Prodotto tensoriale di spazi vettoriali e di vettori: coerenza della definizione
Salve a tutti, l'argomento è il prodotto tensoriale ed il libro di riferimento è Geometria Differenziale di Marco Abate e Francesca Tovena, Springer, 2011.
Tutti gli spazi vettoriali che compariranno si intendono di dimensione finita e su un campo $\mathbb{K}$.
Siano $V_1 ,..., V_p$ spazi vettoriali. Per noi, il prodotto tensoriale di questi è definito come $$V_1\otimes\cdots\otimes V_p=\text{Mult}(V_1^{\star},\dots ,V_p^{\star};\mathbb{K}),$$ cioè come l'insieme delle applicazioni $p-$ lineari da $V_1^{\star}\times\cdots\timesV_p^{\star}$ in $\mathbb{K}$.
Consideriamo l'applicazione $p-$lineare $$F\colon V_1\times \cdots \times V_p \to V_1\otimes\cdots\otimes V_p$$ definita come $$F(v_1,\dots, v_p)(\varphi^1,\dots, \varphi^p)=\varphi^1(v_1)\cdots\varphi^p(v_p),$$ for all $v_1\in V_1,..., v_p\in V_p$ and $\varphi^1\in V_1^{\star}, ... , \varphi^p\in V_p^{\star}$.
Gli elementi di $V_1\otimes\cdots\otimes V_p$ sono chiamati tensori, mentre gli elementi del tipo $F(v_1, ... , v_p)$ sono chiamati tensori decomponibili.
Sia $V$ uno spazio vettoriale. Possiamo considerare i seguenti spazi vettoriali
$$T_0^0(V)=T_0(V)=T^0(V)=\mathbb{K};$$
$$T^1(V)=T_0^1(V)=V;$$
$$T_1(V)=T_1^0(V)=V^*;$$
$$T^p(V)=T_0^p(V)=V\otimes\cdots\otimes V\quad\text{(p fattori)}$$
$$T_q(V)=T_q^0(V)=V^*\otimes\cdots\otimes V^*\quad\text{(q fattori)}$$
$$T_q^p(V)=T^p(V)\otimes T_q(V)$$
$$T(V)=\bigoplus_{p,q\ge 0}T_p^q(V)$$
Se $\{v_1, ... , v_n\}$ è una base di $V$ e $\{v^1, ... v^n\}$ è la corrispondente base duale per $V^{\star}$, allora la base di $T_p^q(V)$ è
$$v_I=v_{i_1}\otimes\cdots\otimes v_{i_p}\otimes v^{i_{p+1}}\otimes\cdots\otimes v^{i_{p+q}}.$$ Al variare di $I=(i_1, ..., i_{p+q})\in \{1, ..., n\}^{p+q}$. Vogliamo ora definire un prodotto su $T(V)$.
Siccome $T_q^p(V)$ è lo spazio dell applicazioni $(p+q)-$lineari da $(V^\star)^p\times V^q$ a $\mathbb{K}$, l'azione dei tensori decomponibili è data da $$F(u_1, ... , u_p,\omega^1, ... , \omega^p)(\eta^1, ... , \eta^p, v_1, ... , v_q)=\eta^1(u_1)\cdots\eta^p(u_p)\cdot\omega^1(v_1)\cdots \omega^q(v_q),$$ dove $u_1, ..., u_p, v_1, ... , v_q\in V$ and $\omega^1, ... , \omega^q,\eta^1 ... , \eta^p\in V^{\star}$.
Definizione
Sia $\alpha\in T_{q_1}^{p_1}(V)$ and $\beta\in T_{q_2}^{p_2}(V)$, allora definiamo $\alpha\otimes \beta\in T_{q_1+q_2}^{p_1+p_2}(V)$ ponendo
$$\alpha\otimes \beta (\eta^1,\dots, \eta^{p_1+p_2}, v_1,\dots, v_{q_1+q_2})=\alpha(\eta^1,\dots \eta^{p_1},\dots, v_1,\dots, v_{q_1})\beta(\eta^{p_1+1},\dots, \eta^{p_1+p_2}, v_{q_1+1},\dots, v_{q_1+q_2})$$
per ogni $\eta^1, ... , \eta^{p_1+p_2}\in V^{\star}$ e per ogni $v_1, ... , v_{q_1+q_2}\in V$
L'ossevazione che non riesco a capire è la seguente: il prodotto tensore di elementi di $V$ o di $V^\star$ è proprio il tensore decomponibile $F(...)$. Secondo la definizione appena data come si comporta il prodotto tra due vettori?
