Operatori unitari
Ciao, amici! Leggo (su Sernesi, Geometria I, capitolo 2, paragrafo 20 Operatori unitari e isometrie) che se $T:\mathbf{V}\to\mathbf{V}$ con $\mathbf{V}$ spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, "allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) $T$ è un operatore unitario.
2) $T$ è un operatore lineare tale che \(\|T(\mathbf{v})\|=\|\mathbf{v}\|\) per ogni $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$.
3) $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ e \(\|T(\mathbf{v})-T(\mathbf{w})\|=\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|\) per ogni $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbf{V}$."
Il mio testo dimostra chiaramente l'equivalenza (1) $\iff$ (2) $\iff$ (3) per $\mathbf{V}$ di dimensione finita, utilizzando una base ortonormale di $\mathbf{V}$ per dimostrare (3) $=>$ (1), nella fattispecie per dimostrare la linearità di $T$, una volta dimostrato che da (3) discende (in generale, indipendentemente dalla dimensione finita o no di $\mathbf{V}$) che \(\langle T(\mathbf{v}),T(\mathbf{w})\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\).
Alcune pagine più avanti dice però che le condizioni (1), (2) e (3) "hanno senso anche se $\mathbf{V}$ è uno spazio vettoriale euclideo che non ha dimensione finita; anche la dimostrazione della loro equivalenza non utilizza alcuna ipotesi su \(\dim(\mathbf{V})\) [ma come? si è usata una base di $\mathbf{V}$ per dimostrare (3) $=>$ (1)!]. Quindi le (1), (2), (3) sono condizioni equivalenti per un operatore definito in uno spazio vettoriale euclideo qualunque".
Volevo chiedere: (3) equivale veramente* a (1) e (2) in uno spazio vettoriale euclideo non di dimensione finita? Se sì, qualcuno sa fornire direttamente o consigliare un link ad una dimostrazione?
Grazie di cuore a chiunque vorrà aiutarmi!
*[size=85]Dopo aver trovato scritto che in \(\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|\leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|\) "vale l'uguaglianza se e solo se $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ sono paralleli" ed aver cercato di utilizzare per conto mio questo risultato (sbagliato: basta prendere $\mathbf{w}=-\mathbf{v}$ per avere un controesempio!) in una dimostrazione, rischiando di convincermi di una cosa talmente sbagliata, non prendo più tutto per oro colato...
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1) $T$ è un operatore unitario.
2) $T$ è un operatore lineare tale che \(\|T(\mathbf{v})\|=\|\mathbf{v}\|\) per ogni $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$.
3) $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ e \(\|T(\mathbf{v})-T(\mathbf{w})\|=\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|\) per ogni $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbf{V}$."
Il mio testo dimostra chiaramente l'equivalenza (1) $\iff$ (2) $\iff$ (3) per $\mathbf{V}$ di dimensione finita, utilizzando una base ortonormale di $\mathbf{V}$ per dimostrare (3) $=>$ (1), nella fattispecie per dimostrare la linearità di $T$, una volta dimostrato che da (3) discende (in generale, indipendentemente dalla dimensione finita o no di $\mathbf{V}$) che \(\langle T(\mathbf{v}),T(\mathbf{w})\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\).
Alcune pagine più avanti dice però che le condizioni (1), (2) e (3) "hanno senso anche se $\mathbf{V}$ è uno spazio vettoriale euclideo che non ha dimensione finita; anche la dimostrazione della loro equivalenza non utilizza alcuna ipotesi su \(\dim(\mathbf{V})\) [ma come? si è usata una base di $\mathbf{V}$ per dimostrare (3) $=>$ (1)!]. Quindi le (1), (2), (3) sono condizioni equivalenti per un operatore definito in uno spazio vettoriale euclideo qualunque".
Volevo chiedere: (3) equivale veramente* a (1) e (2) in uno spazio vettoriale euclideo non di dimensione finita? Se sì, qualcuno sa fornire direttamente o consigliare un link ad una dimostrazione?
Grazie di cuore a chiunque vorrà aiutarmi!
