Ker trasposto e proprietà varie
Buongiorno, premetto subito che ho letto il topic "algebra for dummies", mi è stato utile e ringrazio veramente l' autore.
Ciò che mi manca ancora di capire sono alcune proprietà che mi si sono presentate davanti ora nello studio di un' altra materia e che quindi ho dovuto prendere "così per buone".
Il motivo per cui non riesco a comprenderle, è perchè non riesco proprio ad immaginare cosa siano, mi riferisco in particolare a ciò che viene scritto come \(\displaystyle[Ker M]^T \) dove con M si intende una matrice.
Le proprietà utilizzate per questa dimostrazione sono: \(\displaystyle [Ker M]^T = Im (M^T) \) e \(\displaystyle Im (M^T) = rg (M^T) = rg (M) \) e così conclude dicendo che la prima parte è uguale alla seconda. Qualcuno riesce a spiegarmi perchè? L' unico passaggio che ho chiaro è l' ultimo, ovvero quello banale, \(\displaystyle rg(M^T) = rg (M) \).
Grazie mille.
EDIT: Scusatemi, c' è un' altra cosa che vorrei chiedere, che non riesco proprio a capire:
Data un' applicazione lineare \(\displaystyle A: \) $RR^n$ \(\displaystyle \longrightarrow \) $RR^m$ e la sua trasposta \(\displaystyle A^T \): $RR^m$ \(\displaystyle \longrightarrow \) $RR^n$, si ha:
- $RR^n$ \(\displaystyle = Ker (A) \oplus Im (A^T)\)
- $RR^m$ \(\displaystyle = Ker (A^T) \oplus Im (A)\)
- \(\displaystyle dim \)$RR^n$ \(\displaystyle = n = dim (Ker (A)) + dim (Im (A^T)) = dim (Ker (A)) + rg (A^T) \)
- \(\displaystyle dim \)$RR^m$ \(\displaystyle = m = dim (Ker (A^T)) + dim (Im (A)) = dim (Ker (A^T)) + rg (A) \)
Perchè tutto ciò?
Ciò che mi manca ancora di capire sono alcune proprietà che mi si sono presentate davanti ora nello studio di un' altra materia e che quindi ho dovuto prendere "così per buone".
Il motivo per cui non riesco a comprenderle, è perchè non riesco proprio ad immaginare cosa siano, mi riferisco in particolare a ciò che viene scritto come \(\displaystyle[Ker M]^T \) dove con M si intende una matrice.
Le proprietà utilizzate per questa dimostrazione sono: \(\displaystyle [Ker M]^T = Im (M^T) \) e \(\displaystyle Im (M^T) = rg (M^T) = rg (M) \) e così conclude dicendo che la prima parte è uguale alla seconda. Qualcuno riesce a spiegarmi perchè? L' unico passaggio che ho chiaro è l' ultimo, ovvero quello banale, \(\displaystyle rg(M^T) = rg (M) \).
Grazie mille.
EDIT: Scusatemi, c' è un' altra cosa che vorrei chiedere, che non riesco proprio a capire:
Data un' applicazione lineare \(\displaystyle A: \) $RR^n$ \(\displaystyle \longrightarrow \) $RR^m$ e la sua trasposta \(\displaystyle A^T \): $RR^m$ \(\displaystyle \longrightarrow \) $RR^n$, si ha:
- $RR^n$ \(\displaystyle = Ker (A) \oplus Im (A^T)\)
- $RR^m$ \(\displaystyle = Ker (A^T) \oplus Im (A)\)
- \(\displaystyle dim \)$RR^n$ \(\displaystyle = n = dim (Ker (A)) + dim (Im (A^T)) = dim (Ker (A)) + rg (A^T) \)
- \(\displaystyle dim \)$RR^m$ \(\displaystyle = m = dim (Ker (A^T)) + dim (Im (A)) = dim (Ker (A^T)) + rg (A) \)
Perchè tutto ciò?
Risposte
$Ker M^T$
Questi sono i vettori che se vengono calcolati contro la matrice $M^T$ vanno nello zero, ma la scrittura
$[Ker M]^T$
Dovrebbero essere vettori duali, che non possono essere uguali a dei vettori dello spazio stesso, sicuro non sia la prima matrice oppure sia solo il
$Ker M$
?
Questi sono i vettori che se vengono calcolati contro la matrice $M^T$ vanno nello zero, ma la scrittura
$[Ker M]^T$
Dovrebbero essere vettori duali, che non possono essere uguali a dei vettori dello spazio stesso, sicuro non sia la prima matrice oppure sia solo il
$Ker M$
?
Certo, se la scrittura fosse $[Ker M^T]$ capirei cosa significherebbe, ma invece è proprio scritto $[Ker M]^T$, non ne capisco minimamente il senso, tantomeno l' uguaglianza e ahimè, tantomeno le altre proprietà che ho elencato dopo.
L'uguaglianza mi fa pensare che sia il complementare del $Ker M$, più che il trasposto 
Non penso sinceramente. Qualcuno mi sa aiutare?
E perché non pensi? Tu cosa pensi che sia?
L' avessi saputo non avrei scritto qui lol
Se mi sai spiegare perchè dovrebbe essere come dici tu e perchè vale quella uguaglianza allora ti crederei.
Se mi sai spiegare perchè dovrebbe essere come dici tu e perchè vale quella uguaglianza allora ti crederei.
Il problema non è non sapere è il non pensare. Poniti nel caso più semplice possibile:
Sia $M in Mat(n,m), n,m in NN, n>m$ la matrice associata all'applicazione in un'opportuna base:
$M=((I_k,0_(n-k)),(0_(m-k),0_((m-k)*(n-k))))$
Ora vediamo i vari termini:
$Ker M={e_(k+1),...,e_n}$
$Im M={epsilon_1,..., epsilon_k}$
$rg M= k$
Prendiamo la trasposta:
$M^T=((I_k,0_(m-k)),(0_(n-k),0_((n-k)*(m-k))))$
$Ker M^T= {epsilon_(k+1),...,epsilon_m}$
$Im M^T= {e_1,...,e_k}$
$rg M^T= k$
Da qui è evidente che l'immagine di $M^T$ è il complementare di $Ker M$. E che ovviamente l'immagine di $M^T$ non è il rango di un bel cavolo. Molto probabilmente non è scritto così l'esercizio o tu non hai capito le notazioni, capita.
Sia $M in Mat(n,m), n,m in NN, n>m$ la matrice associata all'applicazione in un'opportuna base:
$M=((I_k,0_(n-k)),(0_(m-k),0_((m-k)*(n-k))))$
Ora vediamo i vari termini:
$Ker M={e_(k+1),...,e_n}$
$Im M={epsilon_1,..., epsilon_k}$
$rg M= k$
Prendiamo la trasposta:
$M^T=((I_k,0_(m-k)),(0_(n-k),0_((n-k)*(m-k))))$
$Ker M^T= {epsilon_(k+1),...,epsilon_m}$
$Im M^T= {e_1,...,e_k}$
$rg M^T= k$
Da qui è evidente che l'immagine di $M^T$ è il complementare di $Ker M$. E che ovviamente l'immagine di $M^T$ non è il rango di un bel cavolo. Molto probabilmente non è scritto così l'esercizio o tu non hai capito le notazioni, capita.
Ortogonale del ker, non la trasposta 
Intendi quindi l'ortogonale al ker M? Allora questo è anche il complementare... Ed ecco risolto il mistero..
No aspetta, é risolto il problema Dell uguaglianza tra ker e Im.. Ma resta quello tra Im e Rg.
Beh, lì manca questo:
$dim Im M^T= rk M^T= rk M$
$dim Im M^T= rk M^T= rk M$
"Maci86":
Beh, lì manca questo:
$dim Im M^T= rk M^T= rk M$
Mmm quindi, visto che io nel primo post ho scritto "$Im M^T= rk M^T= rk M$", dici che ho dimenticato di scrivere "dim"?
Esatto! Altrimenti paragoni uno spazio vettoriale ad uno scalare (in particolare un naturale)..
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