Quello che stiamo dicendo è che se $\alpha\in V$ a $\beta in V$, allora $\alpha\otimes \beta = F(\alpha, \beta)$
Qualcuno potrebbe aiutarmi? Vi ringrazio
Tutti gli spazi vettoriali che compariranno si intendono di dimensione finita e su un campo $\mathbb{K}$.
Siano $V_1 ,..., V_p$ spazi vettoriali. Per noi, il prodotto tensoriale di questi è definito come $$V_1\otimes\cdots\otimes V_p=\text{Mult}(V_1^{\star},\dots ,V_p^{\star};\mathbb{K}),$$ cioè come l'insieme delle applicazioni $p-$ lineari da $V_1^{\star}\times\cdots\timesV_p^{\star}$ in $\mathbb{K}$.
Consideriamo l'applicazione $p-$lineare $$F\colon V_1\times \cdots \times V_p \to V_1\otimes\cdots\otimes V_p$$ definita come $$F(v_1,\dots, v_p)(\varphi^1,\dots, \varphi^p)=\varphi^1(v_1)\cdots\varphi^p(v_p),$$ for all $v_1\in V_1,..., v_p\in V_p$ and $\varphi^1\in V_1^{\star}, ... , \varphi^p\in V_p^{\star}$.
Gli elementi di $V_1\otimes\cdots\otimes V_p$ sono chiamati tensori, mentre gli elementi del tipo $F(v_1, ... , v_p)$ sono chiamati tensori decomponibili.
Sia $V$ uno spazio vettoriale. Possiamo considerare i seguenti spazi vettoriali
$$T_0^0(V)=T_0(V)=T^0(V)=\mathbb{K};$$
$$T^1(V)=T_0^1(V)=V;$$
$$T_1(V)=T_1^0(V)=V^*;$$
$$T^p(V)=T_0^p(V)=V\otimes\cdots\otimes V\quad\text{(p fattori)}$$
$$T_q(V)=T_q^0(V)=V^*\otimes\cdots\otimes V^*\quad\text{(q fattori)}$$
$$T_q^p(V)=T^p(V)\otimes T_q(V)$$
$$T(V)=\bigoplus_{p,q\ge 0}T_p^q(V)$$
Se $\{v_1, ... , v_n\}$ è una base di $V$ e $\{v^1, ... v^n\}$ è la corrispondente base duale per $V^{\star}$, allora la base di $T_p^q(V)$ è
$$v_I=v_{i_1}\otimes\cdots\otimes v_{i_p}\otimes v^{i_{p+1}}\otimes\cdots\otimes v^{i_{p+q}}.$$ Al variare di $I=(i_1, ..., i_{p+q})\in \{1, ..., n\}^{p+q}$. Vogliamo ora definire un prodotto su $T(V)$.
Siccome $T_q^p(V)$ è lo spazio dell applicazioni $(p+q)-$lineari da $(V^\star)^p\times V^q$ a $\mathbb{K}$, l'azione dei tensori decomponibili è data da $$F(u_1, ... , u_p,\omega^1, ... , \omega^p)(\eta^1, ... , \eta^p, v_1, ... , v_q)=\eta^1(u_1)\cdots\eta^p(u_p)\cdot\omega^1(v_1)\cdots \omega^q(v_q),$$ dove $u_1, ..., u_p, v_1, ... , v_q\in V$ and $\omega^1, ... , \omega^q,\eta^1 ... , \eta^p\in V^{\star}$.
