Determinante della trasposta.
Buonasera.
Determinante della trasposta. Quello che riporto è la dimostrazione presente sul pdf del prof Marco Manetti.
Per ogni matrice $A in M_n(K)$ vale $det(A^T)=det(A).$
Dimostrazione. Siccome $det(I_n^T) = 1$ basta dimostrare che l'applicazione
$d: M_n(K) to K, d(A) = det(A^T)$ e multilineare alternante sulle colonne.
Indicati con $a_(ij)$ i coefficienti di $A$, fissato un indice $i$, per lo sviluppo di Laplace rispetto
alla riga $i$ si ha:
$d(A) = det(A^T)=Sigma_(j=1)^na_(ji)(-1)^(i+j)det(A_(ij)^T)$
e da tale formula segue immediatamente che $d(A)$ e lineare rispetto alla colonna $i$.Se
$A$ ha le colonne $i$ , $i+1$ uguali allora ogni vettore colonna di $A^T$ è contenuto nel sottospazio
vettoriale di equazione $x_i-x_(i+1) = 0$; dunque le colonne di $A^T$ sono linearmente dipendenti e
quindi $det(A^T) =0$.
Il punto che non mi risulta è quando bisogna provare la dipendenza lineare, non capisco chi siano le equazioni.
Sia $A in M_3(RR)$ con $ A=( ( 1 , 2 , 2 ),( 3 , 4 , 4 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e quindi la sua trasposta è $ A^T( ( 1 , 3 , 0 ),( 2 , 4 , 1 ),( 2 , 4 , 1 ) ) $ ora come devo procedere? Una volta individuate le equazioni devo verificare che per $j=1,2,3$ la colonna $A_j^T in Span(x_i-x_(i+1))$?
Determinante della trasposta. Quello che riporto è la dimostrazione presente sul pdf del prof Marco Manetti.
Per ogni matrice $A in M_n(K)$ vale $det(A^T)=det(A).$
Dimostrazione. Siccome $det(I_n^T) = 1$ basta dimostrare che l'applicazione
$d: M_n(K) to K, d(A) = det(A^T)$ e multilineare alternante sulle colonne.
Indicati con $a_(ij)$ i coefficienti di $A$, fissato un indice $i$, per lo sviluppo di Laplace rispetto
alla riga $i$ si ha:
$d(A) = det(A^T)=Sigma_(j=1)^na_(ji)(-1)^(i+j)det(A_(ij)^T)$
e da tale formula segue immediatamente che $d(A)$ e lineare rispetto alla colonna $i$.Se
$A$ ha le colonne $i$ , $i+1$ uguali allora ogni vettore colonna di $A^T$ è contenuto nel sottospazio
vettoriale di equazione $x_i-x_(i+1) = 0$; dunque le colonne di $A^T$ sono linearmente dipendenti e
quindi $det(A^T) =0$.
Il punto che non mi risulta è quando bisogna provare la dipendenza lineare, non capisco chi siano le equazioni.
Sia $A in M_3(RR)$ con $ A=( ( 1 , 2 , 2 ),( 3 , 4 , 4 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e quindi la sua trasposta è $ A^T( ( 1 , 3 , 0 ),( 2 , 4 , 1 ),( 2 , 4 , 1 ) ) $ ora come devo procedere? Una volta individuate le equazioni devo verificare che per $j=1,2,3$ la colonna $A_j^T in Span(x_i-x_(i+1))$?
Risposte
"Yuyu_13":Sicura\o che non stia scritto \(\det(Id_n^{nT})=1\)?
[...]Siccome $det(A^T) = 1$[...]
Si, grazie che me l'hai fatto notare, l'ho cambiato. Comunque, sicuro 
Infine, ho provato ad interpretare le equazioni $x_i -x_(i+1)$ come colonne sia della matrice $A$ che della sua trasposta $A^T$. Quindi nel primo caso una tale combinazione $x_i-x_(i+1)$ mi restituisce la colonna nulla e quindi penso che questa sia da scartare, invece, se interpreto $x_i-x_(i+1)$ come $(3,4,4)^T-(0,1,1)^T=(3,3,3)^T$ e quindi questa non è combinazione lineare di nessuna colonna della matrice trasposta $A^T$. Quindi non ho fatto nulla se non perdere tempo 
Cosa si intende con \(x_i\)?
Questo è il mio problema. Penso che l'autore si riferisca al sottospazio generato dalle colonne $A^i, A^(i+1)$ di $A$ però questo non porta a nulla da come io ho fatto i conti.
Da quel che capisco: se \(A\) ha due colonne eguali, allora \(A^T\) due righe eguali; di conseguenza il rango (per righe) di \(A^T\) non è massimale e il determinante si annulla.
Così va bene?
Così va bene?
Questo l'ho notato anch'io e cosa c'entrano le equazioni? Bastava precisare quanto detto da te e aggiungere che il $det A=0$ quando $A$ ha due righe uguali.
A volte gli scritti del prof. Manetti davvero non li capisco... prova a chiedere anche a lui: può darsi che ti risponde. 
"j18eos":allora non sono l'unico...questo mi consola
A volte gli scritti del prof. Manetti davvero non li capisco..
.Infatti proverò..speriamo che risponde
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