Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Eccomi qua a chiedere... quel che non ho mai osato chiedere.
Ho studiato, su Sernesi, Geometria I, un pochettino delle proprietà e degli oggetti matematici definibili in uno spazio euclideo, di uno spazio, cioè, affine reale con assegnato un prodotto scalare sullo spazio vettoriale associato: concetti derivanti dalla natura affine dello spazio euclideo e concetti specifici non validi necessariamente per spazi affini non euclidei, come quelli di ortogonalità, di angolo convesso, di distanza.
Ho ...
Salve, nella dimostrazione di questo teorema nel mio libro (Paxia o Giuffrida-Ragusa) ho un dubbio in questo passaggio:
Supponiamo che il sistema AX=B sia possibile; allora esiste (a1,a2,...,an) tale che a1C1+..+anCn=B; sicchè B ∈ L(C1,...Cn)=W. Così un sistema di generatori di V, precisamente C1,...,Cn,B sta in W per cui V è sottoinsieme di W quindi V=W
Potreste spiegarmi? Come ipotesi ho appunto W=L(C1,...,Cn) e V=L(C1,...Cn,B)
l'unione di chiusi è uguale al chiuso dell'unione
l'intersezione di aperti è uguale all'aperto dell'intersezione
1. Stabilire se qualcuna di queste uguaglianze si estende ad una famiglia infinita di insiemi.
2. Stabilire se sostituendo l'uguaglianza con una opportuna inclusione, questa si estende ad
una famiglia infinita di insiemi.
io penso che non vale l'uguaglianza in nessuno dei due casi però non riesco a dimostrarlo
qualcuno sa aiutarmi?
grazie
Buongiorno a tutti,
Avrei questo esercizio da risolvere:Determinare per quali valori di $h in mathbb{R}$ la seguente forma bilineare su $mathbb{R^3}$
$ beta ((x_1,y_1,z_1) (x_2,y_2,z_2))=hx_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2+hy_1y_2+hz_1z_2$
è un prodotto scalare.Inoltre ortonormalizzare la base $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ rispetto a $beta$ quando $h=4$
Allora non dovrei avere problemi per quanto riguarda la definizione di prodotto scalare in quanto è un prodotto scalare se tutti gli autovalori sono positivi...ma ho difficoltà a determinare la ...
Mi serve un semplice esempio di spazi non omeomorfi perché dotati di un gruppo fondamentale diverso. Non ho avuto il tempo di esercitarmi con la topologia generale quindi non vorrei fare esempi troppo banali che si risolvono subito in modo ortodosso. Mi sembra che ad esempio che \(\mathbb{R}^{2}-\textbf{0}\) abbia un gruppo isomorfo ad \(\mathbb{Z}\) per via del collegamento con \(S^{1}\) e del fatto intuitivo che posso avvolgere un laccio \(z\) volte attorno allo zero in senso orario e \(z\) ...
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi come funziona la diagonalizzazione di una matrice? Sul libro non ho capito molto! se possibile potete fare anche qualche esempio di esercizio per capire come risolverli? (dato che il mio principale interesse è saper risolvere questa tipologia di esercizi) grazie mille in anticipo!!!
Ciao, amici! Se $X$ è un insieme non vuoto e \(I:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)\) è un operatore che per definizione soddisfi\[I(X)=X\]\[\forall S\in\mathcal{P}(X),\text{ }S\supset I(S)\]\[\forall S\in\mathcal{P}(X),\text{ }I(I(S))=I(S)\]\[\forall A,B\in\mathcal{P}(X),\text{ }I(A\cap B)=I(A)\cap I(B)\]allora la famiglia \(\mathcal{T}\) di tutti i sottoinsiemi di $X$ tali che \(I(A)=A\) è una topologia.
Vorrei dimostrarlo e mi sembrerebbe tutto immediato, se non ...
Sia dato l'endomorfismo di R^(3,2)
(a b (f 0
c d = 0 0
e f) a 0)
Perchè l'autovalore lambda=0 ha autospazio di dim 4? Come trovo la matrice associata?
Salve a tutti ragazzi,
allora ho da fare un esercizio di geometria ed algebra che chiede:
Verificare se i seguenti vettori generano R^4
v1:(1,2,3,4)
v2:(-1,3,-5,0)
v3:(0,1,1,0)
Non so proprio come procedere, potreste essere così gentili da spiegarmi passaggio per passaggio?
Grazie a tutti quelli che risponderanno!
Ciao, amici! Trovo sul mio libro di geometria (E. Sernesi, Geometria II, 3.2) che una successione \(\{x_n\}_{n\geq 1}\) è un insieme chiuso se non possiede sottosuccessioni convergenti (o se contiene il limite di ogni sottosuccessione convergente, cosa di cui mi è chiaro il motivo).
So che per un qualunque sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico la sua chiusura è \(\bar{S}=S\cup D(S)\) dove \(D(S)\) è il derivato di $S$, cioè l'insime dei suoi punti di ...
Salve ragazzi, ho avuto dei problemi a risolvere un banale esercizio sull indipendenza lineare al quale però non sono riuscito a trovare la soluzione! L esercizio mi dice: siano v = (1,2,0,0) e w = (3,1,0,1) vettori indipendenti in R^4. Determinare due vettori che uniti ai precedenti li completino ad una base di R^4.
