Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, amici! Se \(\{x_n\}\) è una successione in $X$, che è uno spazio $T_1$ (tale cioè che ogni punto è chiuso), e $x\in X$ è un suo punto di accumulazione, allora leggo che "ogni sottoinsieme finito di \(\{x_n\}\) è discreto" (e qui ci sono) e "quindi $x$ è punto di accumulazione di \(\{x_n:n>N\}\) per ogni $N\geq 0$"".
Non ne capisco proprio il perché... C'è qualcuno che lo capisce?
Grazie di cuore a tutti!!!
Salve ragazzi,
oggi ho intrapeso lo studio delle applicazioni lineari, non l avessi mai fatto! non ho capito molto per non dire niente. Dalla definizione di applicazione lineare si ha:
f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2); f(v) = f(v)
ciò che non riesco a capire è cosa sta a significare quella lettera 'f' ! come dovrei vederla/leggerla? Help please
Se ho ad esempio un momento polare $M = \sum_i (O-A) xx F_i$ so che siccome il raggio vettore $(O-A)$ non dipende dall'indice di sommatoria posso portare fuori la sommatoria, ma il problema è che non c'è un prodotto algebrico ma un prodotto scalare, perchè posso scriverlo $(O -A) xx \sum_i F_i$ ?
Potreste fornirmi una soluzione accompagnata da una spiegazione di questi esercizi, per cortesia?
(1)
a)Trovare i valori del parametro reale k per cui il sistema lineare dato è compatibile e in corrispondenza di tali valori determinare le soluzioni.
$ { ( x-y+z=-1 ),( x-ky+2kz=-1 ),( kx-y-2z=-3 ):} $
b)Dimostrare che per ogni A,B $ in $ M2( \( \Re \) ) si ha: det(AB)=det(BA)
(2)
Si consideri nello spazio la retta r di equazioni:
$ { ( x+y-2z-3=0 ),( x-y+2z+1=0 ):} $
a) Calcolare la distanza dell'origine O dalla retta r.
b) ...
ciao a tutti.
Ho un dubbio per quanto riguarda il calcolo di un PIANO passante per un punto A ed ortogonale a retta R.
adesso io lo svolo in questo modo:mi trovo punto improprio retta R-->impongo al generico piano di eq. $ax+by+cz+d=0$ il passaggio per A e R e trovo equazione finale.
Però ad esempio se io voglio trovare un piano passante per P=(3,0,0) ortogonale a retta con punto improprio $T_oo$=(1,2,0,0), se faccio tutto il procedimento non mi risulta come nella soluzione ...
Ho da poco iniziato a studiare il calcolo matriciale mi è sorto subito un dubbio sulle operazioni riguardanti l'algebra delle matrici specificamente sui vettori.
Se ho la seguente equazione:
\(\displaystyle A \cdot x=B\)
Con $x,B$ entrambi vettori colonna ed $A$ matrice qualsiasi, se non sbaglio per trovare il vettore colonna $x$ posso fare:
\(\displaystyle x=B \cdot A^{(-1)}\)
$A^{(-1)}$ indica la matrice inversa di $A$, questo è ...
Ciao, amici! Trovo lasciata come facile (sic!) esercizio la dimostrazione* che, date due curve affini o proiettive $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$, in ogni punto $P$ del piano la molteplicità della curva che le ha per componenti $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ è $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})=m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$.
Ora, mi è chiaro che $m_P(\mathcal{C}+\mathcal{D})\geq m_P(\mathcal{C})+m_P(\mathcal{D})$ perché per ogni retta $r$ la molteplicità di intersezione con la curva $\mathcal{C}+\mathcal{D}$ è $I(\mathcal{C}+\mathcal{D},r;P)=I(\mathcal{C},r;P)+I(\mathcal{D},r;P)$ e quindi il minimo, al variare della retta del ...
Ciao, amici! Il mio testo (E. Sernesi, Geometria II, 7.10) dice che, se $X$ è uno spazio topologico, lo spazio quoziente rispetto all'azione del gruppo $G$, cioè \(X/G\), è tale che la proiezione \(p:X\to X/G\) è aperta, "infatti la saturazione rispetto a $p$ di un sottoinsieme $A$ di $X$ è \(\bigcup_{g\in G}gA\); se $A$ è aperto, quest'insieme è aperto".
Ora, ci sono che qualsiasi unione di aperti è un aperto, ...
Salve a tutti
vorrei sottoporvi un pezzo di un esercizio su cui mi sono bloccato, però ho bisogno prima di fare la domanda di esporre un pochino la situazione.
Siano $W_k$ e $V$ due sottospazi di $mathbb{R}^3$. (Il $k$ lo scrivo solo per mantenere una continuità con ciò che scriverò dopo e nell'esercizio era solo uno dei casi discussi, perciò in ciò che scrivo ora non ha importanza!)
Sia $F_k={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|W_k\subseteqKer(f),Im(f)\subseteqV}\subseteqEnd(\mathbb{R}^3)$ un sottospazio.
Sapendo che ...
Limitiamoci a tensori cartesiani.
