Cambio di sistema di riferimento
Ciao a tutti sto avendo un problema con un esercizio di geometria spero qualcuno possa aiutarmi.
In $R^3$ date le rette $r:(4,2,2)+<(3,2,1)>$ e $s:(0,6,0)+<(1,1,-1)>$ (sghembe) si chiede di trovare un cambio di riferimento $A(x,y,z)+b$ che conservi i volumi e tale che nel nuovo sistema la retta r sia l'asse z', la retta s abbia equazioni $z'=0, x'=1$.
L'idea che avevo era di mandare tramite A r sull'asse z, s sull'asse y e porre $b=(1,0,0)$. Per la conservazione dei volumi volevo imporre che il determinante della nuova base fosse 1 (o forse analogamente che il loro prodotto misto fosse 1). Non sono riuscito però a trascrivere questi pensieri.
Grazie
In $R^3$ date le rette $r:(4,2,2)+<(3,2,1)>$ e $s:(0,6,0)+<(1,1,-1)>$ (sghembe) si chiede di trovare un cambio di riferimento $A(x,y,z)+b$ che conservi i volumi e tale che nel nuovo sistema la retta r sia l'asse z', la retta s abbia equazioni $z'=0, x'=1$.
L'idea che avevo era di mandare tramite A r sull'asse z, s sull'asse y e porre $b=(1,0,0)$. Per la conservazione dei volumi volevo imporre che il determinante della nuova base fosse 1 (o forse analogamente che il loro prodotto misto fosse 1). Non sono riuscito però a trascrivere questi pensieri.
Grazie
Risposte
Affinchè i rapporti originali (volumi) vengano conservati, la trasformazione deve comporsi di una rotazione + una traslazione. Chiaro il perchè?
Per prima cosa, occorre trovare la nuova base di versori....e questo è facile dato che conosciamo le direzioni rispetto alla base canonica del nuovo asse Z e pure del nuovo asse Y (perchè alla fine $s$ dovrà essere parallela ad esso e passante per il punto (1,0,0) rispetto alla nuova base).
Quindi iniziamo da qua: trova la matrice di rotazione, ovvero la nuova base (o meglio una delle 8 possibili nuove basi dato che potrai scegliere fra diversi versi).
P.S. Sicuro che la direzione di $s$ non sia (1, -1, -1)?
Se non è così allora non esiste una rotazione del genere e il nuovo sistema di riferimento (che soddisfa le richieste) non è ortogonale.
Ergo i volumi cambiano
Per prima cosa, occorre trovare la nuova base di versori....e questo è facile dato che conosciamo le direzioni rispetto alla base canonica del nuovo asse Z e pure del nuovo asse Y (perchè alla fine $s$ dovrà essere parallela ad esso e passante per il punto (1,0,0) rispetto alla nuova base).
Quindi iniziamo da qua: trova la matrice di rotazione, ovvero la nuova base (o meglio una delle 8 possibili nuove basi dato che potrai scegliere fra diversi versi).
P.S. Sicuro che la direzione di $s$ non sia (1, -1, -1)?
Se non è così allora non esiste una rotazione del genere e il nuovo sistema di riferimento (che soddisfa le richieste) non è ortogonale.
Ergo i volumi cambiano
@Galager ...più semplicemente: tale trasformazione deve preservare anche le lunghezze dei segmenti oppure no? 
sì non deve essere ortogonale, c'è un suggerimento che specifica proprio questo. Posto il testo per scrupolo di aver sbagliato qualche conto
Probabilmente la risposta non è corretta però la mia idea era di impostarla così:
considero la base $(3,2,1),(1,1,-1),(0,0,1)$ formata dalle direzioni di r ed s e completata. Considero la matrice B=\begin{smallmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{smallmatrix} che scambia i vettori della base, e la matrice di cambio di base E= \begin{smallmatrix}3 & 2 & 1\\1 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{smallmatrix}.
Allora pensavo di prendere $A=E^-1*B*E$ che ha det=-1 e $b=(1,0,0)$
Probabilmente la risposta non è corretta però la mia idea era di impostarla così:
considero la base $(3,2,1),(1,1,-1),(0,0,1)$ formata dalle direzioni di r ed s e completata. Considero la matrice B=\begin{smallmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{smallmatrix} che scambia i vettori della base, e la matrice di cambio di base E= \begin{smallmatrix}3 & 2 & 1\\1 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{smallmatrix}.
Allora pensavo di prendere $A=E^-1*B*E$ che ha det=-1 e $b=(1,0,0)$
Attenzione: il nuovo riferimento può non essere ortogonale... ma potrebbe anche esserlo! 
Per "rispettare i volumi" s'intende che il determinante della matrice di cambio riferimento sia \(\pm1\)?
Per "rispettare i volumi" s'intende che il determinante della matrice di cambio riferimento sia \(\pm1\)?
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