Non riesco a capire come procedere, aiutatemi se potete
salve ragazzi vorrei rendermi conto se ho sbagliato o meno nel calcolarmi questi autovalori,dunque io ho :
\((x+y=0 ; 3x+3z=0 ; 2x-y+3z =0 \) mi uscirebbe alla fine \( (-y ; 0 -y)\)
\((y=0 ; 3x-y + 3z = 0 ; 2x-y+2z = 0\) mi esce \(( -z , 0 , 0 )\)
\((-2x+y = 0 ; 3x-3y = 0 ; 2x - y = 0\) e qui esce \((0,2x,0)\)
se è sbagliato come procedereste voi ?
P.S. sono autovettori che mi servono per una matrice da diagonalizzare .
grazie in anticipo !
Ciao, amici! Trovo un esercizio (E. Sernesi, Geometria II, es. 2.17) in cui si deve dimostrare che la famiglia di intervalli (chiusi nella topologia naturale) \(\{[a,b]:a
Allora salve ragazzi,volevo postarvi questo problemino :
si devono trovare i piani per \(p( 1 ; 0 ; 0)\) ortogonali al piano \(x+2z=0\) aventi distanza \(d = 1\) da \(r : (y=1 ; z=2x-1\)
Il mio procedimento è stato questo :
1) ho trovato l'eq del piano generico per p : \(a=0\)
2) poi ho trovato l'eq del piano generico ortogonale al piano dato \(a+2c=0\)
3) dopo di che ho sfruttato il fatto che la distanza da r dal piano da trovare sia 1 allora ho imposto che siano paralleli trovando così ...
Salve a tutti ragazzi
Studiando le matrici associate ad applicazioni lineari ho trovato alcune difficoltà a dimostrare questo teorema:
Sia $ f:V ->V' $ una applicazione lineare e sia $ A ∈ M_m,_n $ la matrice associata ad $ f $ rispetto a delle basi ordinate fissate $ B = (u_1,....,u_n) $ ; $ B' = (u'_1,....,u'_n) $ di $ V $ e $ V' $.
Si ha che $ dim imf = rho (A) $
A premettere che sul mio libro c'è una dimostrazione che....non mi è affatto chiara . Per ...
Ciao a tutti,
sto studiando le curve algebriche affini e proiettive ma ho delle difficoltà per quanto riguarda il calcolo delle tangenti principali in un punto singolare.
Sto svolgendo lo studio di questa curva nel piano affine:
\begin{equation}
(x-y)^3 + x^2 - y^2 - 4x = 0
\end{equation}
In particolare devo studiarne l'origine e i punti impropri.
Per quanto riguarda l'origine, ho trovato che è un punto semplice e che la sua unica retta tangente è $x=0$.
L'unico punto improprio è ...
Ho un po' di confusione sul seguente esercizio.
"Considerando lo spazio affine \(\ A^3 \) , determinare la trasformazione affine T data dal ribaltamento rispetto al piano \(\ x+y=2 \)"
Non riesco a fare un'analisi coerente, ovvero devo eseguire un ribaltamento che appartiene sul piano oppure ribaltare il piano da un generico asse?
Come eseguire poi dall'analisi corretta?
Ciao a tutti ho un dubbio su questo esercizio d'esame:
Determinare per quali valori di [tex]m[/tex] il vettore [tex]v = (1;m)^T[/tex] è un
autovettore della matrice 2x2:
[tex]A=\left[\begin{matrix}3&7\\0&2\end{matrix}\right][/tex]
io ho provato a risolverlo così:
- Ho trovato gli autovalori
[tex]\left\arrowvert\begin{matrix}3-\lambda&7\\0&2-\lambda\end{matrix}\right\arrowvert=(3-\lambda)(2-\lambda)[/tex]
ottenendo quindi [tex]\lambda_1=2; \lambda_2=3[/tex]
da qui come procedo?
p.s come ...
Ciao a tutti! ho un problema con un tipo particolare di esercizi, in particolare il cambio di base. Vi riporto per esempio un esercizio d'esame:
Sia [tex](x; y)^T[/tex] un vettore rispetto alla base canonica di [tex]R^2[/tex]. Trovare le coordinate di [tex](x; y)^T[/tex] rispetto alla base [tex]B = \{f(1; 2)^T ; (2; 1)^T\}[/tex].
un'altra cosa che non ho capito, quell'elevazione di [tex]T[/tex] a cosa si riferisce? sul libro non viene detto (se non nelle matrici trasposte!)
ciao a tutti, domani ho un esame e volevo chiedervi aiuto per quanto riguarda il cambio di base... non riesco a capire proprio come svolgere gli esercizi ed è 3 giorni che ci provo!! per esempio un esercizio è questo:
Sia [tex](x;y)^T[/tex] un vettore rispetto alla base canonica di [tex]R^2[/tex]. Trovare le coordinate di [tex](x;y)^T[/tex] rispetto alla base [tex]B=\{f(1;2)^T;(2;1)^T\}[/tex]
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