Rango di una matrice al variare di $\alpha \in RR$

[Kashaman]

ESercizio :

Sia A= \begin{pmatrix}
k & 1 &1 \\
k & 2 & 2\\
0 &1 &k \\
0 & -1 & k
\end{pmatrix}

Dove $\alpha \in RR$.Determinare il rango di $A$ , al variare di $\alpha$.

Svolgo l'esercizio utilizzando il principio degli orlati.
Innanzi tutto noto che $1<=Rg(A)<=3$.
Scelgo come minore da orlare il minore :
H = \begin{vmatrix}
k & 1\\
k & 2
\end{vmatrix} = k .
Dunque se $k!=0 => Rg(A) >=2$.
Gli orlati di $H$ risultano essere
$H_1=$ \begin{vmatrix}
k &1 &1 \\
k &2 &2 \\
0 & 1 &k
\end{vmatrix} $= k(k-1)$.
Si ha che $H_1 = 0 <=> k=0 ^^ k=1$.
$H_2 = $
\begin{vmatrix}
k &1 &1 \\
k &2 &2 \\
0 & -1 &k
\end{vmatrix} $=k(k+1)$
Dunque $H_2 = 0 <=> k =0 ^^ k=-1$.

Si ha , per il principio degli orlati che $Rg(A) = 2 <=> H_1=H_2=0 <=> k=0$.
Si ha che $Rg(A)= 3 <=> k!=0$.

Dunque $AA k in RR , k!=0$ , $A$ ha rango massimo.


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E' giusto? oppure notate falle nel ragionamento? Grazie mille ragazzi.

[Gi81]

Direi che non ci sono errori, ma si poteva fare molto più velocemente:
prendiamo il minore $((k,2,2),(0,1,k),(0,-1,k))$, che ha determinante $k*[k+k]= 2k^2$.

Se $k!=0$ quel minore ha determinante non nullo, quindi $rg(A)=3$.

Se $k=0$ si ha $A= ((0,1,1),(0,2,2),(0,1,0),(0,-1,0))$ che ha rango $2$:
infatti il minore $((2,2),(1,0))$ ha determinante $-2!=0$ e comunque lo si orli otteniamo una matrice $3 times 3$ con una colonna di soli zeri.