Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Se ho l'applicazione $ f $ da $R^3$ a $R^2$ : $ f(x,y,z)= (2x+y,y-z) $,
scelgo le basi canoniche , e la applico al vettore $ f(1,2,3)$ ottengo il vettore (4,-1).
Domanda: il vettore argomento dell'applicazione si intende per forza scritto rispetto alla base canonica del dominio ?
Infatti se cambiassi base nel dominio $ R^3 : (1,-2,-2) ,(0,1,1), (0,0,1) $ e nel codominio $ R^2 : (1,1),(1,-1 ). $
e scrivessi il vettore (1,2,3) come combinazione lineare dei vettori della ...
Buongiorno.
Ho il seguente esercizio riguardante le forme bilineari.
Sia $f:RR^4timesRR^4 to RR$ di matrice $A:= | ( 3 , -2 , 1 , 1 ),( -2 , 1 , -1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 , 4 ),( 1 , -1 , 4 , 2 ) | $ rispetto alla base canonica.
Mi chiede di
1) $f$ è non degenere ? segnatura di $f$ e di determinare una base ortogonale.
2) Scrivere forma quadratica di $f$.
Per verificare se $f$ è non degenere, ho ridotto a scala la matrice $A$ e mi sono calcolato il rango della matrice ridotta a scala, dove con ...
Allora continuo ad avere dubbi su questi esercizi sul cambiamento di base(in questo caso però si tratta di lavorare nello spazio dei polinomi).
Allora il primo l'ho svolto tuttavia mi sembra che la mia soluzione sia troppo banale e probabilmente mi è sfuggito qualcosa(in particolare nel momento in cui ):
Si consideri l'applicazione lineare $T:R_2[t] rarr R^3$ data da
$T(p)=|(p'(0)),(p(1)-p(2)), ( p(4)-p(6) )|$
Si scriva la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica di $R_2[t]$ e alla base ...
se ho una matrice $((\alpha,\alpha,\alpha),(\alpha,\alpha,\alpha),(\alpha,\alpha,\alpha))$ dove $\alpha in RR$ come calcolo gli autovalori, qual è il criterio per arrivarci velocemente ?
Ciao a tutti, a breve avrò l'esame di algebra lineare e volevo sapere se fosse possibile avere un riscontro in questo esercizio.
Sia W il sottospazio di R^5 generato dai vettori
(1,0,1,2,−1); (0,1,0,1,0); (1,2,3,1,1)
si descriva W in forma parametrica e in forma cartesiana.
Innanzitutto ho creato un sistema A 5x3 completa (a ogni riga ho messo a,b,c,d,e) e l'ho ridotto a scalini, trovando rk=3. Quindi ho imposto che le ultime due righe fossero uguali a zero.
Ma mi trovo in difficoltà con la ...
Ragazzi avrei bisogno di un aiuto su questo esercizio. Il testo è il seguente
Data $f: V->V$ applicazione lineare quale delle seguenti affermazioni è corretta ( se c'è):
1) la dimensione di $f(W)$ non varia al variare di $W$ sottospazio vettoriale di dimensione 2 se e solo se $f$ è l'applicaizone nulla o l'identità
2)se $dim f(W)<2$ per ogni $W$ sottospazio vettoriale di dimensione 2 allora $f$ è nulla.
3) se esiste ...
Ciao a tutti, sto sbattendo la testa su questo problema da un po', qualcuno potrebbe aiutarmi?
Siano $g$ e $f$ due endomorfismi di uno stesso spazio vettoriale finito dimensionale $V$, allora vale che:
$g@f=f@g hArr Im(f)=Im(g) ^^ Ker(f)=Ker(g)$
Oppure vale che
$g@f=f@g hArr Im(f)=Ker(g) ^^ Ker(f)=Im(g)$
Oppure non è vera nessuna delle due.
Scusate ho un problema con questo esercizio(con soluzione data):
Devo dimostrare che $<,>:M_(m,n)(R) "x" M_(m,n)(R) rarr R$ t.c $<A,B> =tr(B^TA)$ è un prodotto scalare def.positivo.
