Omeomorfismo tra aperti e chiuso?
Ciao, amici! Trovo sul Sernesi, Geometria II, che i sottoinsiemi \(U=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}>-\epsilon\}\) e \(V=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}<\epsilon\}\), con \(\epsilon\in(0,1]\), della sfera \(\mathbf{S}^n=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n+1}:\|\mathbf{x}\|=1\}\), che sono aperti di \(\mathbf{S}^n\) con la topologia relativa a quella euclidea, sono omeomorfi a \(\mathbf{D}^n\), precedentemente definito come \(\mathbf{D}^n=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}\|\leq1\}\), che è un chiuso di \(\mathbb{R}^n\) con la topologia euclidea.
Non sarà mica che l'omeomorfismo sia piuttosto tra $U$, e rispettivamente $V$, e \(\text{Int}(\mathbf{D}^n)\) (intendo l'interno dell'$n$-disco unitario*)?
Grazie \(\infty\)!!!
*P.S.: È possibile sovrascrivere il cerchietto che indica l'interno in LaTeX?
Non sarà mica che l'omeomorfismo sia piuttosto tra $U$, e rispettivamente $V$, e \(\text{Int}(\mathbf{D}^n)\) (intendo l'interno dell'$n$-disco unitario*)?
Grazie \(\infty\)!!!
*P.S.: È possibile sovrascrivere il cerchietto che indica l'interno in LaTeX?
Risposte
Certo che c'è l'errore: \(U\) e \(V\) non sono compatti (perché?) mentre \(\mathbf{D}^n\) è compatto!
Comunque il codice che cerchi è \stackrel{\circ}{\mathbf{D}^n} per \(\stackrel{\circ}{\mathbf{D}^n}\).
Comunque il codice che cerchi è \stackrel{\circ}{\mathbf{D}^n} per \(\stackrel{\circ}{\mathbf{D}^n}\).
Ah, ecco. Devo dire che Geometria II sembra veramente quasi privo di refusi, se non sono io che non me ne accorgo, e trovarne uno di tanto in tantissimo mi sorprende.
Un ricoprimento aperto che non ammette sottoricoprimenti finiti per esempio di $U$ mi sembra la famiglia di insiemi costituita dagli aperti \(A_{\delta}=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}>\delta\}\) per ogni \(\delta\in(-\epsilon,1)\) e di $V$ quella costituita dagli \(A_{\delta}=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}<\delta\}\) per ogni \(\delta\in(-1,\epsilon)\).
$\infty$ grazie, anche per il consiglio tipografico: molto più elegante di scrivere $"Int"$...
Un ricoprimento aperto che non ammette sottoricoprimenti finiti per esempio di $U$ mi sembra la famiglia di insiemi costituita dagli aperti \(A_{\delta}=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}>\delta\}\) per ogni \(\delta\in(-\epsilon,1)\) e di $V$ quella costituita dagli \(A_{\delta}=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}<\delta\}\) per ogni \(\delta\in(-1,\epsilon)\).
$\infty$ grazie, anche per il consiglio tipografico: molto più elegante di scrivere $"Int"$...
"DavideGenova":Io dico il contrario!
...Devo dire che Geometria II sembra veramente quasi privo di refusi...
Per cronaca, esistono omeomorfismi tra insiemi aperti e chiusi; te ne racconto uno facile facile: considerato un campo \(\mathbb{K}\) algebricamente chiuso, \(\mathcal{A}^1_{\mathbb{K}}\) la \(\mathbb{K}\)-retta affine ed \(\mathcal{A}^2_{\mathbb{K}}\) il \(\mathbb{K}\)-piano affine con le rispettive topologie di Zariski; si dimostra facilmente (mediante il cosiddetto argomento di Rabinowitsch) che \(\mathcal{A}^1_{\mathbb{K}}\setminus\{P\}\) (aperto in \(\mathcal{A}^1_{\mathbb{K}}\)) è omeomorfo all'iperbole (chiuso in \(\mathcal{A}^2_{\mathbb{K}}\)).
