Matrice, autovalori autovettori e diagonalizzabilità
Salve a tutti
vorrei chiedere un parere su un'esercizio che mi sono trovato a svolgere in preparazione dell'esame di matematica discreta 2, ho qualche dubbio sulla parte 3
data la matrice A = $ ( ( 1 , i , 0 ),( -i , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
1) si determinino autovalori e autospazi di A
2)si stabilisca se la matrice A è diagonalizzabile su C (campo dei numeri complessi)
3)si determini esplicitamente, se esiste, una matrice invertibile P tale che $ P^-1*A*P $ sia una matrice diagonale. Si scriva inoltre il risultato del prodotto $ P^-1*A*P $
per il punto 1 non c'è problema, trovo gli autovalori con la solita formula $ det(A-lambda I)=0 $ e ottengo gli autovalori $ lambda =1 , lambda=0 ,lambda=2 $ .
Cerco gli autovettori associati agli autovalori usando $ (A-lambdaI)=0 $ ottengo 3 sistemi(1 per autovettore) e li risolvo ottenendo:
usando vettori $ ( (x), (y) ,(z)) $
$ { ( iy=0 ),( x=z/i ),( z=z ):} $ per $ lambda=1 $ $ rArr $ $ ( ( z/i ),( 0 ),( z ) ) $
$ { ( x=-iy ),( y=y ),( z=0 ):} $ per $ lambda=0 $ $ rArr $ $ ( ( -iy ),( y ),( 0 ) ) $
$ { ( x=iy ),( y=y ),( z=0 ):} $ per $ lambda=2 $ $ rArr $ $ ( ( iy ),( y ),( 0 ) ) $
ora dato che A per essere diagonalizzabile deve avere per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica uguali, e che la molteplicità geometrica è compresa tra
$ 1 <= text{molteplicita geometrica = dimensione autospazio generato}<= text{molteplicita algebrica} $
posso affermare che A è diagonalizzabile.
fino a qui nessun problema.
nella terza parte ho provato a usare
$ M=P^-1AP $
dove M è la matrice diagonale avente gli autovalori sulla diagonale e P è la matrice le cui colonne sono gli autovettori trovati precedentemente.
avrei quindi:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) = P^-1 * ( ( 1 , i , 0 ),( -i , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) * P $
dubbi :=
1)posso fare come ho fatto oppure ho toppato ala grande?
2)negli autovettori devo prendere dei valori per le variabili libere e togliere le lettere o vanno lasciati così?
vorrei chiedere un parere su un'esercizio che mi sono trovato a svolgere in preparazione dell'esame di matematica discreta 2, ho qualche dubbio sulla parte 3
data la matrice A = $ ( ( 1 , i , 0 ),( -i , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
1) si determinino autovalori e autospazi di A
2)si stabilisca se la matrice A è diagonalizzabile su C (campo dei numeri complessi)
3)si determini esplicitamente, se esiste, una matrice invertibile P tale che $ P^-1*A*P $ sia una matrice diagonale. Si scriva inoltre il risultato del prodotto $ P^-1*A*P $
per il punto 1 non c'è problema, trovo gli autovalori con la solita formula $ det(A-lambda I)=0 $ e ottengo gli autovalori $ lambda =1 , lambda=0 ,lambda=2 $ .
Cerco gli autovettori associati agli autovalori usando $ (A-lambdaI)=0 $ ottengo 3 sistemi(1 per autovettore) e li risolvo ottenendo:
usando vettori $ ( (x), (y) ,(z)) $
$ { ( iy=0 ),( x=z/i ),( z=z ):} $ per $ lambda=1 $ $ rArr $ $ ( ( z/i ),( 0 ),( z ) ) $
$ { ( x=-iy ),( y=y ),( z=0 ):} $ per $ lambda=0 $ $ rArr $ $ ( ( -iy ),( y ),( 0 ) ) $
$ { ( x=iy ),( y=y ),( z=0 ):} $ per $ lambda=2 $ $ rArr $ $ ( ( iy ),( y ),( 0 ) ) $
ora dato che A per essere diagonalizzabile deve avere per ogni autovalore molteplicità algebrica e molteplicità geometrica uguali, e che la molteplicità geometrica è compresa tra
$ 1 <= text{molteplicita geometrica = dimensione autospazio generato}<= text{molteplicita algebrica} $
posso affermare che A è diagonalizzabile.
fino a qui nessun problema.
nella terza parte ho provato a usare
$ M=P^-1AP $
dove M è la matrice diagonale avente gli autovalori sulla diagonale e P è la matrice le cui colonne sono gli autovettori trovati precedentemente.
avrei quindi:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) = P^-1 * ( ( 1 , i , 0 ),( -i , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) * P $
dubbi :=
1)posso fare come ho fatto oppure ho toppato ala grande?
2)negli autovettori devo prendere dei valori per le variabili libere e togliere le lettere o vanno lasciati così?
Risposte
Fatto tutto benissimo!
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