Molteplicità geometrica
Ho un problema con la molteplicità geometrica.
so che la m.g. è la dimensione dell'autospazio generato dall'autovalore \(\displaystyle \lambda \) generico.
è il metodo di calcolo che mi sfugge.
nel caso specifico. ho una matrice con un parametro t. la matrice è 3x3 con la terza riga di tutti zeri, quindi il suo rk è 2
una volta ricavati gli autovalori come faccio a calcolarne la molteplicità geometrica?
il problema sarebbe quello di stabilire i valori di t per cui la matrice è diagonalizzabile...
grazie a chiunque mi risponda!
so che la m.g. è la dimensione dell'autospazio generato dall'autovalore \(\displaystyle \lambda \) generico.
è il metodo di calcolo che mi sfugge.
nel caso specifico. ho una matrice con un parametro t. la matrice è 3x3 con la terza riga di tutti zeri, quindi il suo rk è 2
una volta ricavati gli autovalori come faccio a calcolarne la molteplicità geometrica?
il problema sarebbe quello di stabilire i valori di t per cui la matrice è diagonalizzabile...
grazie a chiunque mi risponda!
Risposte
La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore \(\displaystyle \lambda \).
L'autospazio è uno spazio del tipo:
\(\displaystyle V_{\lambda}=\{x\in\mathbb{R}^{n}:(\lambda I-A)X=0\} \)
Dove X è la matrice dei coefficienti (ad esempio x,y,z, nel caso di R3).
Praticamente "ti ricavi" un sistema omogeneo che ha per coefficienti i valori della matrice caratteristica (sostituendo al generico "lambda" il valore dell'autovalore) e come incognite x,y,z.
In poche parole, se hai una matrice (da quello che ho capito la tua è) del tipo:
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} t & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Passiamo al polinomio caratteristico:
\(\displaystyle |\lambda I-A|=|\begin{pmatrix} \lambda -t & -2 & -3 \\ 0 & \lambda-1 & -2 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}| =(\lambda-t)(\lambda-1)(\lambda)\)
Qui ovviamente le cose dipendono da t, ovvero, gli autovalori sono:
\(\displaystyle \lambda_{1}=t,\lambda_{2}=1,\lambda_{2}=0 \)
Quindi se \(\displaystyle t\neq1 , t\neq0 \) la matrice è diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica (che è "l'esponente" con cui compare ogni autovalore è =1 e quindi la molteplicità geometrica è per forza 1 (ricordati m.a >= m.g))
Altrimenti potresti avere i seguenti casi:
L'autospazio è uno spazio del tipo:
\(\displaystyle V_{\lambda}=\{x\in\mathbb{R}^{n}:(\lambda I-A)X=0\} \)
Dove X è la matrice dei coefficienti (ad esempio x,y,z, nel caso di R3).
Praticamente "ti ricavi" un sistema omogeneo che ha per coefficienti i valori della matrice caratteristica (sostituendo al generico "lambda" il valore dell'autovalore) e come incognite x,y,z.
