Numeri complessi

[Golgota]

Ciao... premesso che sto pensando di aver sbagliato indirizzo ... avrei dovuto fare lettere probabilmente, vi chiedo se potete aiutarmi ancora una volta.
Questa volta non so proprio da dove iniziare... avrei bisogno di una mano a capire, non la soluzione...
Inizio con i primi due (sono cinque in totale :/) sperando mi diano una spinta per gli altri

Es. 1
Determinare l'insieme dei punti M di un piano con cordinate(in francese lo chiamano affixe ma non riesco a trovare la parola equivalente in italiano) [tex]z \in \mathbb{C}[/tex] tali che [tex]z,z^2,z^3[/tex] siano le coordinate dei vertici di un triangolo equilatero.

Nelle dispense quando si parla di Numero di Moivre e delle n radici ennesime dell'unità, di [tex]e^{\frac{2ik\pi}{n}}[/tex] si parla di poligono regolare e fa l'equazione [tex]z^3=1[/tex] che porta ad un triangolo equilatero ... ma come lo applico al problema?

Es. 2
Sia [tex]\theta \in ]-\pi,\pi[[/tex] semplificare
[tex]\frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1}[/tex]

qui diciamo che è notte fonda... a parte un'associazione con la formula d'eulero... non ho proprio capito cosa si debba fare.

come sempre, grazie in anticipo.

[wide87]

le radici n-me dell'unità, (cioè le soluzioni complesse dell'equazione $z^n =1$ )si dispongono esattamente ( e in ordine ) sui vertici di un poligono regolare di n lati. Ad esempio le radici quinte dell'unità (che sono cinque) si dispongono sui vertici di un pentagono regolare avente fra i vertici proprio il punto complesso $(1,0)$ che è palesemente una radice quinta di sé stesso. Prova a fare qualche esperimento! Con le radici terze, avrai i vertici di un triangolo equilatero. Le radici n-me si ricavano dalle formule di de Moivre. Sappi questo.

In merito all'esercizio due, cerca di ricordarti per bene il significato della notazione dei numeri complessi in forma "trigonometrica", "algebrica" ed "esponenziale". Quella che vedi è la forma esponenziale del numero. O meglio, vi appaiono termini in forma esponenziale. Cerca di tradurre nella forma che più sai maneggiare, e vedi se riesci a semplificare qualcosa! Tieni a mente che $theta$ varia in un intervallo ben preciso, in cui non puoi incappare in ambiguità, nel senso che non devi pensare alla periodicità. In altri termini, in quell'intervallo, c'è solo un $theta$ ("angolo" o "argomento") identificativo per ciascun numero complesso.

Spero di averti dato un accenno di indicazioni stradali.

Prova a cercare su internet "esercizi di analisi complessa" o "esercizi sui numeri complessi" .. troverai svariate dispense die sercizi svolti, in ordine crescente di difficoltà. Ce ne sono molte. Auguri e buono studio!