Distribuzione 1-dimensionale sulla sfera 2D
Ciao,
ho un dubbio sul seguente argomento: consideriamo una sfera 2D $S$ dotata della classica struttura di varietà differenziabile.
Definiamo una funzione $f: S rarr RR$ che assume un valore costante lungo i paralleli della sfera (in altre parole gli insiemi di livello di $f$ sono i paralleli della sfera - in particolare essi si "riducono" a 2 punti in corrispondenza dei 2 poli).
La funzione $f$ e' smooth in quanto da luogo ad una funzione $\bar f: RR^2 rarr RR$ smooth su ciascuna carta dell'atlante di $S$.
Consideriamo ora il differenziale di $f$ ovvero la 1-forma $df$. $ker (df)$ definisce una distribuzione 1-dimensionale sulla sfera.
Certamente in corrispondenza dei 2 poli la distribuzione e' singolare tuttavia l'applicazione lineare $df$ e' ancora definita in loro corrispondenza, giusto ?
ho un dubbio sul seguente argomento: consideriamo una sfera 2D $S$ dotata della classica struttura di varietà differenziabile.
Definiamo una funzione $f: S rarr RR$ che assume un valore costante lungo i paralleli della sfera (in altre parole gli insiemi di livello di $f$ sono i paralleli della sfera - in particolare essi si "riducono" a 2 punti in corrispondenza dei 2 poli).
La funzione $f$ e' smooth in quanto da luogo ad una funzione $\bar f: RR^2 rarr RR$ smooth su ciascuna carta dell'atlante di $S$.
Consideriamo ora il differenziale di $f$ ovvero la 1-forma $df$. $ker (df)$ definisce una distribuzione 1-dimensionale sulla sfera.
Certamente in corrispondenza dei 2 poli la distribuzione e' singolare tuttavia l'applicazione lineare $df$ e' ancora definita in loro corrispondenza, giusto ?
Risposte
Beh, si, se richiedi che \(f\) sia smooth certo che si. Il differenziale é definito ovunque. Questo é tutto.
"dissonance":
Beh, si, se richiedi che \(f\) sia smooth certo che si. Il differenziale é definito ovunque. Questo é tutto.
ok, allora il 'problema' che si ha sui 2 poli per la definizione della distribuzione 1-dimensionale e' semplicemente dovuto al fatto che il kernel di $df$ diventa nullo ?
O piuttosto che il rango di $df$ si annulla ai poli e quindi il kernel diventa di dimensione 2 ?
Secondo me devi ragionare con funzioni radiali su Rn, prima ancora che con queste robe sulla sfera. Una funzione radiale smooth ha necessariamente il differenziale nullo nell'origine. Qui succede qualcosa di simile
"dissonance":
Secondo me devi ragionare con funzioni radiali su Rn, prima ancora che con queste robe sulla sfera. Una funzione radiale smooth ha necessariamente il differenziale nullo nell'origine. Qui succede qualcosa di simile
ok consideriamo allora la funzione (smooth) $f = x^2 + y^2$ su $RR^2$.
$df = 2x + 2y$ che ovviamante si annulla per $x=0, y=0$. In altre parole nel punto $(0,0)$ il rango di $df$ si annulla e quindi il kernel risulta esser tutto $RR^2$ (inteso come spazio vettoriale tangente sul punto $(0,0)$).
Esatto. E questa stessa cosa capita sulla sfera, nei poli. Non é difficile, non ti incartare.
ok, Grazie 
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