Io, prima di tutto, ho dimostrato la linearità sul primo argomento (additività e omogeneità, ovvero $<A_1+A_2,B>$ e poi $<\lambdaA,B>$) e fin qui tutto ok. Stavo per fare la stessa cosa per il secondo argomento (pur sapendo che avrebbe funzionato) però poi ho notato che il libro, per dimostrare la bilinearità, usa una semplice ...
Salve a tutti avrei dei dubbi su questo esercizio:
Data la matrice
A= $((1,1),(1,0))$
considera l'applicazione $T:M_(2,2)(R) rarr M_(2,2)(R)$ data da $T(X)=AX-XA$. Dimostrare che l'applicazione è lineare e calcolare $ker$ e $Im$ di $T$ e dimostra che $M_(2,2)(R)=KerT \oplus ImT$.
Allora la prima parte l'ho fatta così:
$T(X_1+X_2)=A(X_1+X_2)-(X_1+X_2)A=(AX_1-X_1A)+(AX_2-X_2A)=T(X_1)+T(X_2)$ per l'additività
$T(\lambdaX)=A(\lambdaX)-(\lambdaX)A=\lambda(AX_XA)=\lambdaT(X)$ per l'omogeneità
I miei problemi iniziano qui: premetto che io il capitolo sulle matrici del ...
Buongiorno a tutti! Alle porte dell'esame di Geometria Proiettiva sono stato assalito da un enorme dubbio circa la buona definizione dell'estensione proiettiva di uno spazio affine. Se diciamo \(\mathcal{A}_n\) uno spazio affine associato ad un $\mathbb{K}-$spazio vettoriale $V$ di dimensione \(n\in\mathbb{N}^*\), abbiamo definito la sua estensione proiettiva \(\mathcal{S}_n\) come l'unione disgiunta di \(\mathcal{A}\) stesso e il proiettivizzato \(\mathbb{P}(V)\) di ...
Ho un dubbio su questo esercizio:
Sia $L_s:R^3 rarr R^3$ l'endomorfismo definito da
$S:=((2,2,1),(2,-1,-2),(1,-2,2))$
Dire se esso ha una base o. n. di autovettori e se sì determinarla.
Io ho fatto così: siccome all'endomorfismo è associata una matrice simmetrica allora anche l'endomorfismo sarà simmetrico e per il thm. spettrale esiste una base ortonormale in cui $S$ ha associata una matrice diagonale. Mi son trovato gli autovalori e i relativi autospazi ottenendo la base di autovettori di ...
Buonasera. Sto provando a svolgere il seguente esercizio.
Esercizio:
Sia $f:V to W$ applicazione lineare e siano $A,B subseteq V$ sottospazi vettoriali tali che
$AcapB={0_V}$ e $(A+B)capKerf={0_V}.$
Dimostrare $f(A)capf(B)={0_W}$
Risoluzione:
Ho pensato che la soluzione sia di verificare che l'applicazione $f$ sia iniettiva per poi osservare ${0_W}=^1f(0_V)=^2f(AcapB)=^3f(A)capf(B)$ 1=linearità, 2=ipotesi, 3=iniettività (se c'è )
In tal caso per dimostrare che $f$ risulti ...
$((1+i,-1/2,0,0),(0,1-i,1/2,0),(0,0,-i-1,1/2),(-1/2,0,0,-1+i))$
Si chiede se la matrice ha autovalori reali, esiste un modo per capirlo subito senza fare i calcoli ?
La soluzione dice:
All’unione dei cerchi di Gershgorin non appartengono valori reali per cui la matrice data ha solo autovalori complessi
Non capisco, se prendo la 1a riga il cerchio di G. ha centro nell'elemento $a_(11)$ cioè coordinate $(1,1)$ e raggio $1/2$ e si trova nel 1o quadrante ... ma come si capisce che ha autovalori solo complessi?
