Base ortonormale

[RaccoonDad]

Buongiorno, riporto una traccia di un esercizio d'esame.
Al variare del paramentro h determinare una base ortonormale dello spazio
Wh = (h;-h; 0; 1) ; (0; h; 0; h)

Solitamente uso il procedimento di Gram Schmidt. Inizio col verificare che i vettori siano indipendenti(giusto?), quindi per h diverso da 0, altrimenti il secondo è il vettore nullo.
Scelgo il primo vettore come primo vettore della base ortogonale e poi trovo il secondo. Serve che il denominatore degli scalari che trovo siano sempre diversi da 0?

vi ringrazio anticipatamente

[Bokonon]

Hai già la strategia corretta, basta applicarla.
Ma prima di iniziare, diamo un nome ai vettori $u=(h,-h,0,1)$ e $w=(0,h,0,h)=h(0,1,0,1)$
Notiamo che per $h=0$ allora $w$ è il vettore nullo, pertanto poniamo $h!=0$
Notiamo anche che il vettore $w$ normalizzato, ovvero il versore $w_N=1/sqrt(2)(0,1,0,1)$ non dipende da h.
Notiamo che non esiste una combinazione lineare tale che $alphaw_N=u$ perchè l'unico modo per avere la prima componente nulla sarebbe per $h=0$. Quindi i vettori sono lin. indip.
Infine, notiamo anche che qualsiasi vettore della forma $z_1=(k,-1,0,1)$ oppure $z_2=t(+-1,0,0,0)$ è perpendicolare a $w_N$.
Insomma, abbiamo già un'idea chiara della forma assunta dalle soluzioni. Una è immediata per $h=1$ e ci da una forma del tipo $z_1$, pertanto dobbiamo attenderci che il vettore $z_2$ normalizzato sia $(-1,0,0,0)$

Ora applica G-S, proiettando $u$ su $w_N$: quindi trova il vettore $z=u-(u*w_N)w_N$
Alla fine ti verrà fuori appunto $z=(2h,-(h+1),0,h+1)$ (e uno può fermarsi qua)
Per $h=-1$ abbiamo la forma $z_N=(-1,0,0,0)$
Per $h!=-1$ abbiamo la forma $z_N=1/sqrt(k^2+2)(k,-1,0,1)$ dove $k=(2h)/(h+1)$
Abbiamo quindi identificato le due forme $z_1$ e $z_2$ in funzione di $h$