Definizione
Sia $\alpha\in T_{q_1}^{p_1}(V)$ and $\beta\in T_{q_2}^{p_2}(V)$, allora definiamo $\alpha\otimes \beta\in T_{q_1+q_2}^{p_1+p_2}(V)$ ponendo
$$\alpha\otimes \beta (\eta^1,\dots, \eta^{p_1+p_2}, v_1,\dots, v_{q_1+q_2})=\alpha(\eta^1,\dots \eta^{p_1},\dots, v_1,\dots, v_{q_1})\beta(\eta^{p_1+1},\dots, \eta^{p_1+p_2}, v_{q_1+1},\dots, v_{q_1+q_2})$$
per ogni $\eta^1, ... , \eta^{p_1+p_2}\in V^{\star}$ e per ogni $v_1, ... , v_{q_1+q_2}\in V$
L'ossevazione che non riesco a capire è la seguente: il prodotto tensore di elementi di $V$ o di $V^\star$ è proprio il tensore decomponibile $F(...)$. Secondo la definizione appena data come si comporta il prodotto tra due vettori?
Quello che stiamo dicendo è che se $\alpha\in V$ a $\beta in V$, allora $\alpha\otimes \beta = F(\alpha, \beta)$
Qualcuno potrebbe aiutarmi? Vi ringrazio
Risposte
Diciamo che non ho ben capito la tua domanda. Stai chiedendo se ogni tensore è un tensore elementare? Questo è falso, in generale. Quello che si dimostra è che i tensori elementari generano il prodotto tensoriale.
Fissiamo un campo \( k \). Intanto, prima di incasinarsi: un prodotto tensoriale tra due \( k \)-spazi vettoriali \( V \) e \( W \) è uno spazio vettoriale \( T \) equipaggiato con un'applicazione bilineare \( {\otimes}\colon V\times W\to T \) tale che per ogni \( k \)-spazio vettoriale \( U \) e per ogni applicazione bilineare \( B\colon V\times W\to U \) esista un'unica applicazione lineare \( L\colon T\to U \) tale che il diagramma
\[
\begin{CD}
V\times W @>{\otimes}>> T\\
@| @V{L}VV\\
V\times W @>{B}>> U
\end{CD}
\] commuti, nel senso che per ogni \( v\in V \) e \( w\in W \) sia \( L(v\otimes w) = B(v,w) \).
Ti lascio verificare che, se \( T \), \( {\otimes\colon V\times W} \) e \( T^\prime \), \( {\otimes^\prime}\colon V\times W\to T^\prime \) sono due prodotti tensoriali di \( V \) e \( W \), allora sono isomorfi "in un unico modo sensato". Ti lascio anche da generalizzare la precedente definizione al caso di una famiglia finita di \( k \)-spazi vettoriali.
Si può dimostrare (con solo questa definizione per le mani; provaci!) che un ("il", a meno di iso) prodotto \( V\otimes W \) è generato da tutti i "tensori elementari" \( v\otimes w \) al variare di \( v\in V \) e \( w\in W \).
Per gli spazi vettoriali, un modo per costruire il prodotto tensoriale è quello che hai scritto tu: considera gli spazi vettoriali \( V_1,\dots,V_n \) su \( k \), poni \( T := \mathrm{Mult}(V_1^*\times\cdots\times V_n^*,k) \) e poni \( \otimes\colon V_1\times\cdots\times V_n\to T \) come lì.
La costruzione di \( T(V) \) è una cosa leggermente diversa (è un'algebra graduata): c'è un prodotto tra i suoi elementi, che denoti ancora con il simbolo \( \otimes \), ma non è l'\( \otimes \) dei vari \( T_p^q(V) \). Il punto è che valgono delle proprietà naturali di associatività che permettono, appunto, di identificare i vari \( \otimes \).
[*] Occhio che io fin'ora ho solo detto cos'è un prodotto tensoriale, non che ne esiste uno.
Fissiamo un campo \( k \). Intanto, prima di incasinarsi: un prodotto tensoriale tra due \( k \)-spazi vettoriali \( V \) e \( W \) è uno spazio vettoriale \( T \) equipaggiato con un'applicazione bilineare \( {\otimes}\colon V\times W\to T \) tale che per ogni \( k \)-spazio vettoriale \( U \) e per ogni applicazione bilineare \( B\colon V\times W\to U \) esista un'unica applicazione lineare \( L\colon T\to U \) tale che il diagramma
\[
\begin{CD}
V\times W @>{\otimes}>> T\\
@| @V{L}VV\\
V\times W @>{B}>> U
\end{CD}
\] commuti, nel senso che per ogni \( v\in V \) e \( w\in W \) sia \( L(v\otimes w) = B(v,w) \).