*[size=85]Dopo aver trovato scritto che in \(\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|\leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|\) "vale l'uguaglianza se e solo se $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ sono paralleli" ed aver cercato di utilizzare per conto mio questo risultato (sbagliato: basta prendere $\mathbf{w}=-\mathbf{v}$ per avere un controesempio!) in una dimostrazione, rischiando di convincermi di una cosa talmente sbagliata, non prendo più tutto per oro colato...
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Risposte
Sulle mie dispense gli operatori unitari sono definiti su uno spazio di Hilbert. Ogni spazio vettoriale ammette almeno una base \(B\) quindi pure li esiste. Quello che il tuo libro non usa mi sembra di capire è la dimensione di \(B\). Essa è detta base Hilbertiana se \(\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta_{i,j}\) e se non può essere ampliata con l'aggiunta di ulteriori vettori quindi a parte la dimensione (che non usa) potrebbe tornare. img
"5mrkv":
Ogni spazio vettoriale ammette almeno una base \(B\) quindi pure li esiste.
In che senso? Io conoscevo solo -e il mio testo, almeno fino a questo punto- definisce solo che cos'è una base finita...
"5mrkv":
Quello che il tuo libro non usa mi sembra di capire è la dimensione di \(B\). Essa è detta base Hilbertiana se \(\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta_{i,j}\) e se non può essere ampliata con l'aggiunta di ulteriori vettori quindi a parte la dimensione (che non usa) potrebbe tornare.
Per dimostrare (1) $\iff$ (2) $=>$ (3) il mio testo usa proprietà chiaramente indipendenti dalla finitezza della dimensione.
Invece, per dimostrare (3) $=>$ (1) dimostra in pochi semplici passaggi (che non riporto per brevità e in cui è ovvio che non si richiede la finitezza della dimensione di \(\mathbf{V}\)) che dalla (3) discende che \(\langle T(\mathbf{v}),T(\mathbf{w})\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\) e quindi basta dimostrare che l'applicazione $T$ è lineare, cosa che fa in questo modo:
"Sia \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\}\) una base ortonormale di \(\mathbf{V}\) [quindi \(n=\dim(\mathbf{V})\), direi proprio]." Da \(\langle T(\mathbf{v}),T(\mathbf{w})\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\) "segue che \(\{T(\mathbf{e}_1),...,T(\mathbf{e}_n)\}\) è una base ortonormale*, perché soddisfa
\[\forall 1\leq i,j\leq n,\langle T(\mathbf{e}_i),T(\mathbf{e}_j)\rangle=\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j\rangle=\delta_{ij}\]
Per ogni \(\mathbf{v}=x_1\mathbf{e}_1+...+x_n\mathbf{e}_n\) si ha quindi
\[T(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n}\langle T(\mathbf{v}),T(\mathbf{e}_i)\rangle T(\mathbf{e}_i)=\sum_{i=1}^{n}\langle\mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle T(\mathbf{e}_i)=\sum_{i=1}^{n}x_i T(\mathbf{e}_i),\]
cioè \[T\Big(\sum_{i=1}^{n}x_i \mathbf{e}_i\Big)= \sum_{i=1}^{n}x_i T(\mathbf{e}_i)\]
e pertanto $T$ è lineare". Ecco la dimostrazione, ma non mi affatto chiaro come e se si possa applicare a spazi di dimensione non finita...
Grazie di cuore ancora a te, 5mrkv, e a chi vorrà unirsi alla discussione!!!
*Quindi se \(1\leq \dim(\mathbf{V})<\infty\) direi che è una base hilbertiana.
Io conoscevo solo -e il mio testo, almeno fino a questo punto- definisce solo che cos'è una base finita...
L'assioma della scelta e' tuo amico, suvvia...
L'esistenza di una base è garantita dall'assioma della scelta o equivalentemente dal lemma di Kuratowski-Zermelo. Io ho visto la seconda dimostrazione e non è nulla di che. Per quanto riguarda il resto, se hai una base di dimensione non finita allora consideri semplicemente gli indici con \(i \neq j\). Anche li un vettore si scrive come \(v=\sum c_{n}v_{n}\) e nel caso di dimensione infinita la sommatoria è estesa ad un numero infinito di termini e puoi considerare penso
\[
\langle v,w\rangle =\langle \lim_{n \to \infty}\sum^{n}c_{i} v_{i},w\rangle=\lim_{n \to \infty}\sum^{n}c_{i}\langle v_{i},w\rangle
\]
sfruttando in qualche modo la continuità del prodotto scalare (per il legame fra limiti di successioni e continuità che si studia in analisi o topologia) solo che adesso non riesco a capire come scrivere bene l'ultimo passaggio. Comunque non perderci troppo tempo sopra. Quando vedrai gli spazi di dimensioni infinita potrai fare dei confronti in modo più sicuro.
\[
\langle v,w\rangle =\langle \lim_{n \to \infty}\sum^{n}c_{i} v_{i},w\rangle=\lim_{n \to \infty}\sum^{n}c_{i}\langle v_{i},w\rangle
\]
sfruttando in qualche modo la continuità del prodotto scalare (per il legame fra limiti di successioni e continuità che si studia in analisi o topologia) solo che adesso non riesco a capire come scrivere bene l'ultimo passaggio. Comunque non perderci troppo tempo sopra. Quando vedrai gli spazi di dimensioni infinita potrai fare dei confronti in modo più sicuro.
Grazie di cuore, ragazzi! Bene, adesso mi studio gli assiomi di Zermelo-Fraenkel \(\bigcup\){choice} 
.
Mi sembrerebbe che si possa scrivere il prodotto scalare utilizzando le coordinate di \(\boldsymbol{v}\) e \(\boldsymbol{w}\) rispetto ad una base ortonormale (che, se esiste una base, direi che si possa dire che esiste sempre grazie al teorema di Gram-Schmidt applicato a $k$ vettori della base \(\boldsymbol{e}_1,...,\boldsymbol{e}_k\) per \(k\to\infty\)), coordinate che chiamo $v_i$ e $w_i$ con $i=1,2,...$
\[\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle =\sum^{\infty}_{i=1} c_{i} v_{i},w_{i}\]
...correggetemi, vi prego, se sbaglio...
Quindi direi che la dimostrazione del Sernesi valga utilizzando le coordinate di \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{e}_i\) (che è una successione infinita di zeri, eccetto un 1 all'$i$-esimo posto)...
\(\text{grazie}_1,...,\text{grazie}_n,n\to\infty\)!
."5mrkv":
sfruttando in qualche modo la continuità del prodotto scalare
Mi sembrerebbe che si possa scrivere il prodotto scalare utilizzando le coordinate di \(\boldsymbol{v}\) e \(\boldsymbol{w}\) rispetto ad una base ortonormale (che, se esiste una base, direi che si possa dire che esiste sempre grazie al teorema di Gram-Schmidt applicato a $k$ vettori della base \(\boldsymbol{e}_1,...,\boldsymbol{e}_k\) per \(k\to\infty\)), coordinate che chiamo $v_i$ e $w_i$ con $i=1,2,...$
\[\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle =\sum^{\infty}_{i=1} c_{i} v_{i},w_{i}\]
...correggetemi, vi prego, se sbaglio...
Quindi direi che la dimostrazione del Sernesi valga utilizzando le coordinate di \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{e}_i\) (che è una successione infinita di zeri, eccetto un 1 all'$i$-esimo posto)...
\(\text{grazie}_1,...,\text{grazie}_n,n\to\infty\)!
Prova a vedere se riesci ad adattare il Teorema 9.13 a pagina 205 qui al caso infinito dimensionale.
@davide: forse così torna. Se scrivo la successione delle somme parziali con \(f(v)=\langle v,w\rangle\) ho
\begin{split}
f(v)&=f(\ \lim_{n \to \infty}s_{n})
&=\lim_{n \to \infty}f(s_{n}) \\
&=\lim_{n \to \infty}f(\sum_{k=1}^{n}c_{k}v_{k})
&=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}c_{k}f(v_{k}) \\
&=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}f(v_{k})
&=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\langle v_{k},w\rangle \\
\end{split}
\begin{split}
f(v)&=f(\ \lim_{n \to \infty}s_{n})
&=\lim_{n \to \infty}f(s_{n}) \\
&=\lim_{n \to \infty}f(\sum_{k=1}^{n}c_{k}v_{k})
&=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}c_{k}f(v_{k}) \\
&=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}f(v_{k})
&=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\langle v_{k},w\rangle \\
\end{split}
@DavideGenova
Secondo me bisognerebbe tenere ben separati i concetti di base di Hilbert e base algebrica, la differenza è abissale.
