Ricoprimenti aperti e chiusi di \(\mathbf{I}^n\)

[DavideGenova1]

Ciao a tutti! Dato un ricoprimento finito dello spazio topologico \(\mathbf{I}^n\), con $n\geq 1$ e \(\mathbf{I}=[0,1]\subset\mathbb{R}\), con aperti \(A_k\) appartenenti alla topologia indotta da quella euclidea, trovo che in molte dimostrazioni si considerano ricoprimenti chiusi di \(\mathbf{I}^n\) costituiti da prodotti di intervalli chiusi di forma \([t_i,t_{i+1}]\) per opportuni \(t_i,t_{i+1}\in[0,1]\) tali che, per esempio nel caso di \(\mathbf{I}^2\) -caso che utilizzo per brevità per non dover scrivere il prodotto cartesiano di tanti intervalli chiusi-, \([t_i,t_{i+1}]×[s_j,s_{j+1}]\subset A_k\) per qualche $k$, cioè interamente contenuti in uno degli aperti del ricoprimento aperto finito.
Mi chiedevo come si dimostra la liceità di questa scelta... Nel caso di \(\mathbf{I}=[0,1]\) mi è chiaro: basta prendere i vari $t_i$ uno per ogni intersezione (non vuota perché \(\mathbf{I}^n\) è connesso) tra i finiti aperti che ricoprono \(\mathbf{I}\), ma se $n\geq 1$ che cosa legittima il fatto che si possano scegliere questi $n$-parallelepipedi rettangoli in numero finito e in modo che ognuno stia tutto in uno degli $A_k$ del ricoprimento finito aperto?
Grazie di cuore a tutti!

[j18eos]

Risposta alla domanda sulla liceità in 4 parole: sistema fondamentale di intorni!

Buon esercizio.

[DavideGenova1]

Un sistema fondamentale di intorni per ogni \(\mathbf{x}\in\mathbf{I}^n\) so che può essere costituito dagli $n$-parallelepipedi aperti \((a_1,b_1)×...×(a_n,b_n)\) dove \(a_i,b_i\in\mathbb{R},i=1,..,n\) e vedo anche che, per uno spazio connesso, se un numero finito di essi costituissero un ricoprimento, ogni $n$-parallelepipedo dovrebbe avere intersezione non vuota con quelli adiacenti, per cui un altro ricoprimento sarebbe dato da un numero finito di insiemi di tipo \([a_1',b_1']×...×[a_n',b_n']\) con \(a_i',b_i'\) nelle intersezioni di opportuni $n$-parallelepipedi.
Non so se queste considerazioni servono, ma non saprei come andare avanti nel tentare di dimostrare l'asserto...
Grazie di cuore ancora!

[j18eos]

"DavideGenova":...e vedo anche che, per uno spazio connesso...

Scrivimi che hai sbagliato il termine tecnico

[size=85]Non scrivo altro, perché se ti correggi hai finito![/size]

[DavideGenova1]

Beh, \(\mathbf{I}^n\) è compatto. Dato un ricoprimento costituito dalla famiglia di tutti gli intorni aperti \((a_1,b_1)×...×(a_n,b_n)\) tale che la chiusura di ciascuno di essi sia interamente contenuta in uno degli aperti \(A_k\) di cui sopra, ne posso scegliere una sottofamiglia finita.
Giusto?
Grazie di nuovo!!!!!

[j18eos]

Il discorso è un pò più lungo... sinteticamente: per ogni punto considero un aperto, esso contiene un pluri-rettangolo aperto, per la compattezza posso considerare solo finiti pluri-rettangoli che ricoprono \(\mathbf{I}^n\)!

[DavideGenova1]

Capito. Grazie ancora!!!

[j18eos]

Prego; un'ultima cosa: teoricamente è fattibile, ma l'implementazione pratica è un'impresa titanica, ed addirittura potrebbe richiedere tempi biblici!