Ti lascio verificare che, se \( T \), \( {\otimes\colon V\times W} \) e \( T^\prime \), \( {\otimes^\prime}\colon V\times W\to T^\prime \) sono due prodotti tensoriali di \( V \) e \( W \), allora sono isomorfi "in un unico modo sensato". Ti lascio anche da generalizzare la precedente definizione al caso di una famiglia finita di \( k \)-spazi vettoriali.
Si può dimostrare (con solo questa definizione per le mani; provaci!) che un ("il", a meno di iso) prodotto \( V\otimes W \) è generato da tutti i "tensori elementari" \( v\otimes w \) al variare di \( v\in V \) e \( w\in W \).
Per gli spazi vettoriali, un modo per costruire
La costruzione di \( T(V) \) è una cosa leggermente diversa (è un'algebra graduata): c'è un prodotto tra i suoi elementi, che denoti ancora con il simbolo \( \otimes \), ma non è l'\( \otimes \) dei vari \( T_p^q(V) \). Il punto è che valgono delle proprietà naturali di associatività che permettono, appunto, di identificare i vari \( \otimes \).
[*] Occhio che io fin'ora ho solo detto cos'è un prodotto tensoriale, non che ne esiste uno.
Grazie della risposta. Io appunto volevo dimostrare che il prodotto tensore di due elementi dell'algebra tensoriale è esattamente il tensore decomponibile denotato con lo stesso simbolo, cioè quel prodotto tensore è esattamente la F, ma non so... Non capisco se c'è un abuso di notazione, non so.
Cioè, vorrei mostrare il fatto che quando sono in $T(V)$ e prendo due vettori $\alpha$ e $\beta$, allora per definizione $\alpha\otimes\beta\in T^2(V):=V\otimes V$ è esattamente l'applicazione $F$ che è accoppiata al prodotto tensore quando $V\otimes V:=\text{Mult}(V_1^{\star}, V_1^{\star}; \mathbb{K})$. Spero di essermi spiegato. Grazie tante
Che cosa vuol dire precisamente che il prodotto tensoriale di elementi di $V$ è esattamente il tensore decomponibile denotato con lo stesso simbolo?
C'è una proprietà universale che definisce \(V\otimes W\); come ti è stato già giustamente detto, questa proprietà definisce un oggetto, devi poi dimostrare che esso esiste costruendolo.
Ovviamente, non starebbero tutti a parlare di tensori se questa costruzione non esistesse: \(V\otimes W\) si può costruire in due modi
1. Come il duale dello spazio delle applicazioni bilineari \(V\times W \to k\);
2. Come il quoziente dello spazio vettoriale generato da tutti gli elementi di \(V\times W\), modulo le relazioni di equivalenza che rendono il costruttore di formazione della coppia bilineare nelle sue componenti:
\[\begin{cases}(v+v',w)=(v,w) + (v', w) \\
(v, w+w') = (v,w) + (v,w')\\
(av,w)=(v,aw)=a(v,w)\end{cases}\tag{BL}\] Se indichi una generica coppia, elemento di \(V\otimes W\), come \(v\otimes w\), ecco che il generico elemento di \(V\otimes W\) è una somma formale (finita, ovviamente), con coefficienti in $k$, di queste coppie: \(V\otimes W = \{\sum_{i\in I}v_i\otimes w_i \mid v_i\in V, w_i\in W\}\). Altrettanto ovviamente, potresti aver contato un sacco di volte lo stesso elemento, perché in generale (cioè quando fai questa costruzione per moduli su un anello) è pieno di somme di questo tipo che in realtà sono solo modi molto complicati di scrivere il vettore nullo.
Detto questo: "cos'è" la coppia \((v,w)\)? Molto semplicemente, nella prima costruzione, è la funzione bilineare \(\Theta : \text{Bil}(V,W;k)\to k\) che mangia \(\alpha : V\times W \to k\) e sputa \(\alpha(v,w)\in k\).