Prova a dare un'occhiata qui: per la precisione il paragrafo 1, definition, per vedere l'estensione del concetto di base a cui sei abituato a spazi vettoriali di dimensione infinita, e il paragrafo 8.1 Related notions, Analysis, per capire la differenza tra base algebrica e base di hilbert.
Puoi anche guardare qui per toglierti qualche curiosità sugli spazi di Hilbert.
Ciò che a te serve in questo contesto è una base algebrica di dimensione infinita (per esempio, pensa ai polinomi) e non certo le basi di Hilbert.
Usando il concetto di base algebrica, puoi estendere l'equivalenza di cui parla Sernesi che, infatti, non usa la dimensione finita dello spazio ma solo l'esistenza di una base.
Naturalmente bisognerebbe estendere l'ortogonalizzazione di gram schmidt a spazi vettoriali con basi algebriche infinite: su questo dovrei pensarci un attimo, si tratta di basi non numerabili, sento puzza del lemma di Zorn o dell'induzione transfinita, non so, non vorrei dire scemenze. Altrimenti, in linea di principio, non è garantita l'esistenza di basi algebriche infinite ortonormali.
Chiedi se hai altri dubbi.
Secondo me bisognerebbe tenere ben separati i concetti di base di Hilbert e base algebrica, la differenza è abissale.
Prova a dare un'occhiata qui: per la precisione il paragrafo 1, definition, per vedere l'estensione del concetto di base a cui sei abituato a spazi vettoriali di dimensione infinita, e il paragrafo 8.1 Related notions, Analysis, per capire la differenza tra base algebrica e base di hilbert.
Puoi anche guardare qui per toglierti qualche curiosità sugli spazi di Hilbert.
Ciò che a te serve in questo contesto è una base algebrica di dimensione infinita (per esempio, pensa ai polinomi) e non certo le basi di Hilbert.
Usando il concetto di base algebrica, puoi estendere l'equivalenza di cui parla Sernesi che, infatti, non usa la dimensione finita dello spazio ma solo l'esistenza di una base.
Naturalmente bisognerebbe estendere l'ortogonalizzazione di gram schmidt a spazi vettoriali con basi algebriche infinite: su questo dovrei pensarci un attimo, si tratta di basi non numerabili, sento puzza del lemma di Zorn o dell'induzione transfinita, non so, non vorrei dire scemenze. Altrimenti, in linea di principio, non è garantita l'esistenza di basi algebriche infinite ortonormali.
Chiedi se hai altri dubbi.
Per quale motivo la sua base non è Hilbertiana?
"5mrkv":
Per quale motivo la sua base non è Hilbertiana?
Sua quale, scusa?
Quello che ho tentato di spiegare è che mentre nel caso di spazi vettoriali finito dimensionali e completi (cioè su campi completi, insomma reali e complessi per intenderci) i concetti di base algebrica e base Hilbertiana coincidono, non è affatto così nel caso di spazi vettoriali infinito dimensionali e, secondo me, Sernesi fa riferimento al concetto di base algebrica, non di base Hilbertiana.
Hai scritto che a lui serve una base algebrica di dimensione infinita e non certo una base di Hilbert. Ripeto che sulle mie dispense gli operatori unitari sono definiti su uno spazio di Hilbert ed anche da quanto vedo sul reed simon. Lui quindi è già in uno spazio di Hilbert e da quanto mi sembra la dimostrazione è corretta anche per uno spazio infinito dimensionale, quindi sempre di Hilbert.
Cosa intendi per base algebrica quando dici che corrisponde ad una base Hilbertiana in uno spazio finito dimensionale? (non ho però capito a cosa serve la completezza) Se per base algebrica indendi una qualsiasi base questo significherebbe che per dimensioni finite tutti gli spazi vettoriali dovrebbero essere dotati di prodotto scalare e di una base ortonormale. Dimmi se sbaglio, non sono un matematico
Cosa intendi per base algebrica quando dici che corrisponde ad una base Hilbertiana in uno spazio finito dimensionale? (non ho però capito a cosa serve la completezza) Se per base algebrica indendi una qualsiasi base questo significherebbe che per dimensioni finite tutti gli spazi vettoriali dovrebbero essere dotati di prodotto scalare e di una base ortonormale. Dimmi se sbaglio, non sono un matematico
"5mrkv":
Hai scritto che a lui serve una base algebrica di dimensione infinita e non certo una base di Hilbert.