Ah... 
Sembra andare contro quello che trovo scritto [url=http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Homeomorphism]qui, definizioni 3 e 4[/url], ma mi sembra che sia probabile che io stia travisando tutto...
Un omeomorfismo $f:X\toY$ è continuo e un'applicazione è continua se e solo se per ogni aperto \(\stackrel{\circ}{A}\subset Y\) anche la controimmagine \(f^{-1}(\stackrel{\circ}{A})\subset X\) è un aperto, e se e solo se per ogni chiuso \(\bar{A}\subset Y\) anche la controimmagine \(f^{-1}(\bar{A})\subset X\) è un chiuso. L'inversa $f^{-1}:Y\to X$ è continua e $f^{-1}$ è continua se e solo se per ogni aperto \(\stackrel{\circ}{B}\subset X\) anche la controimmagine \((f^{-1})^{-1}(\stackrel{\circ}{B})= f(\stackrel{\circ}{B})\subset X\) (derivo l'uguaglianza dalla biettività di $f$) è un aperto, e se e solo se per ogni chiuso \(\bar{B}\subset Y\) anche la controimmagine \((f^{-1})^{-1}(\bar{B})= f(\bar{B})\subset X\) è un chiuso.
Questo non significa che $f$, e $f^{-1}$, è sia aperta sia chiusa e che quindi sottospazi omeomorfi devono essere entrambi aperti o chiusi nei rispettivi spazi ambiente? Ovviamente sbaglio, ma non vedo dove...
Grazie ancora...
Sembra andare contro quello che trovo scritto [url=http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Homeomorphism]qui, definizioni 3 e 4[/url], ma mi sembra che sia probabile che io stia travisando tutto...
Un omeomorfismo $f:X\toY$ è continuo e un'applicazione è continua se e solo se per ogni aperto \(\stackrel{\circ}{A}\subset Y\) anche la controimmagine \(f^{-1}(\stackrel{\circ}{A})\subset X\) è un aperto, e se e solo se per ogni chiuso \(\bar{A}\subset Y\) anche la controimmagine \(f^{-1}(\bar{A})\subset X\) è un chiuso. L'inversa $f^{-1}:Y\to X$ è continua e $f^{-1}$ è continua se e solo se per ogni aperto \(\stackrel{\circ}{B}\subset X\) anche la controimmagine \((f^{-1})^{-1}(\stackrel{\circ}{B})= f(\stackrel{\circ}{B})\subset X\) (derivo l'uguaglianza dalla biettività di $f$) è un aperto, e se e solo se per ogni chiuso \(\bar{B}\subset Y\) anche la controimmagine \((f^{-1})^{-1}(\bar{B})= f(\bar{B})\subset X\) è un chiuso.
Questo non significa che $f$, e $f^{-1}$, è sia aperta sia chiusa e che quindi sottospazi omeomorfi devono essere entrambi aperti o chiusi nei rispettivi spazi ambiente? Ovviamente sbaglio, ma non vedo dove...
Grazie ancora...
"DavideGenova":Ah-ah: fregato!
Ah...
...e che quindi sottospazi omeomorfi devono essere entrambi aperti o chiusi nei rispettivi spazi ambiente? Ovviamente sbaglio, ma non vedo dove...
Grazie ancora...
L'omeomorfismo che ti ho raccontato è tra \(\mathcal{A}^1_{\mathbb{K}}\setminus\{P\}\) e l'iperbole \(\mathcal{H}\), quindi tutto quello che dici vale tra loro due e basta! Che poi essi siano aperti e chiusi in altri spazi topologici che inducono su di essi la topologia di Zariski: non ce ne pò fregar de meno!
Questo è il punto di non ritorno
Prego, buona fortuna!