E in termini della seconda costruzione, è l'immagine in \(V\otimes W\) dei suoi generatori, che sono esattamente l'insieme sottostante allo spazio \(V\times W\): è un fatto generale che, quando \(X\) sia un insieme, esista sempre una funzione da $X$ allo spazio vettoriale \(k^{(X)}\) che ha gli elementi di $X$ come base \(\{e_x\mid x\in X\}\), e che è esattamente la funzione che manda \(x\in X\) in \(e_x\in k^{(X)}\). Nel tuo caso questa funzione manda \((v,w)\in V\times W\) nel tensore "semplice" che è... precisamente \(v\otimes w\). Questa mappa semi-tautologica, \(\tau : V\times W \to V\otimes W\) che manda \((v,w)\) in \(v\otimes w\), e che è bilineare, si chiama la mappa bilineare universale associata a \(V\otimes W\), perché quando la estendi per linearità a una mappa di spazi vettoriali \(\bar\tau : k^{V\times W} \to V\otimes W\) (usando la proprietà universale di un $k$-modulo libero) ti viene esattamente la proiezione al quoziente \(\pi : k^{V\times W} \to V\otimes W\), che uccide il sottospazio \((\text{BL})\) con cui hai definito \(V\otimes W\). Quindi, quando prendi l'unica mappa \(\tilde{\bar\tau} : V\otimes W \to V\otimes W\) associata a \(\tau\) (primo teorema di isomorfismo, o proprietà universale del nucleo) ti viene... l'identità di \(V\otimes W\).
In termini di entrambe le costruzioni, è un fatto istruttivo dimostrare con un argomento formale che se ti vengono date delle basi \(\mathcal V = \{v_1,\dots,v_n\}\) e \(\mathcal W = \{w_1,\dots, w_m\}\) per \(V,W\) rispettivamente, allora ogni elemento di \(V\otimes W\) si scrive in un unico modo come una sommatoria \(\sum_{ij} a_{ij}v_i\otimes w_j\) al variare di \(1\le i\le n, 1\le j\le m, a_{ij}\in k\).
Un'altra cosa abbastanza istruttiva da fare è derivare la presenza della mappa bilineare universale \(\tau\) a partire dalla sola proprietà universale: a definire univocamente il prodotto tensore \(V\otimes W\) è il fatto che
\[\text{Bil}_k(V\times W, U)\cong \hom_k(V\otimes W, U)\] naturalmente in \(U,V,W\). Ora, una volta che sai come costruirlo puoi scegliere \(U=V\otimes W\), e quindi lo spazio vettoriale a destra di quell'isomorfismo ha almeno dimensione 1, perché contiene almen un vettore non nullo, l'identità di \(V\otimes W\); del resto, la parte \(\leftarrow\) dell'isomorfismo in questione deve mappare \(1_{V\otimes W}\) in un altro vettore non nullo, un elemento di \(\text{Bil}_k(V\times W, V\otimes W)\), cioè una mappa bilineare \(\tau : V\times W\to V\otimes W\), con la proprietà che...
Questo genere di costruzioni sono ubiquitarie, e si basano sulla possibilità di esibire un cosiddetto "elemento universale" per definire la soluzione a un certo problema universale, ossia al problema di trovare un certo oggetto che soddisfa a una proprietà universale. E' bene familiarizzare con la natura di questi argomenti in un caso semplice e concreto come quello del prodotto tensoriale di due spazi vettoriali.
Ovviamente, non starebbero tutti a parlare di tensori se questa costruzione non esistesse: \(V\otimes W\) si può costruire in due modi
1. Come il duale dello spazio delle applicazioni bilineari \(V\times W \to k\);
2. Come il quoziente dello spazio vettoriale generato da tutti gli elementi di \(V\times W\), modulo le relazioni di equivalenza che rendono il costruttore di formazione della coppia bilineare nelle sue componenti:
\[\begin{cases}(v+v',w)=(v,w) + (v', w) \\
(v, w+w') = (v,w) + (v,w')\\
(av,w)=(v,aw)=a(v,w)\end{cases}\tag{BL}\] Se indichi una generica coppia, elemento di \(V\otimes W\), come \(v\otimes w\), ecco che il generico elemento di \(V\otimes W\) è una somma formale (finita, ovviamente), con coefficienti in $k$, di queste coppie: \(V\otimes W = \{\sum_{i\in I}v_i\otimes w_i \mid v_i\in V, w_i\in W\}\). Altrettanto ovviamente, potresti aver contato un sacco di volte lo stesso elemento, perché in generale (cioè quando fai questa costruzione per moduli su un anello) è pieno di somme di questo tipo che in realtà sono solo modi molto complicati di scrivere il vettore nullo.