E' noto che scelta una base ortonormale, un tensore del second'ordine è rappresentato da una matrice i cui autovalori sono invarianti per cambio di base, cioè se scelgo un'altra base ruotata rigidamente rispetto alla prima la matrice che rappresenta lo stesso tensore rispetto alla seconda base sarà in generale diversa dalla prima, ma i suoi autovalori rimangono invariati. Ovviamente anche ogni funzione degli autovalori è invariante.
1 - ci sono altri ...
Ciao a tutti ragazzi,
mi sono bloccato su questo esercizio, potreste dirmi dov'è l'errore?
Ho la matrice
A=$( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )$
di polinomio caratteristico $p(t)=(1-t)^4$ con autovalore 1 di molteplicità geometrica 2.
Chiamiamo w1 e w2 i due autovettori relativi a 1.
Devo trovare una base di Jordan.
La forma è semplice da trovare, in quanto l'unica ambiguità sull'ordine dei blocchi viene risolta dall'indice di nilpotenza di
$(A-I)$ che è 3, quindi ci sono due blocchi di Jordan uno ...
Salve avrei un problema con lo studio di questa conica !
vorrei avere una linea guida per capire come procedere nello svogimento dell esercizio.potreste aiutarmi ?
Si consideri (per ogni d $in$ $RR$)la conica reale (in coordinate omogenee)
$dx_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+2x_2x_3+x_3^2=0$
Si classifichi la conica al variare del parametro reale d.
Buongiorno a tutti! ho un dubbio sugli spazi di Hausdorff: dato uno spazio X di Hausdorff e un suo sottospazio S chiuso, lo spazio quoziente X/S è di Hausdorff? Io direi di no in quanto se prendo due elementi x e y appartenenti a S la loro classe di equivalenza in X/S è la stessa e coincide con tutto S. Quindi non è possibile avere due aperti disgiunti U e U' t.c U contenga x, U' contenga y e la loro intersezione sia disgiunta.
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia ...
Ciao a tutti, volevo un vostro parere su questo esercizio:
Sia $h:RR^3 to RR^4$ un omomorfismo. Stabilire con opportune dimostrazioni se:
a) l'immagine di h può essere una retta che non passa per l'origine
b) l'immagine di h può essere una retta che passa per l'origine
c) l'immagine di h può essere una circonferenza di raggio r>0
d) l'immagine di h può essere contenuta in una circonferenza di raggio r>0
e) il nucleo di h può essere un piano qualsiasi.
Le mie risposte sono state:
a) No, ...
Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio, dovrei trovare una retta passante per un punto A(1,0,0), parallela ad un piano $alpha=x-2y+z=0$ ed ortogonale ad una retta $r{(x-y-z=0),(y+z=0):}$
Come potrei iniziare?
Salve a tutti, innanzi tutto complimenti per il sito, molto utile per chi cerca dei chiarimenti nelle formule matematiche.
Come da titolo ho 2 quesiti da sottoporvi in ambito tridimensionale.
Il primo è:
avendo due punti P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) dovrei trovare i punti di intersezione tra la retta passante per P1 e P2 e una circonferenza di raggio r e centro C(x3,y3,z3).
Ho provato a cercare in giro ma non riesco proprio a capire quale formula (tra parametriche o cartesiane) devo mettere a ...
Salve a tutti, vorrei cortesemente un piccolo chiarimento su un concetto basilare, che tuttavia continua a sfuggirmi nonostante la risoluzione di esercizi.
Il chiarimento in questione riguarda il legame che intercorre tra vettore nullo e sottospazio vettoriale.Ecco,più precisamente,durante la risoluzione di esercizi che riguardavano la dimostrazione di sottospazi vettoriali appartenenti ad R, ho notato che si fa riferimento all'appartenenza del vettore nullo al sottospazio. In effetti a livello ...
stavo risolvendo questo esercizio diviso in piu punti:
1) si verifichi che la collezione B degli intervalli semi-aperti a destra $[a,b)={t in RR: a<=t<b}$ è una base per una topologia $tau$ su $RR$
2) si stabilisca se tale topologia $tau$ è più fine, meno fine o incomparabile rispetto alla topologia euclidea
3) si mostri se la collezione B' data dagli intervalli $[a,b)$ con $a,b in QQ$ non è una base di $tau$. la collezione B' è una base ...
Ciao, amici! Trovo scritto sul testo che sto seguendo, Geometria II del Sernesi, che "se $X$ e $Y$ sono due spazi metrici e $f:X\to Y$ è un'applicazione tale che \(d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))\) per ogni $x,x'\in X$ allora $f$ è un'inclusione continua di $X$ e $Y$ considerati come spazi topologici metrizzabili".
(Ovviamente?) si intende che $f$ deve essere biunivoca, cosa che, però, non necessariamente ...
Eccomi qua a chiedere... quel che non ho mai osato chiedere.
Ho studiato, su Sernesi, Geometria I, un pochettino delle proprietà e degli oggetti matematici definibili in uno spazio euclideo, di uno spazio, cioè, affine reale con assegnato un prodotto scalare sullo spazio vettoriale associato: concetti derivanti dalla natura affine dello spazio euclideo e concetti specifici non validi necessariamente per spazi affini non euclidei, come quelli di ortogonalità, di angolo convesso, di distanza.
Ho ...
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