Cioè esiste quindi un omeomorfismo \(f:\mathcal{A}_{\mathbb{K}}^1\setminus\{P\}\to\mathcal{H}\) che è per quanto ho detto un'applicazione sia aperta sia chiusa (perché valgono le mie considerazioni ponendo \(X=\mathcal{A}_{\mathbb{K}}^1\setminus\{P\}\) e \(Y=\mathcal{H}\)), ma, dal canto loro, \(\mathcal{A}_{\mathbb{K}}^1\setminus\{P\}\) è aperto in \(\mathcal{A}_{\mathbb{K}}^1\) e \(\mathcal{H}\) è aperta in \(\mathcal{A}_{\mathbb{K}}^2\), giusto?
Grazie per l'$n$-esima volta...
Grazie per l'$n$-esima volta...
"DavideGenova":Sì, e per l'\(n\)-sima volta: di nulla!
...giusto?
Grazie per l'$n$-esima volta...
Rilancio: sai esporre un esempio analogo a quello che ti ho raccontato, giustificando tutto?
Basta un esempio idiot!
Mi viene in mente un omeomorfismo \(f:\{x_0\}\to\{y_0\}\) dove $x_0\in X$ e $y_0\in Y$ sono punti rispettivamente di uno spazio con topologia discreta $X$, con \(\{x_0\}\) aperto, e di uno $Y$ in generale $T_1$ con \(\{y_0\}\) chiuso. Però con la topologia discreta \(\{x_0\}\) è pur sempre anche un chiuso...
Buon inizio, se su \(X\) ci metti un altra topologia in cui \(\{x_0\}\) è aperto ma non chiuso hai fatto!
Mmh... Considerando aperti i punti di uno spazio infinito e chiusi i complementari di un'unione finita di punti (quelli che nella topologia cofinita sono aperti) non ho una topologia perché un'unione infinita di punti considerati aperti non sarebbe più un aperto... 
"DavideGenova":[size=150]Che topologia ottieni?[/size]
Mmh... Considerando aperti i punti di uno spazio...
Ti basta la topologia dei tre aperti (il nome un programma)!
Bella! \(\mathcal{T}=\{X,\emptyset,\{x_1,...,x_n\}:\forall i=1,...,n\text{ }x_i\in X\}\) suppongo...
Mai incontrata prima, ma molto interessante, come si vede dal carattere un pochino esotico delle sue proprietà...
Mai incontrata prima, ma molto interessante, come si vede dal carattere un pochino esotico delle sue proprietà...
Quella che hai scritto è la topologia con 3 aperti su un generico insieme \(X\) ove il terzo aperto è un sottoinsieme finito e proprio di \(X\); mica è la risposta alla mia domanda urlata? 
P.S.: Come utilizzi la topologia con 3 aperti per l'esempio idiot?
P.S.: Come utilizzi la topologia con 3 aperti per l'esempio idiot?
"DavideGenova":
\( \mathcal{T}=\{X,\emptyset,\{x_1,...,x_n\}:\forall i=1,...,n\text{ }x_i\in X\} \)
Un attimo: mi sa questa non è nemmeno una topologia: un'unione infinita di insiemi finiti di punti è un insieme infinito di punti, ma non coincide necessariamente con $X$. Immagino che la topologia dei tre aperti sia piuttosto \( \mathcal{T}=\{X,\emptyset,\{x_0\}\subset X\} \) dove $x_0$ è un punto, solo, di $X$.
Quindi direi che \( f:\{x_0\}\to\{y_0\} \) dove $ x_0\in X $ e $ y_0\in Y $ sono punti rispettivamente di uno spazio \((X,\mathcal{T})\), dove \(\mathcal{T}\) è la topologia definita sopra, con \( \{x_0\} \) aperto, e di uno $ Y $ in generale $ T_1 $, con \( \{y_0\} \) chiuso, è l'esempio di omeomorfismo cercato. Credo...
\(\infty\) grazie ancora anche per gli interessanti spunti di riflessione!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo