazione mi pare sia su "Lezioni di Topologia (forse di Topologia Generale)" di Checcucci-Tognoli-Vesentini o su "Counterexamples in Topology" di Steen - Seebach). Non so se ci sono esempi facili.
Mi piace il lemmino, che potrebbe risultare utile in molti contesti e che spesso si perde di vista.
@j18eos: O sono io che sono stato poco chiaro oppure stiamo dicendo due cose diverse (forse anche con il punto 2) di elvis). Io sto dicendo: Sia $C \subseteq X$ (senza nessuna ipotesi di alcun genere, ma se vogliamo prendiamo $X$ $T_2$) tale che, per ogni $\{ x_n\}_n \subseteq C$ tale che $x_n \to x$ per qualche $x \in X$, allora $x \in C$. Allora $C$ è chiuso. (elvis: tu dici che questo enunciato è falso perché non basta prendere le successioni? Avresti un controesempio?)
Tu hai mostrato un esempio in cui un chiuso, che chiamiamo $X$, ha punti di aderenza fuori da esso. Non vedo come questo può essere un controesempio a quello che sto dicendo io. Inoltre, non vedo questo punto di aderenza esterno: dato qualsiasi punto $y$ fuori da $X$, considero l'aperto dato da tutto lo spazio meno $X$. Poiché questo aperto non contiene punti di $X$, il punto $y$ considerato non è limite di alcuna successione in $X$, e qui io direi non è di aderenza (è qui che, come dice elvis, sbaglio a prendere una successione per dire che i punti sono di aderenza?).
Comunque direi che il primo problema è stato risolto dall'intervento di elvis. A questo punto mi piacerebbe finire di chiarire queste cose rimaste in sospeso per capire bene queste cose un po' patologiche.
Se $K$ compatto allora è compatto per successioni. Non è vero! Un esempio (difficile) è la compattificazione di Stone-Cech di uno spazio metrico non compatto, che è compatta ma non compatta per successioni. Tuttavia dimostrarlo richiede un po' di fatica (la dimostrazione mi pare sia su "Lezioni di Topologia (forse di Topologia Generale)" di Checcucci-Tognoli-Vesentini o su "Counterexamples in Topology" di Steen - Seebach). Non so se ci sono esempi facili.
Mi piace il lemmino, che potrebbe risultare utile in molti contesti e che spesso si perde di vista.
@j18eos: O sono io che sono stato poco chiaro oppure stiamo dicendo due cose diverse (forse anche con il punto 2) di elvis). Io sto dicendo: Sia $C \subseteq X$ (senza nessuna ipotesi di alcun genere, ma se vogliamo prendiamo $X$ $T_2$) tale che, per ogni $\{ x_n\}_n \subseteq C$ tale che $x_n \to x$ per qualche $x \in X$, allora $x \in C$. Allora $C$ è chiuso. (elvis: tu dici che questo enunciato è falso perché non basta prendere le successioni? Avresti un controesempio?)
Tu hai mostrato un esempio in cui un chiuso, che chiamiamo $X$, ha punti di aderenza fuori da esso. Non vedo come questo può essere un controesempio a quello che sto dicendo io. Inoltre, non vedo questo punto di aderenza esterno: dato qualsiasi punto $y$ fuori da $X$, considero l'aperto dato da tutto lo spazio meno $X$. Poiché questo aperto non contiene punti di $X$, il punto $y$ considerato non è limite di alcuna successione in $X$, e qui io direi non è di aderenza (è qui che, come dice elvis, sbaglio a prendere una successione per dire che i punti sono di aderenza?).
Comunque direi che il primo problema è stato risolto dall'intervento di elvis. A questo punto mi piacerebbe finire di chiarire queste cose rimaste in sospeso per capire bene queste cose un po' patologiche.
"Pappappero":
Se $K$ compatto allora è compatto per successioni. Non è vero! Un esempio (difficile) è la compattificazione di Stone-Cech di uno spazio metrico non compatto, che è compatta ma non compatta per successioni. Tuttavia dimostrarlo richiede un po' di fatica (la dimostrazione mi pare sia su "Lezioni di Topologia (forse di Topologia Generale)" di Checcucci-Tognoli-Vesentini o su "Counterexamples in Topology" di Steen - Seebach). Non so se ci sono esempi facili.
Hai ragione! Quello che succede è che ogni successione in un compatto ha un punto di accumulazione. Ho inconsciamente confuso questo fatto con l'ammettere sottosuccessioni convergenti... (è vero in ipotesi N1)
@Pappappero Ho corretto il mio precedente intervento; solo negli spazi topologici \(N_1\) i concetti di insieme chiuso e chiuso per successioni(*) coincidono.
§§§
(*) Siano \((S;\mathcal{T})\) uno spazio topologico e \(C\) un suo sottoinsieme, esso lo si definisce chiuso per successioni se ogni successione di \(C\) convergente in \(S\) ha tutti i limiti in \(C\)!
§§§
(*) Siano \((S;\mathcal{T})\) uno spazio topologico e \(C\) un suo sottoinsieme, esso lo si definisce chiuso per successioni se ogni successione di \(C\) convergente in \(S\) ha tutti i limiti in \(C\)!
Su \(\mathbb{R}\) si consideri la topologia \(\mathcal{T}\)(#) tale che una sua base \(\mathcal{B}\) sia:
\(\forall a
indicato con \(\mathscr{P}_f(\mathbb{R})\) l'insieme delle parti finite di \(\mathbb{R}\), sia \(\forall a
indicato con \(\mathscr{P}_n(\mathbb{R})\) l'insieme delle parti numerabili di \(\mathbb{R}\), sia \(\forall a
si ha che \((\mathbb{R};\mathcal{T})\) non è uno spazio topologico \(\mathrm{N}_1\)(*) e le uniche successioni convergenti in esso sono le successioni definitivamente costanti(*); quindi ogni sottoinsieme di \((\mathbb{R};\mathcal{T})\) è chiuso per successioni, ma non tutti gli insiemi sono chiusi!
