Somma diretta e spazi supplementari
Il mio dubbio è il seguente:
se ho due sottospazi vettoriali di V, chiamiamoli U, W, tali che la loro intersezione comprenda solo il vettore nullo, posso dire che U e W sono in somma diretta.
Questo fatto è sufficiente a dire che U e W sono supplementari ?
oppure ho bisogno di altre condizioni ? ragionandoci direi che la somma diretta, quindi l' intersezione limitata al solo vettore nullo, non è una condizione sufficiente a garantire che due spazi siano supplementari, ad esempio prendiamo due rette in R^3 che si intersecano solo nell' origine; esse sono in somma diretta ma non generano tutto lo spazio.
Nel caso in cui la mia supposizione sia giusta mi chiedevo quale fosse una condizione sufficiente, o ancora meglio necessaria e sufficiente affinchè uno spazio sia l' uno il supplementare dell'altro.
se ho due sottospazi vettoriali di V, chiamiamoli U, W, tali che la loro intersezione comprenda solo il vettore nullo, posso dire che U e W sono in somma diretta.
Questo fatto è sufficiente a dire che U e W sono supplementari ?
oppure ho bisogno di altre condizioni ? ragionandoci direi che la somma diretta, quindi l' intersezione limitata al solo vettore nullo, non è una condizione sufficiente a garantire che due spazi siano supplementari, ad esempio prendiamo due rette in R^3 che si intersecano solo nell' origine; esse sono in somma diretta ma non generano tutto lo spazio.
Nel caso in cui la mia supposizione sia giusta mi chiedevo quale fosse una condizione sufficiente, o ancora meglio necessaria e sufficiente affinchè uno spazio sia l' uno il supplementare dell'altro.
Risposte
Mi sembra un problema che risponde a sé stesso.
Nel senso che:
Definizione:
Due sottospazi $U$ e $W$ di $V$ sono "supplementari" $Leftrightarrow$ $U+W = V wedge UcapW = {0_V} Leftrightarrow V = U oplus W $
Tu vuoi sapere se dati due sottospazi a caso, essi sono supplementari? Innanzitutto intersezione nulla (Perchè se non lo fosse, possiamo scordarci di avere una somma diretta) e poi devi vedere se generano tutto lo spazio, esattamente come nell'esempio delle rette.
Non credo di aver mai sentito di condizioni necessarie e sufficienti al di là della definizione stessa, a livello operativo.
Prova a riformulare il tuo dubbio!
Nel senso che:
Definizione:
Due sottospazi $U$ e $W$ di $V$ sono "supplementari" $Leftrightarrow$ $U+W = V wedge UcapW = {0_V} Leftrightarrow V = U oplus W $
Tu vuoi sapere se dati due sottospazi a caso, essi sono supplementari? Innanzitutto intersezione nulla (Perchè se non lo fosse, possiamo scordarci di avere una somma diretta) e poi devi vedere se generano tutto lo spazio, esattamente come nell'esempio delle rette.
Non credo di aver mai sentito di condizioni necessarie e sufficienti al di là della definizione stessa, a livello operativo.
Prova a riformulare il tuo dubbio!
grazie mille, hai gia chiarito il mio dubbio !
nel libro a cui di solito faccio riferimento non era chiaro se due spazi "a caso" generassero automaticamente, se in somma diretta, tutto lo spazio, di qui il dubbio sopraesposto =)
nel libro a cui di solito faccio riferimento non era chiaro se due spazi "a caso" generassero automaticamente, se in somma diretta, tutto lo spazio, di qui il dubbio sopraesposto =)
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