Certamente, sta studiano sul Sernesi, quindi è agli inizi, vuoi già fargli ingurgitare tutta la teoria degli spazi di Hilbert? Cioè vuoi già fargli studiare l'analisi funzionale?
"5mrkv":
Ripeto che sulle mie dispense gli operatori unitari sono definiti su uno spazio di Hilbert ed anche da quanto vedo sul reed simon.
Lo so perfettamente che si può fare!
Il problema è che a lui non serve, si tratta di concetti diversi.
"5mrkv":
Lui quindi è già in uno spazio di Hilbert e da quanto mi sembra la dimostrazione è corretta anche per uno spazio infinito dimensionale, quindi sempre di Hilbert.
Anche il concetto di dimensione di Hilbert è diverso dal concetto di dimensione algebrica.
Considera \(\displaystyle \ell^2 ( \mathbb R ) \), lo spazio delle successioni reali a quadrato sommabile. Questo spazio ha dimensione di Hilbert numerabile ma, dato che è completo la sua dimensione algebrica non può essere numerabile, è più che numerabile quindi ha almeno la cardinalità del continuo (assumo la validità dell'ipotesi del continuo, ovviamente).
Considera lo spazio dei polinomi a coefficienti reali, cioè delle successioni definitivamente nulle: non è completo quindi penso che sia problematico parlare di limiti e, di conseguenza, di basi hilbertiane. L'insieme \(\displaystyle \{ x^n | n \in \mathbb N \} \) è una sua base algebrica, invece.
"5mrkv":
Cosa intendi per base algebrica quando dici che corrisponde ad una base Hilbertiana in uno spazio finito dimensionale?
Nel caso di \(\displaystyle \mathbb R^n \) o di \(\displaystyle \mathbb C^k \) il concetto di base Hilbertiana coincide con il concetto di base algebrica.
"5mrkv":
(non ho però capito a cosa serve la completezza)
Nel caso di \(\displaystyle \mathbb Q^n \) il concetto di base Hilbertiana non coincide con il concetto di base algebrica, anzi, penso che non si possa nemmeno parlare di base Hilbertiana dato che \(\displaystyle \mathbb Q^n \) non è completo.
"5mrkv":
Se per base algebrica indendi una qualsiasi base
Intendo la definizione che ho dato nel link iniziale. Per esempio, considera la base algebrica dei polinomi a coefficienti razionali.
"5mrkv":
per dimensioni finite tutti gli spazi vettoriali dovrebbero essere dotati di prodotto scalare e di una base ortonormale.
Infatti è vero, basta che prendi il prodotto scalare standard. Potresti avere dei problemi solo considerando campi con caratteristica diversa da zero in quanto la normalizzazione della base sarebbe problematica.
"5mrkv":
Dimmi se sbaglio, non sono un matematico
Nemmeno io sono un matematico: sono un semplice laureato triennale in matematica che ha la velleità di diventare, un giorno, un matematico!
Non mi sono chiare alcune cose. Scrivo le definizioni così non ci confondiamo. In breve:
Spazio prehilbertiano: spazio vettoriale \(V\ \mathbb{K}\) dotato di prodotto scalare.
Spazio di Hilbert: spazio prehilbertiano \(V\ \mathbb{K}\) completo.
Base: sottoinsieme massimale (di uno spazio vettoriale \(V\ \mathbb{K}\)) di vettori linearmente indipendenti che generano per combinazione lineare.
Base algebrica: dato un spazio vettoriale \(V\ \mathbb{K}\) una base algebrica è una base che genera per somme finite.
Base hilbertiana: dato \(V\ \mathbb{K}\) prehilbertiano una base hilbertiana è una base ortonormale che genera anche per somma non finita essendo possibile definire una topologia e quindi anche una convergenza.
