Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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$Se f: R^8→R^5$ è lineare, $2e_1−5e_2 not\in Im(f) $ , $X⊆R^8$ e $dim(X\capKer(f))= 1 $ , che dimensione può avere X?
io ho trovato che, siccome f non è suriettiva allora: $2e_1−5e_2 \in Ker(f)$ e quindi che dimKer(f) va da 4 ad 8 con dimIm(f) che va da 0 a 4 per il teorema di nullità più rango. Da qui non riesco a sfruttare altre condizioni per arrivare alle possibili dimensioni di X.
salve a tutti non riesco a risolvere un problema che è sorto durante l' esercizio di una conica:
presa la seguente conica $4x^2-y^2-2y+3=0$ si determinino se esistono e sono reali centro asintoti assi e vertici.
Io sono già riuscito a determinare che la conica è un' iperbole di centro $C(0,-1)$ e di asintoti $y=2x+1$ e $y=-2x+1$ ma non riesco a determinare gli assi e i vertici. Inoltre non riesco a determinare il polo della retta $r: x+y+1=0$ nella polarità ...
Data $f:R^2\rightarrow{x\in R^3 : x_1-2x_2+3x_3=0}$ tale che
$f(e_1) = -e_1 + e_2 + e_3, f(e_2) = e_1 + 2e_2 + e_3,<br />
calcolare f^(-1)(2e_1 +e_2)$.
Ora io ho trovato la matrice associata rispetto alle basi canoniche e viene $$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 \\
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array}
\right)
$$ Ma se la matrice è rettangolare come faccio a fare l'inversa per trovare la controimmagine?
Salve ragaz,
Sto studiando le forme bilineari e le forme quadratiche, ma la diagonalizzazione non la capisco. Inoltre il mio libro porta un tipo procedimento e sul web ne ho visto un altro, tramite l algoritmo di gauss-lagrange. Potreste spiegarmi come procedere per diagonalizzare una forma quadratica e quale strada conviene usare? Grazie anticipatamente.
Ciao a tutti:
Se B = $(e_1+2e_2, 3e_1-e_2)$ e C = $(4e_1+e_2, -2e_1+3e_2)$ ed $ f: R^2\rightarrow R^2$ l'applicazione lineare di cui è data la matrice $[f]_B^C$ : $$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{cc}
-1 &3 \\
4 &1 \\
\end{array}
\right)
_B^C $$. Quanto vale $ f(2e_1-3e_2)$?
HO CALCOLATO LE COMPONENTI DI $ (2e_1-3e_2)$ RISPETTO ALLA BASE $C$ E POI HO FATTO L'IMMAGINE TRAMITE LA MATRICE ASSOCIATA MA NON TORNA, HO PROVATO ANCHE A FARLO CON LA BASE ...
Vi posto questo esercizio che mi sta dando problemi:
Se f: $R^4 \rightarrow R^7$ è lineare, $f(3e_1 - 5e_2) = f(4e_3 + 7e_4)$ e W$ \subseteq R^7$ è tale che
$W\oplus Im(f) = R^7$ , che dimensione può avere W?
io ho trovato che, siccome f è lineare allora: $(3e_1 - 5e_2- 4e_3 - 7e_4)$ appartiene a Ker(f) e quindi che Ker(f) ha dimensione maggiore o uguale ad uno poi, per il teorema di nullità più rango trovo che Imm(f) può avere dimensioni da 3 a 0. Da qui non riesco ad andare avanti. Grazie per l'aiuto.
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a capire se ho svolto correttamente questo esercizio.
Sia $ V=R^3 $ e si consideri $ f: R^3->R^3 $ l'endomorfismo avente matrice associata
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ) ) $
rispetto alla base $ B= {(1,0,1), (0,1,1),(0,2,1)} $ sia nel dominio che nel codominio
l'esercizio richiede:
Il vettore di componenti $ (1,1,0) $ rispetto alla base $ B $ , è contenuto nell'immagine di $ f $ ? Giustificare la risposta.
Quello che ho fatto io è stato :
ho ...
Ho il seguente
Problema. Sia \(\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^2\) una curva regolare parametrica piana, parametrizzata con la lunghezza d'arco. Si assuma che esista \( t_0 \in (a,b) \) tale che la distanza \( |\alpha (t) |\) dall'origine alla traccia di \(\alpha\) sia massima in \(t_0\). Provare che la curvatura \(k\) di \(\alpha\) in \(t_0\) soddisfa \( |k(t_0)| \ge 1/|\alpha(t_0)|\).
Ho "liberamente" tradotto il testo dall'inglese, e quindi spero di non aver fatto cappellate.
Detto ciò, ...
Salve,
Come si dimostra che 0$*\vec v = \vec 0$?
Sapendo che il vettore appartiene a uno spazio vettoriale?
Ciao, amici! Data la definizione "Uno spazio topologico $X$ si dice di prima categoria se è unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi aventi interno vuoto. Altrimenti $X$ si dice di seconda categoria" dice il mio testo (Sernesi, Geometria II, cap. 3, §10, es. 10) che "uno spazio topologico $X$ è di seconda categoria se e solo se l'intersezione di una qualsiasi famiglia numerabile di insiemi aperti densi è non vuota".
Dimostrerei questa ...
Salve,
in un libro di geometria che stavo leggendo, "Corso di Geometria" di Marius Stoka 3a ed., spunta la parola "sistema di vettori", cosa significa?
Cordiali saluti
Ho questo problema da proporvi
Data f :$\mathbb{C}^7$ $ \rightarrow$ {z $\in$ $C^4$ : (1 - i)$z_1$ + 2$z_2$ - $z_4$ =0} lineare surgettiva e
W $\subseteq C^7$ tale che W $ \cap $ Ker(f) = {0}, che dimensione può avere W?
Sul testo torna tra 3 e 0, ma a me torna tra 1 e 4. Non so dove sbaglio.
PS: scusate ma è la prima volta che inserisco qualcosa e non riesco ad usare i simboli LaTex, ho provato a copiarli ed ...
Sia $alpha(t)$ una curva parametrizzata (ad esempio, in $RR^3$) che non passa per l'origine $(0,0,0)$.
Sia $t_0\inRR$ tale che $alpha(t_0)$ e' il punto di minima distanza del supporto della curva dall'origine e sia $alpha'(t_0)!=0$.
Voglio mostrare che $alpha(t_0)$ e' ortogonale a $alpha'(t_0)$, ovvero che $alpha(t_0)*alpha'(t_0)=0$.
So che $d/(dt)(alpha(t)*alpha(t))=2alpha(t)*alpha'(t)$
dunque $d/(dt)|alpha(t)|^2=2alpha(t)*alpha'(t)$.
Ora posso dire che essendo $alpha(t_0)$ il punto di minima ...
Domanda al volo, piuttosto povera di valenza scientifica, ma vorrei sapere se davvero ha un "padre" la seguente definizione di applicazione continua per spazi metrici:
Dati $(X, d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi Metrici, dato $x_0 in X$ , diremo che una $f : X->Y$ è "CONTINUA in $x_0$" se e solo se
$forall$ successione $ {x_n}_(n in mathbbN) subset X$ tale che $lim(x_n)=x_0$ , risulta $limf(x_n) = f(x_0)$.
Ho sentito il prof. chiamarla definizione di ...
Salve a tutti.
Vorrei sottoporvi una soluzione alternativa di un esercizio del "Broglia Fortuna Luminati". Precisamente l'esercizio 14.
A me basta sapere se e' corretta:
Testo: Sia $N \in mathcalM_n(\mathbb{R})$ triangolare superiore stretta (ma io ho letto male e l'ho presa triangolare inferiore stretta. Tanto e' uguale...). Dimostrare che $N^n=0$.
dim: L'ipotesi di triangolarita' stretta equivale a dire che data $\mathcalC=\{e_1,...,e_n\}$ la base canonica, $N$ e' l'applicazione ...
Salve a tutti.
Il mio problema riguarda il seguente teorema:
Proposizione: Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$
e dimensione $n$. Allora sono equivalenti
$(1)$ esiste una distribuzione $D:M\to TM$ di dimensione 1.
$(2)$ esiste un campo vettoriale $X\in\mathfrak{X}(M)$ non nullo
in ogni punto ( ossia esiste $X$ sezione differenziabile di $TM$
tale che per ogni $p\in M$ risulta ...
devo risolvere questo sistema utilizzando l'eliminazione di gauss:
$A=((4,2,-4,3/2),(2,0,-2,1),(-2,-1,2,-6/8),(0,1/2,1,2)) $ $b=((1/2),(1),(2),(0))$
il determinante di A è 0, lo si nota subito anche dal fatto che la prima riga è il doppio della terza.
come devo procedere?
elimino la terza riga e procedo come se fosse un sistema di 3 equazioni in 4 incognite?
Ciao ragazzi, ho avuto un problema con un esercizio di algebra... :S
Non riesco a capire dove ho sbagliato...potete mica aiutarmi..?
L'esercizio mi chiedeva di trovare i valori di a per cui il sistema ammette una e una sola soluzione e per il quale non ammette alcuna soluzione!!!
ax - y = 0
-x + (a+2)y = 0
x + y + az = -1
x + y - z = a + 2
Io ho posto il determinante della matrice completa uguale a 0 sperando di trovare i valori di a...ma mi veniva che nessun valore di a annullava il ...
L'esercizio chiede di dimostrare che l'insieme in oggetto sia un semipiano di $RR^2$ e che l'equazione $ax+by+c=0$ appartiene a questo semipiano.
So che è semplice, probabilmente banale, ma proprio non ci arrivo, il mio livello di niubbaggine è ancora piuttosto alto ma sto cercando di studiare con impegno tutti i giorni.
Se ci fosse qualcuno che volesse fornire, senza cortesemente scrivere la soluzione completa, un piccolo aiuto/suggerimento per dirmi come iniziare gliene ...
consideriamo i seguenti spazi vettoriali di $ R^3 $
$ U=L(2,0,0),(1,1,0),(-1,1,0) $ ; $ V={(x,y,z)in R^3| x-z=0, y=0} $
si stabilisca quale affermazione é verificata
$ A) Uo+ V=R^3 $
$ B) dim(U+V)=2 $
$ C) Uuu V= U+V $
$ D) dim(Unn V)=2 $
––––—
ho pensato di procedere cosi...
mi calcolo la dim U
$ (( 2 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ) ,( -1 , 1 , 0 ) ) $ il rango della matrice é 2, quindi dim U=2
$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ anche in questo caso il rango é 2, dim V=2
mi calcolo la dim(U+V) $ (( 2 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ il rango é 3 quindi la dim é 3
tramite la ...
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