In poche parole, se hai una matrice (da quello che ho capito la tua è) del tipo:
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} t & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Passiamo al polinomio caratteristico:
\(\displaystyle |\lambda I-A|=|\begin{pmatrix} \lambda -t & -2 & -3 \\ 0 & \lambda-1 & -2 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}| =(\lambda-t)(\lambda-1)(\lambda)\)
Qui ovviamente le cose dipendono da t, ovvero, gli autovalori sono:
\(\displaystyle \lambda_{1}=t,\lambda_{2}=1,\lambda_{2}=0 \)
Quindi se \(\displaystyle t\neq1 , t\neq0 \) la matrice è diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica (che è "l'esponente" con cui compare ogni autovalore è =1 e quindi la molteplicità geometrica è per forza 1 (ricordati m.a >= m.g))
Altrimenti potresti avere i seguenti casi:
[*:bzz1qhmh]\(\displaystyle t=1 \), la molteplicità algebrica diventa quindi 2 per l'autovalore 1. Dobbiamo quindi ricavare la dimensione dell'autospazio:
\(\displaystyle V_{-1}=\{(x,y,z): \begin{cases} -2y-3z=0 \\ -2z=0 \\ z=0 \end{cases} \} = \{(x,y,z): \begin{cases} z=0 \\ y=0 \end{cases} \} = \{(x,0,0)\} \implies \{(1,0,0)\} \) genera l'autospazio e quindi \(\displaystyle dim(V_{-1})=1\neq m.a. (1)=2 \) e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
Ti faccio notare che ho ricavato l'autospazio nel modo che ti ho detto: ho sostituito a \(\displaystyle \lambda \) (e a t) il valore 1 nella matrice caratteristica. Quindi la prima "riga" diventa:
\(\displaystyle (1-1)x -2y -3z =0\), come nel sistema appunto.[/*:m:bzz1qhmh]
[*:bzz1qhmh]\(\displaystyle t=0 \), la molteplicità algebrica diventa quindi 2 per l'autovalore 0. Dobbiamo quindi ricavare la dimensione dell'autospazio:
\(\displaystyle V_{0}=\{(x,y,z): \begin{cases} -2y-3z=0 \\ -y-2z=0 \\ 0=0 \end{cases} \} = \{(x,y,z): \begin{cases} z=0 \\ y=0 \end{cases} \} = \{(x,0,0)\} \implies \{(1,0,0)\} \) genera l'autospazio e quindi \(\displaystyle dim(V_{0})=1\neq m.a.(0)=2 \) e quindi la matrice non è diagonalizzabile[/*:m:bzz1qhmh][/list:u:bzz1qhmh]
Questa è la mia prima risposta a una richiesta, spero di aver soddisfatto i tuoi dubbi. Se c'è qualche incomprensione chiedi pure!
abbastanza chiaro, quindi, correggimi se sbaglio, ricavati i valori di t che rendono la molteplicità alg. di un autovalore maggiore di 1 e sostituiti in A(t), quindi mettiamo di chiamare la matrice risultate A, per calcolare l'autospazio basta risolvere il sistema \(\displaystyle A - \lambda I \) e calcolarne la dimensione, cioè il rango. Se coincide con la molteplicità algebrica ok, altrimenti per quel dato valore di t la matrice non è diagonalizzabile, giusto?
comunque grazie, sei gentilissimo!
comunque grazie, sei gentilissimo!
Si, hai capito perfettamente vedo! 
Una cosa comunque: attento ai vari "tranelli" che si possono presentare. Ovvero mettiamo il caso che il polinomio caratteristico sia: \(\displaystyle (\lambda-2)^4(\lambda-t) \) in questo caso la molteplicità algebrica di 2 è 4, quindi, a prescindere dal valore di t devi comunque assicurarti che la molteplicità geometrica sia 4, e quindi devi calcolarti la dimensione dell'autospazio anche per t diverso da 2, se anche per t!=2 la molteplicità algebrica è (per esempio) 3 l'esercizio è concluso perchè la matrice non è diagonalizzabile.
Spero di non averti creato ulteriore confusione, comunque sia dovresti avere capito il metodo. Per una matrice 3x3 i calcoli solitamente non sono difficili, quindi una volta preso la mano con il metodo ti dovrebbe venire "naturale"!
Una cosa comunque: attento ai vari "tranelli" che si possono presentare. Ovvero mettiamo il caso che il polinomio caratteristico sia: \(\displaystyle (\lambda-2)^4(\lambda-t) \) in questo caso la molteplicità algebrica di 2 è 4, quindi, a prescindere dal valore di t devi comunque assicurarti che la molteplicità geometrica sia 4, e quindi devi calcolarti la dimensione dell'autospazio anche per t diverso da 2, se anche per t!=2 la molteplicità algebrica è (per esempio) 3 l'esercizio è concluso perchè la matrice non è diagonalizzabile.
Spero di non averti creato ulteriore confusione, comunque sia dovresti avere capito il metodo. Per una matrice 3x3 i calcoli solitamente non sono difficili, quindi una volta preso la mano con il metodo ti dovrebbe venire "naturale"!
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