Il suo teorema è valido anche per una base ortonormale infinito dimensionale. Incidentalmente si trova su uno spazio di Hilbert sia nel caso finito che in quello non finito (anche se non è richiesta completezza nella sua definizione di operatore unitario, è necessaria perché questa definizione si coerente con quella espressa quando si introduce la topologia). Sapendo cos'è un limite e cos'è la successione delle somme parziali può capire il concetto di base Hilbertiana. Inoltre la base è già stata data nell'enunciato quindi non ci sono problemi.
Ritornando al confronto della base hilbertiana ed algebrica, probabilmente ho sbagliato qualche definizione (da quanto ho scritto su si tratta di due cose differenti, sia nel caso finito dimensionale che in quello infinito dimensionale), quale? Quello che intendevo dire (mi sono espresso male prima) è che se fossero uguali ad esempio nel caso finito dimensionale, ogni base algebrica dovrebbe essere anche ortonormale ma ci sono basi algebriche non ortonormali.
Correggo quanto ho detto in sulle mie dispense gli operatori unitari sono definiti su uno spazio di Hilbert. Ogni spazio vettoriale ammette almeno una base B quindi pure li esiste. Mi sembra che non ci sia bisogno di porsi domande sull'esistenza di una base (il teorema che ho citato faceva riferimento all'esistenza di una base algebrica) in quanto è già data in uno dei punti dell'enunciato.
Comunque se devo fare autocritica possiamo semplicemente considerare una base algebrica ed ignorare la convergenza e puoi darsi che anche nel libro si intenda questo, anche se come ho detto prima non è tanto difficile da capire e lo collega alla definizione data in analisi funzionale
Spazio prehilbertiano: spazio vettoriale \(V\ \mathbb{K}\) dotato di prodotto scalare.
Spazio di Hilbert: spazio prehilbertiano \(V\ \mathbb{K}\) completo.
Base: sottoinsieme massimale (di uno spazio vettoriale \(V\ \mathbb{K}\)) di vettori linearmente indipendenti che generano per combinazione lineare.
Base algebrica: dato un spazio vettoriale \(V\ \mathbb{K}\) una base algebrica è una base che genera per somme finite.
Base hilbertiana: dato \(V\ \mathbb{K}\) prehilbertiano una base hilbertiana è una base ortonormale che genera anche per somma non finita essendo possibile definire una topologia e quindi anche una convergenza.
Il suo teorema è valido anche per una base ortonormale infinito dimensionale. Incidentalmente si trova su uno spazio di Hilbert sia nel caso finito che in quello non finito (anche se non è richiesta completezza nella sua definizione di operatore unitario, è necessaria perché questa definizione si coerente con quella espressa quando si introduce la topologia). Sapendo cos'è un limite e cos'è la successione delle somme parziali può capire il concetto di base Hilbertiana. Inoltre la base è già stata data nell'enunciato quindi non ci sono problemi.
Ritornando al confronto della base hilbertiana ed algebrica, probabilmente ho sbagliato qualche definizione (da quanto ho scritto su si tratta di due cose differenti, sia nel caso finito dimensionale che in quello infinito dimensionale), quale? Quello che intendevo dire (mi sono espresso male prima) è che se fossero uguali ad esempio nel caso finito dimensionale, ogni base algebrica dovrebbe essere anche ortonormale ma ci sono basi algebriche non ortonormali.
Correggo quanto ho detto in sulle mie dispense gli operatori unitari sono definiti su uno spazio di Hilbert. Ogni spazio vettoriale ammette almeno una base B quindi pure li esiste. Mi sembra che non ci sia bisogno di porsi domande sull'esistenza di una base (il teorema che ho citato faceva riferimento all'esistenza di una base algebrica) in quanto è già data in uno dei punti dell'enunciato.
Comunque se devo fare autocritica possiamo semplicemente considerare una base algebrica ed ignorare la convergenza e puoi darsi che anche nel libro si intenda questo, anche se come ho detto prima non è tanto difficile da capire e lo collega alla definizione data in analisi funzionale
Ringrazio di cuore tutti e 3 per gli interessanti contributi, che ho letto e continuerò a leggere, attraverso cui intravedo meravigliosi orizzonti da cui però sono piuttosto lontano: ho solo una vaga idea di che cosa sia uno spazio di Hilbert, normato e in cui tutte le successioni di Cauchy convergono, perché finora sull'argomento ho solo letto un trafiletto di mezza paginetta sul libro di analisi.
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