Retta appartenente ad un piano
Salve a tutti.
Sto tentando di risolvere il seguente esercizio: "Fissato un sistema di riferimento affine RA(O, $\vec i $ , $\vec j$ , $\vec k $ ) nello spazio considera i vettori $\vec OA$ = 3 $\vec i $ + $\vec j $ - 2 $\vec k $ , $\vec OB$ = 2 $\vec i$ + 3 $\vec j$ + $\vec k$ e il piano $\pi$ = Span ( $\vec OA$ , $\vec OB$ ).
Verifica che la retta di equazioni parametriche $\{(x = t-2),(y= 3t-1),(z = 2t+1):}$ è contenuta in $\pi$ .
Ho cercato di trovare l'equazione parametrica di $\pi$ considerando : $\lambda$ ( 3 $\vec i $ + $\vec j $ - 2 $\vec k $) + $\mu$ ( 2 $\vec i$ + 3 $\vec j$ + $\vec k$ ) il che mi porta a $\{(x = 3* \lambda + 2 \mu ),(y= \lambda + 3 \mu ),(z = -2 \lambda+ \mu):}$ .
Qualcuno sa dirmi come procedere da qui in poi?
Grazie
Sto tentando di risolvere il seguente esercizio: "Fissato un sistema di riferimento affine RA(O, $\vec i $ , $\vec j$ , $\vec k $ ) nello spazio considera i vettori $\vec OA$ = 3 $\vec i $ + $\vec j $ - 2 $\vec k $ , $\vec OB$ = 2 $\vec i$ + 3 $\vec j$ + $\vec k$ e il piano $\pi$ = Span ( $\vec OA$ , $\vec OB$ ).
Verifica che la retta di equazioni parametriche $\{(x = t-2),(y= 3t-1),(z = 2t+1):}$ è contenuta in $\pi$ .
Ho cercato di trovare l'equazione parametrica di $\pi$ considerando : $\lambda$ ( 3 $\vec i $ + $\vec j $ - 2 $\vec k $) + $\mu$ ( 2 $\vec i$ + 3 $\vec j$ + $\vec k$ ) il che mi porta a $\{(x = 3* \lambda + 2 \mu ),(y= \lambda + 3 \mu ),(z = -2 \lambda+ \mu):}$ .
Qualcuno sa dirmi come procedere da qui in poi?
Grazie
Risposte
Secondo me ti complichi la vita inutilmente.
Intanto determiniamo il piano $\pi$.
A tal proposito, denotato con $P$ un generico punto dello spazio di coordinate $P=(x,y,z)$, il vettore $\vecOP$ sarà dato da $\vecOP=(x,y,z)$. Nota che in questo caso il vettore in questione coincide col vettore posizione del punto $P$ rispetto all'origine del riferimento.
A questo punto, svolgendo il determinante:
$\pi: |(x,y,z),(3,1,-2),(2,3,1)|=7x-7y+7z$
e ponendolo uguale a zero ottieni il piano cercato. In definitiva $\pi:x-y-z=0$.
A questo punto, data la retta di cui devi verificare l'appartenenza al piano, è immediato che il suo vettore direzione è $\vecv=(1,3,2)$. Di conseguenza, sviluppando il determinante sostituendo una riga con questo vettore, ad esempio l'ultima, se la retta appartiene al piano, devi ottenere il medesimo piano. Infatti:
$|(x,y,z),(3,1,-2),(1,3,2)|=8x-8y+8z->\pi:x-y+z=0$
In alternativa potresti notare che $\vecv$ è ortogonale al vettore normale al piano.
Intanto determiniamo il piano $\pi$.
A tal proposito, denotato con $P$ un generico punto dello spazio di coordinate $P=(x,y,z)$, il vettore $\vecOP$ sarà dato da $\vecOP=(x,y,z)$. Nota che in questo caso il vettore in questione coincide col vettore posizione del punto $P$ rispetto all'origine del riferimento.
A questo punto, svolgendo il determinante:
$\pi: |(x,y,z),(3,1,-2),(2,3,1)|=7x-7y+7z$
e ponendolo uguale a zero ottieni il piano cercato. In definitiva $\pi:x-y-z=0$.
A questo punto, data la retta di cui devi verificare l'appartenenza al piano, è immediato che il suo vettore direzione è $\vecv=(1,3,2)$. Di conseguenza, sviluppando il determinante sostituendo una riga con questo vettore, ad esempio l'ultima, se la retta appartiene al piano, devi ottenere il medesimo piano. Infatti:
$|(x,y,z),(3,1,-2),(1,3,2)|=8x-8y+8z->\pi:x-y+z=0$
In alternativa potresti notare che $\vecv$ è ortogonale al vettore normale al piano.
Devo risolvere l'esercizio senza usare i determinanti (nel testo che sto utilizzando vengono trattati 132 pagine dopo il testo di questo esercizio).
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