§§§
(#) Per correttezza, tale topologia è esposta nella parte II, al paragrafo 34 come esericio n. 7 del libro del prof. Tallini - Strutture geometriche - Liguori Editore
(*) Ciò è conseguenza della terza richiesta per \(\mathcal{B}\).
elvis e Pappappero concordate?
\(\forall a
indicato con \(\mathscr{P}_f(\mathbb{R})\) l'insieme delle parti finite di \(\mathbb{R}\), sia \(\forall a
indicato con \(\mathscr{P}_n(\mathbb{R})\) l'insieme delle parti numerabili di \(\mathbb{R}\), sia \(\forall a
si ha che \((\mathbb{R};\mathcal{T})\) non è uno spazio topologico \(\mathrm{N}_1\)(*) e le uniche successioni convergenti in esso sono le successioni definitivamente costanti(*); quindi ogni sottoinsieme di \((\mathbb{R};\mathcal{T})\) è chiuso per successioni, ma non tutti gli insiemi sono chiusi!
§§§
(#) Per correttezza, tale topologia è esposta nella parte II, al paragrafo 34 come esericio n. 7 del libro del prof. Tallini - Strutture geometriche - Liguori Editore
(*) Ciò è conseguenza della terza richiesta per \(\mathcal{B}\).
elvis e Pappappero concordate?
Scusa il ritardo. Mi torna!
Non ti preoccupare per il ritardo... l'importante è averti fornito un esempio
Un ultimo chiarimento. Nell'altro thread linkato si rimanda a questo post per la dimostrazione che $f: X \to Y$ (stavolta davvero senza ipotesi su $X,Y$) chiusa e a fibre compatte è sempre propria. La dimostrazione mi torna abbastanza, ma ci sono dei punti che non mi sono chiari.
In particolare non riesco a capire perché si afferma a cuor leggero che l'insieme $\mathcal{D}$ gode di PIF. In effetti mi torna che se $y \in \bigcap f(B)$ in arrivo, allora anche in partenza $\f^{-1}(y) \cap B \ne \emptyset$ per ogni $B$ (ma presi uno per uno). Non riesco a vedere il passaggio da questo alle intersezioni finite. Qualcuno potrebbe chiarirmi la cosa?
In particolare non riesco a capire perché si afferma a cuor leggero che l'insieme $\mathcal{D}$ gode di PIF. In effetti mi torna che se $y \in \bigcap f(B)$ in arrivo, allora anche in partenza $\f^{-1}(y) \cap B \ne \emptyset$ per ogni $B$ (ma presi uno per uno). Non riesco a vedere il passaggio da questo alle intersezioni finite. Qualcuno potrebbe chiarirmi la cosa?
Molto semplicemente ti trovi con l'assurdo che \(\displaystyle{\bigcap_{B\in\mathcal{B}}B}\neq\emptyset\); che la famiglia di insieme chiusi \(\mathcal{B}\) soddisfa la PIF è un ipotesi di partenza.
Ho centrato il tuo dubbio?
@maurer Lemma del pifferaio magico
Ho centrato il tuo dubbio?
@maurer Lemma del pifferaio magico
Veramente no. Che $\bigcap _{B} B$ non possa essere vuoto mi torna. Prendo le immagini $f(B)$: loro non sono vuote e vale PIF per loro, quindi $\cap f(B) \neq \emptyset$. Prendo $y$ in questa intersezione. Sta in $f(B)$ per ogni $B$, quindi almeno un punto di $f^{-1}(y)$ sta in $B$. Quindi ok che presi uno per uno i vari $f^{-1}(y) \cap B$ sono non vuoti. Ma perché l'intersezione di due di loro dovrebbe essere non vuota?
Spiego meglio quello che non riesco a capire: $y$ sta nelle immagini di tutti i $B$, ma magari le varie preimmagini sono "lontane" e magari un $B$ riesce a prenderne solo una, un'altro solo un'altra, mantenendo comunque intersezione non vuota tra di loro. All'osso è questo quello che (analiticamente) non mi torna. Non riesco però a costruire un esempio che rispecchi la situazione (e probabilmente non c'è!).
Spiego meglio quello che non riesco a capire: $y$ sta nelle immagini di tutti i $B$, ma magari le varie preimmagini sono "lontane" e magari un $B$ riesce a prenderne solo una, un'altro solo un'altra, mantenendo comunque intersezione non vuota tra di loro. All'osso è questo quello che (analiticamente) non mi torna. Non riesco però a costruire un esempio che rispecchi la situazione (e probabilmente non c'è!).
I \(B\cap f^{-1}(y)\) sono intersezioni di chiusi con un compatto, quindi sono chiusi nel compatto \(f^{-1}(y)\); godono della PIF per ipotesi sulla famiglia di chiusi \(\mathcal{B}\) e per il lemma del pifferaio magico hai che \(\displaystyle{\bigcap_{B\in\mathcal{B}}B\cap f^{-1}(y)\neq\emptyset}\).
Ora ti torna il tutto? Ho centrato il dubbio?
Ora ti torna il tutto? Ho centrato il dubbio?
"Pappappero":Sempre dallo Steen-Seebach basta considerare questo spazio topologico.
@elvis Se \(K\) compatto allora è compatto per successioni. Non è vero!...
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