Buongiorno a tutti,
è da un paio d'ore che sono bloccato su un esercizio di algebra sulla diagonalizzabilità di una matrice, quando bisogna calcolare il polinomio caratteristico il libro svolge dei passaggi che non riesco bene a capire, soprattutto la cosa che non mi è chiara sono le operazioni svolte alla prima colonna della matrice.
Lascio qui sotto lo screen del libro.
Salve,
Ho un esercizio da tema d'esame che mi fa spuntare dubbi sulla risoluzione, soprattutto perchè il prof non ne ha risolti di così a lezione. Il mio dubbio è più che altro la domanda a e b, che strategie dovrei applicare?
La domanda propone 3 esempi di un'applicazione lineare L: R^3 --> R^4 (immaginate gli elementi in colonna)
con L ( 1 1 2) = (-1 1 1 1) ; L ( 2 2 0) = (2 2 6 6) ; L(0 3 0)= ( 0 3 3 6)
chiede di
a) calcolare L(0 0 2) e L(3 3 2). E qui ho cercato di seguire una logica ...
Salve avrei qualche dubbio su questo esercizio:
Sia $f : R^3 → R^3$ l’endomorfismo tale che
$f (1, 0, 1) = (1, 2, 1), f (1, 1, 0) = (2, 0, 0)$
e $(−1, 1, 1)$ è autovettore rispetto all’autovalore $−2$.
(1) Descrivere $Im(f),Ker(f)$;
(2) scrivere esplicitamente $f$;
(3) dire se $f$ è diagonalizzabile
Allora io mi sono trovato la matrice $A$ associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $R^3$ risolvendo il sistema:
...
Buongiorno, vorrei capire se lo sviluppo di questa somma è corretto:
$\delta_(aj)\delta_(jb)$ con ($a,b,j$) = $1,2$
$\delta_(aj)\delta_(jb)$ = $\delta_(11)\delta_(11)$ + $\delta_(12)\delta_(21)$ + $\delta_(21)\delta_(11)$ + $\delta_(22)\delta_(21)$ + $\delta_(11)\delta_(12)$ + $\delta_(12)\delta_(22)$ + $\delta_(22)\delta_(22)$
Se dalla proprietà del delta di Kroneker risulta: $\delta_(aj)\delta_(jb)$ = $\delta_(ab)$ la somma non dovrebbe essere pari a:
$\delta_(11)$ + $\delta_(12)$ + $\delta_(21)$ + ...
Salve,
in un problemino mi trovo a dover trasformare i versori dalle coord. cilindriche a cartesiane, chiedo un aiuto.
Buongiorno, riporto una traccia di un esercizio d'esame.
Al variare del paramentro h determinare una base ortonormale dello spazio
Wh = (h;-h; 0; 1) ; (0; h; 0; h)
Solitamente uso il procedimento di Gram Schmidt. Inizio col verificare che i vettori siano indipendenti(giusto?), quindi per h diverso da 0, altrimenti il secondo è il vettore nullo.
Scelgo il primo vettore come primo vettore della base ortogonale e poi trovo il secondo. Serve che il denominatore degli scalari che trovo siano ...
Buongiorno. Ho il seguente esercizio riguardante il duale di uno spazio vettoriale.
Sia $V':=mbox{Hom}(V,K):={phi: V to K \quad | phi \quad mbox {lineare} }.$
Considerata l'applicazione bilineare $<\cdot,\cdot>\quad : \quad (phi, v) in V'\timesV to <phi,v>:=phi(v)in K$ detta dualità canonica di $V$.
Devo dimostrare $<phi,v>\quad=0 \quad forall phi in V' <=> v=0$
$\Leftarrow$
Sia $v=0$ allora si ha $<phi,v>\=<phi,0>\=phi(0)= 0$
$\Rightarrow$
Sia ${v_1,...,v_n}$ base di $V$ allora per ogni $v in V \rightarrow v=sum_(i=1)^n a_iv_i.$
Sia $phi in V'$ si ha
$0=<phi,v>\=<phi,sum_(i=1)^n a_iv_i>\=phi(sum_(i=1)^na_iv_i)=sum_(i=1)^na_iphi(v_i).$
D'altra parte ...
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