Detto questo: "cos'è" la coppia \((v,w)\)? Molto semplicemente, nella prima costruzione, è la funzione bilineare \(\Theta : \text{Bil}(V,W;k)\to k\) che mangia \(\alpha : V\times W \to k\) e sputa \(\alpha(v,w)\in k\).
E in termini della seconda costruzione, è l'immagine in \(V\otimes W\) dei suoi generatori, che sono esattamente l'insieme sottostante allo spazio \(V\times W\): è un fatto generale che, quando \(X\) sia un insieme, esista sempre una funzione da $X$ allo spazio vettoriale \(k^{(X)}\) che ha gli elementi di $X$ come base \(\{e_x\mid x\in X\}\), e che è esattamente la funzione che manda \(x\in X\) in \(e_x\in k^{(X)}\). Nel tuo caso questa funzione manda \((v,w)\in V\times W\) nel tensore "semplice" che è... precisamente \(v\otimes w\). Questa mappa semi-tautologica, \(\tau : V\times W \to V\otimes W\) che manda \((v,w)\) in \(v\otimes w\), e che è bilineare, si chiama la mappa bilineare universale associata a \(V\otimes W\), perché quando la estendi per linearità a una mappa di spazi vettoriali \(\bar\tau : k^{V\times W} \to V\otimes W\) (usando la proprietà universale di un $k$-modulo libero) ti viene esattamente la proiezione al quoziente \(\pi : k^{V\times W} \to V\otimes W\), che uccide il sottospazio \((\text{BL})\) con cui hai definito \(V\otimes W\). Quindi, quando prendi l'unica mappa \(\tilde{\bar\tau} : V\otimes W \to V\otimes W\) associata a \(\tau\) (primo teorema di isomorfismo, o proprietà universale del nucleo) ti viene... l'identità di \(V\otimes W\).
In termini di entrambe le costruzioni, è un fatto istruttivo dimostrare con un argomento formale che se ti vengono date delle basi \(\mathcal V = \{v_1,\dots,v_n\}\) e \(\mathcal W = \{w_1,\dots, w_m\}\) per \(V,W\) rispettivamente, allora ogni elemento di \(V\otimes W\) si scrive in un unico modo come una sommatoria \(\sum_{ij} a_{ij}v_i\otimes w_j\) al variare di \(1\le i\le n, 1\le j\le m, a_{ij}\in k\).
Un'altra cosa abbastanza istruttiva da fare è derivare la presenza della mappa bilineare universale \(\tau\) a partire dalla sola proprietà universale: a definire univocamente il prodotto tensore \(V\otimes W\) è il fatto che
\[\text{Bil}_k(V\times W, U)\cong \hom_k(V\otimes W, U)\] naturalmente in \(U,V,W\). Ora, una volta che sai come costruirlo puoi scegliere \(U=V\otimes W\), e quindi lo spazio vettoriale a destra di quell'isomorfismo ha almeno dimensione 1, perché contiene almen un vettore non nullo, l'identità di \(V\otimes W\); del resto, la parte \(\leftarrow\) dell'isomorfismo in questione deve mappare \(1_{V\otimes W}\) in un altro vettore non nullo, un elemento di \(\text{Bil}_k(V\times W, V\otimes W)\), cioè una mappa bilineare \(\tau : V\times W\to V\otimes W\), con la proprietà che...
Questo genere di costruzioni sono ubiquitarie, e si basano sulla possibilità di esibire un cosiddetto "elemento universale" per definire la soluzione a un certo problema universale, ossia al problema di trovare un certo oggetto che soddisfa a una proprietà universale. E' bene familiarizzare con la natura di questi argomenti in un caso semplice e concreto come quello del prodotto tensoriale di due spazi vettoriali.
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