Insieme dei numeri naturali $ZZ$ come spazio vettoriale
Ciao,
una domanda banale...consideriamo l'insieme dei numeri naturali relativi $ZZ$ e proviamo a definire per esso una struttura di spazio vettoriale sul campo $RR$.
L'operazione di somma tra due elementi di $ZZ$ e' ancora un elemento di $ZZ$; in altre parole $(ZZ,+)$ e' gruppo abeliano.
Per l'operazione di 'composizione esterna' scegliamo il risultato della funzione 'parte intera inferiore' (nel seguito indicata con $\psi$) applicata alla naturale moltiplicazione di un numero reale per un elemento di $ZZ$. Questa operazione esterna e' chiusa tuttavia non soddisfa tutti gli assiomi di spazio vettoriale.
In particolare essa non soddisfa la proprieta' distributiva rispetto alla 'somma' vettoriale. Presi cioe' $u, v \in ZZ$ e $a \in RR$ la seguente proprieta' non vale in generale:
\[ \psi(a(u + v)) = \psi(au) + \psi(av) \]
Vi torna ?
Tra l'altro non mi vengono in mente altre possibili definizioni per dotare l'insieme $ZZ$ di una struttura di spazio vettoriale.
una domanda banale...consideriamo l'insieme dei numeri naturali relativi $ZZ$ e proviamo a definire per esso una struttura di spazio vettoriale sul campo $RR$.
L'operazione di somma tra due elementi di $ZZ$ e' ancora un elemento di $ZZ$; in altre parole $(ZZ,+)$ e' gruppo abeliano.
Per l'operazione di 'composizione esterna' scegliamo il risultato della funzione 'parte intera inferiore' (nel seguito indicata con $\psi$) applicata alla naturale moltiplicazione di un numero reale per un elemento di $ZZ$. Questa operazione esterna e' chiusa tuttavia non soddisfa tutti gli assiomi di spazio vettoriale.
In particolare essa non soddisfa la proprieta' distributiva rispetto alla 'somma' vettoriale. Presi cioe' $u, v \in ZZ$ e $a \in RR$ la seguente proprieta' non vale in generale:
\[ \psi(a(u + v)) = \psi(au) + \psi(av) \]
Vi torna ?
Tra l'altro non mi vengono in mente altre possibili definizioni per dotare l'insieme $ZZ$ di una struttura di spazio vettoriale.
Risposte
Uno spazio vettoriale reale non può essere un insieme numerabile: segue dal fatto che per ogni campo $k$, fissato un vettore non nullo $v$ di uno spazio vettoriale $V$, la funzione $e_v : k \to V$ che manda $\alpha$ in $\alpha v$ è iniettiva (perché il suo nucleo è l'annullatore del modulo $V$, un ideale di $k$).
"megas_archon":
Uno spazio vettoriale reale non può essere un insieme numerabile: segue dal fatto che per ogni campo $k$, fissato un vettore non nullo $v$ di uno spazio vettoriale $V$, la funzione $e_v : k \to V$ che manda $\alpha$ in $\alpha v$ è iniettiva.
Ah ok, quindi dato che $ZZ$ e' numerabile non puo' esistere una struttura che lo renda spazio vettoriale sul campo $RR$.
E' possibile comunque dotare $ZZ$ di una struttura di spazio vettoriale su un campo $K$ numerabile (ammesso che quest' ultimo esista) ?
Grazie.
"cianfa72":Sì, prego.
[...] È possibile comunque dotare $ZZ$ di una struttura di spazio vettoriale su un campo $K$ numerabile (ammesso che quest'ultimo esista) ?
Grazie.
Considera il campo dei numeri razionali \(\displaystyle\mathbb{Q}\) e una biezione \(\displaystyle f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\) e definisci:
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\,m\oplus n=f^{-1}(f(m)+f(n)),\\
\forall r\in\mathbb{Q},\,r\odot m=f^{-1}(rf(m)).
\]
Hai così che \(\displaystyle(\mathbb{Z},\oplus;\mathbb{Q},\odot)\) è un \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale.
Attenzione: in questo caso il vettore nullo sarebbe \(\displaystyle f^{-1}(0)\) il quale non è per forza il numero (intero) \(\displaystyle0\). Ovviamente, \(\displaystyle\oplus\neq+,\odot\neq\cdot\) e tali operazioni dipendono dalla biezione \(\displaystyle f\) scelta!
"j18eos":
Considera il campo dei numeri razionali \(\displaystyle\mathbb{Q}\) e una biezione \(\displaystyle f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\) e definisci:
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\,m\oplus n=f^{-1}(f(m)+f(n)),\\
\forall r\in\mathbb{Q},\,r\odot m=f^{-1}(rf(m)).
\]
Hai così che \(\displaystyle(\mathbb{Z},\oplus;\mathbb{Q},\odot)\) è un \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale.
Ah ok, per es ho provato a verificare la proprieta' distributiva rispetto all'operazione$\oplus$:
\(\displaystyle r \odot (m \oplus n) = f^{-1} (r f(m \oplus n)) = f^{-1} (rf(f^{-1} (f(m) + f(n))) ) = f^{-1} (r(f(m) + f(n))) = f^{-1} (rf(m) + rf(n)) = f^{-1} (f(r \odot m) + f(r \odot n)) = (r \odot m) \oplus (r \odot n)\)
No, piano, attenzione. $ZZ$ non è spazio vettoriale su nessun campo [edit: se si vuole mantenere in $ZZ$ la somma usuale, vedi sotto].
Infatti supponiamo per assurdo che lo sia, sul campo $k$. Per comodità indichiamo con $e$ l'unità di $k$ (per non confonderla con $1 in ZZ$). Se $e+e ne 0$ allora possiamo moltiplicare (moltiplicazione per scalare) $(e+e)^(-1) in k$ per $1 in ZZ$ ottenendo un elemento che chiamiamo $s in ZZ$, cioè $s=(e+e)^(-1) * 1 in ZZ$. Allora applicando le proprietà base (tra cui $e*z=z$ per $z in ZZ$), abbiamo
$2 * s = s+s =1$.
Assurdo perché $s in ZZ$.
Se invece $e+e=0$ allora per il numero intero $2$ abbiamo $2=1+1=e * 1+e * 1=(e+e) * 1=0*1=0$, assurdo.
Infatti supponiamo per assurdo che lo sia, sul campo $k$. Per comodità indichiamo con $e$ l'unità di $k$ (per non confonderla con $1 in ZZ$). Se $e+e ne 0$ allora possiamo moltiplicare (moltiplicazione per scalare) $(e+e)^(-1) in k$ per $1 in ZZ$ ottenendo un elemento che chiamiamo $s in ZZ$, cioè $s=(e+e)^(-1) * 1 in ZZ$. Allora applicando le proprietà base (tra cui $e*z=z$ per $z in ZZ$), abbiamo
$2 * s = s+s =1$.
Assurdo perché $s in ZZ$.
Se invece $e+e=0$ allora per il numero intero $2$ abbiamo $2=1+1=e * 1+e * 1=(e+e) * 1=0*1=0$, assurdo.
No scusate, il mio controesempio non va bene. Intendevo che non è spazio vettoriale con la somma usuale. Certo la costruzione di Armando funziona.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo