Proprietà degli embedding
\(\newcommand{\mathscr}[1]{\mathcal{#1}}\) Siano \( (X,\mathscr O_X) \) e \( (Y,\mathscr O_Y) \) due spazi topologici (le \( \mathscr O_X \) e \( \mathscr O_Y \) sono le topologie). Definisco un embedding di \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \) come una funzione di insiemi \( \iota\colon Y\to X \) iniettiva tale che la sua restrizione in codominio a \( \iota_*(Y) = \{\iota(y)\in X : y\in Y\} \) sia un omeomorfismo \( (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) (per familiarizzare con esse, uso le stesse notazioni del libro di topologia, nelle quali \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) non è nient'altro che "lo spazio \( \iota_*(Y) \)" con la topologia di sottospazio \( \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}} := \{U\cap \iota_*(Y) : U\in \mathscr O_X \} \); chi mi risponde usando le stesse notazioni vince 6 CFU).
Devo provare che \( \iota\colon Y\to X \) è un embedding se e solo se, per ogni spazio \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni funzione di insiemi \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è una funzione continua \( g\colon (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \) se e solo se la funzione composta \( \iota\circ g \) è una funzione continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \).
È un esercizio formale che so fare ma non ho voglia di fare, quindi mi sono incasinato.
Facciamo che \( \iota \) embeddi \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \). Prendo una \( g\colon Z\to Y \) (con \( (Z,\mathscr O_Z) \) spazio qualsiasi ecc...), e suppongo che la composta \( \iota\circ g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \). L'idea è: prendo un aperto \( U \) di \( (Y,\mathscr O_Y) \); faccio saltare fuori un aperto di \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) usando il fatto che l'inversa di \( \iota\colon (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) è continua; quest'ultimo insieme si scrive come intersezione \( V\cap \iota_*(Y) \) dove \( V \) è un aperto di \( X \), e quindi ritorno \( V \) in \( Z \) prendendone la controimmagine mediante \( \iota\circ g \) in modo da ottenere un aperto; infine mostro che questa controimmagine è proprio \( g^*(U) \). È giusto?
Se, invece, vale che per ogni \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni \( g\colon Z\to Y \) tra insiemi il fatto che \( \iota\circ g \) sia continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \) implica che anche \( g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \), non mi basta prendere \( (Z,\mathscr O_Z) = (\iota_*(Y), \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) e \( g\colon \iota_*(Y)\to Y \) che mappa \( x\mapsto \iota^{-1}(y) \) (ricordo che \( \iota\colon Y\to X \) è iniettiva per ipotesi, quindi ha senso quello che scrivo)?
Devo provare che \( \iota\colon Y\to X \) è un embedding se e solo se, per ogni spazio \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni funzione di insiemi \( g\colon Z\to Y \), \( g \) è una funzione continua \( g\colon (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \) se e solo se la funzione composta \( \iota\circ g \) è una funzione continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \).
È un esercizio formale che so fare ma non ho voglia di fare, quindi mi sono incasinato.
Facciamo che \( \iota \) embeddi \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \). Prendo una \( g\colon Z\to Y \) (con \( (Z,\mathscr O_Z) \) spazio qualsiasi ecc...), e suppongo che la composta \( \iota\circ g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \). L'idea è: prendo un aperto \( U \) di \( (Y,\mathscr O_Y) \); faccio saltare fuori un aperto di \( (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) usando il fatto che l'inversa di \( \iota\colon (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) è continua; quest'ultimo insieme si scrive come intersezione \( V\cap \iota_*(Y) \) dove \( V \) è un aperto di \( X \), e quindi ritorno \( V \) in \( Z \) prendendone la controimmagine mediante \( \iota\circ g \) in modo da ottenere un aperto; infine mostro che questa controimmagine è proprio \( g^*(U) \). È giusto?
Se, invece, vale che per ogni \( (Z,\mathscr O_Z) \) e per ogni \( g\colon Z\to Y \) tra insiemi il fatto che \( \iota\circ g \) sia continua \( (Z,\mathscr O_Z)\to (X,\mathscr O_X) \) implica che anche \( g \) sia continua come mappa \( (Z,\mathscr O_Z)\to (Y,\mathscr O_Y) \), non mi basta prendere \( (Z,\mathscr O_Z) = (\iota_*(Y), \mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \) e \( g\colon \iota_*(Y)\to Y \) che mappa \( x\mapsto \iota^{-1}(y) \) (ricordo che \( \iota\colon Y\to X \) è iniettiva per ipotesi, quindi ha senso quello che scrivo)?
Risposte
C'è un errore di ricopiatura qui
Sia [tex]g\colon(Z,\mathcal{O}_Z)\to(Y,\mathcal{O}_Y)[/tex] continua: allora [tex]\imath\circ g\colon (Z,\mathcal{O}_Z)\to(X,\mathcal{O}_X)[/tex] continua in quanto composizione di funzioni continue. L'immersione è per definizione continua, infatti: sia [tex]U\in\mathcal{O}_X[/tex] allora [tex]\imath^{-1}(U)=\imath^{-1}(U\cap\imath_*(Y))=\imath^{-1}\restriction_{\imath_*(Y)}(U\cap\imath_*(Y))\in\mathcal{O}_Y[/tex] poiché [tex]U\cap\imath_*(Y)\in\mathcal{O}_X\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] e [tex]\imath^{-1}\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] omeomorfismo.
Viceversa, assumiamo [tex]\imath\circ g\colon (Z,\mathcal{O}_Z)\to(X,\mathcal{O}_X)[/tex] continua: sia [tex]U\in\mathcal{O}_Y[/tex], allora esiste [tex]V\in\mathcal{O}_X[/tex] tale che [tex]U=V\cap\imath_*(Y)\in\mathcal{O}_X\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] per definizione di topologia sottospazio (o, se preferisci, poiché [tex]\imath\colon (Y,\mathcal{O}_Y)\approx (\imath_*(Y),\mathcal{O}_X\restriction_{\imath_*(Y)})[/tex]). Poiché
per continuità di [tex]\imath\circ g[/tex], allora [tex]g[/tex] è continua poiché [tex]g^{-1}(U)\in\mathcal{O}_Z[/tex] per ogni [tex]U\in\mathcal{O}_X[/tex].
Perché una notazione così fasciosa?
"marco2132k":
Definisco un embedding di \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \) come una funzione di insiemi \( \color{red}\iota\colon X\to Y \) iniettiva tale che la sua restrizione in codominio a \( \iota_*(Y) = \{\iota(y) : y\in Y\} \) sia un omeomorfismo \( \color{red}(X,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr O_X{\restriction_{\iota_*(Y)}})\)
Sia [tex]g\colon(Z,\mathcal{O}_Z)\to(Y,\mathcal{O}_Y)[/tex] continua: allora [tex]\imath\circ g\colon (Z,\mathcal{O}_Z)\to(X,\mathcal{O}_X)[/tex] continua in quanto composizione di funzioni continue. L'immersione è per definizione continua, infatti: sia [tex]U\in\mathcal{O}_X[/tex] allora [tex]\imath^{-1}(U)=\imath^{-1}(U\cap\imath_*(Y))=\imath^{-1}\restriction_{\imath_*(Y)}(U\cap\imath_*(Y))\in\mathcal{O}_Y[/tex] poiché [tex]U\cap\imath_*(Y)\in\mathcal{O}_X\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] e [tex]\imath^{-1}\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] omeomorfismo.
Viceversa, assumiamo [tex]\imath\circ g\colon (Z,\mathcal{O}_Z)\to(X,\mathcal{O}_X)[/tex] continua: sia [tex]U\in\mathcal{O}_Y[/tex], allora esiste [tex]V\in\mathcal{O}_X[/tex] tale che [tex]U=V\cap\imath_*(Y)\in\mathcal{O}_X\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] per definizione di topologia sottospazio (o, se preferisci, poiché [tex]\imath\colon (Y,\mathcal{O}_Y)\approx (\imath_*(Y),\mathcal{O}_X\restriction_{\imath_*(Y)})[/tex]). Poiché
[tex]\mathcal{O}_Z\ni(\imath\circ g)^{-1}(V)=g^{-1}(\imath^{-1}(V))=g^{-1}(\imath^{-1}\restriction_{\imath_*(Y)}(V\cap \imath_*(Y)))=g^{-1}(U)[/tex]
per continuità di [tex]\imath\circ g[/tex], allora [tex]g[/tex] è continua poiché [tex]g^{-1}(U)\in\mathcal{O}_Z[/tex] per ogni [tex]U\in\mathcal{O}_X[/tex].
Perché una notazione così fasciosa?
"413":Perché le topologie sono esempi di fasci di insiemi!
[...] Perché una notazione così fasciosa?
E chi lo dimostra, vince 3 CFU!, quei 3 CFU che ho in eccesso dalla laurea triennale
"j18eos":Perché le topologie sono esempi di fasci di insiemi!
[quote="413"][...] Perché una notazione così fasciosa?
E chi lo dimostra, vince 3 CFU!, quei 3 CFU che ho in eccesso dalla laurea triennale
[/quote]È così difficile?
Comunque sento che megas_archon non perderà l'occasione di farlo 
le topologie sono esempi di fasci di insiemi!Ti dò la possibilità di ammettere che non è quello che volevi dire, e che è un lapsus.
Hai ragione: di sicuro le topologie sono dei funtori covarianti a valori nella categoria degli insiemi!
Mentre i fasci sono, per definizione, funtori controvarianti!
...però nella nebbia della mia memoria[nota]Era il mese scorso: settembre 2021...[/nota] c'è un esempio di fascio "scemo" che mi sorprese e che aveva a che fare con le topologie di insiemi
EDIT: forse è il seguente!
Al sottoinsieme aperto \(\displaystyle U\) dello spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) si associa l'insieme \(\displaystyle X\setminus U\).
Mentre i fasci sono, per definizione, funtori controvarianti!
...però nella nebbia della mia memoria[nota]Era il mese scorso: settembre 2021...[/nota] c'è un esempio di fascio "scemo" che mi sorprese e che aveva a che fare con le topologie di insiemi
EDIT: forse è il seguente!
Al sottoinsieme aperto \(\displaystyle U\) dello spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) si associa l'insieme \(\displaystyle X\setminus U\).
"megas_archon":le topologie sono esempi di fasci di insiemi!Ti dò la possibilità di ammettere che non è quello che volevi dire, e che è un lapsus.
Non è l'unico lapsus
se magari dettagli un po' meglio la tua risposta...Nel senso, non è tanto la notazione [tex]\mathcal{O}_X[/tex] a incuriosirmi ([tex](X,\mathcal{O}_X)[/tex] al posto di [tex](X,\mathcal{T}_X)[/tex] dove la O sta per open può anche essere una coincidenza, strana), ma il fatto che venga utilizzato anche la notazione di immagine diretta per l'immagine dell'immersione (e di restrizione). È solo una notazione masochista o ha in mente qualcosa di preciso?
"j18eos":
EDIT: forse è il seguente!
Al sottoinsieme aperto \(\displaystyle U\) dello spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) si associa l'insieme \(\displaystyle X\setminus U\).
Della serie, se non è zuppa è pan bagnato
No beh io non ho in mente niente (il \( * \) a pedice per l'immagine diretta e ad apice per l'immagine inversa l'ho sempre usato); il libro comunque è il Dieck, ma dovevo leggere una roba e ce l'avevo sul desktop, non lo conosco bene.
Grazie, domani leggo (adesso no ho sonno)!
Grazie, domani leggo (adesso no ho sonno)!
"marco2132k":
No beh io non ho in mente niente (il \( * \) a pedice per l'immagine diretta e ad apice per l'immagine inversa l'ho sempre usato); il libro comunque è il Dieck, ma dovevo leggere una roba e ce l'avevo sul desktop, non lo conosco bene.
Grazie, domani leggo (adesso no ho sonno)!
Quale Dieck? Algebraic topology?
lvi.
Ora ci sediamo e mi spieghi in quale senso una topologia (cioè un sottoinsieme di un certo insieme) è un funtore (cioè una mappa tra due categorie), sono curioso.
Semmai quello che volevi dire è che una topologia è una categoria, e un fascio è un (particolare) funtore controvariante da quella, verso gli insiemi. (Anche i cofasci, cioè quelli covarianti, sono importanti, ma transeat.) Mi stupisce una scivolata da parte di un geometra su una definizione così elementare, è per quello che ho dato la colpa a una brainfart; ma mi sembra tu abbia le idee confuse. Forse volevi dire è che ogni topologia su \(X\) "è" (nel senso che definisce) un coverage per la categoria \(\mathscr{O}_X\), nel senso delle topologie di Grothendieck? Ti è chiara la definizione di topologia di Grothendieck? [nota]Per rendere un coverage un funtore bisogna tirarlo parecchio per i capelli -si dice che gli piaccia, in certi contesti-: un coverage di un aperto \(U\) è una coppia \((I, \mathfrak c)\) dove \(I\) è un insieme di indici e \(\mathfrak c : I \to \mathscr{O}_X/U\) è un particolare funtore -appunto- da $I$ guardato come categoria discreta; questo ammonta esattamente a una famiglia \(\{V_i \subseteq U \mid i \in I\}\) di inclusioni, e la proprietà aggiuntiva che chiedi a questo funtore è di essere congiuntamente suriettivo, ossia che -come deve essere per un coverage- \(\bigcup V_i \supseteq U\).[/nota]
Chi fa topologia pointfree ama definire uno "spazio topologico" come un "frame", cioè un reticolo completo con join arbitrari che soddisfa la proprietà distributiva infinita, \(U\cap \big(\bigcup_{i\in I} V_i\big) = \bigcup_{i\in I} U\cap V_i\), e una "mappa continua" come un omomorfismo di frames.
Tutti gli spazi topologici sono dei frame, ovviamente, perché la definizione è modellata in maniera tale che \(\mathscr{O}_X\) sia un esempio particolare di questa struttura, e una funzione \(f : X \to Y\) è continua se e solo se la restrizione di \(f^\leftarrow\) a \(\mathscr{O}_Y\) è un omomorfismo di frame; e le aggiunzioni immagine diretta/inversa sono piuttosto importanti, ad esempio si dimostra che \(f\) è una mappa aperta se e solo se \(f^\leftarrow : \mathscr{O}_Y \to \mathscr{O}_X\) ha un aggiunto sinistro \(f_!\) che soddisfa la c.d. "identità di Frobenius" \(f_!(U\cap f^\leftarrow V) = f_! U \cap V\) per ogni coppia di aperti $U,V$. Questo aggiunto non cade dal cielo, è esattamente l'aggiunto destro della preimmagine, cioè l'immagine diretta: così la definizione "una mappa aperta manda aperti in aperti" diventa una proprietà categoriale di \(f_!\) (la restrizione dell'immagine diretta al -frame degli aperti del-la topologia sul dominio).
Semmai quello che volevi dire è che una topologia è una categoria, e un fascio è un (particolare) funtore controvariante da quella, verso gli insiemi. (Anche i cofasci, cioè quelli covarianti, sono importanti, ma transeat.) Mi stupisce una scivolata da parte di un geometra su una definizione così elementare, è per quello che ho dato la colpa a una brainfart; ma mi sembra tu abbia le idee confuse. Forse volevi dire è che ogni topologia su \(X\) "è" (nel senso che definisce) un coverage per la categoria \(\mathscr{O}_X\), nel senso delle topologie di Grothendieck? Ti è chiara la definizione di topologia di Grothendieck? [nota]Per rendere un coverage un funtore bisogna tirarlo parecchio per i capelli -si dice che gli piaccia, in certi contesti-: un coverage di un aperto \(U\) è una coppia \((I, \mathfrak c)\) dove \(I\) è un insieme di indici e \(\mathfrak c : I \to \mathscr{O}_X/U\) è un particolare funtore -appunto- da $I$ guardato come categoria discreta; questo ammonta esattamente a una famiglia \(\{V_i \subseteq U \mid i \in I\}\) di inclusioni, e la proprietà aggiuntiva che chiedi a questo funtore è di essere congiuntamente suriettivo, ossia che -come deve essere per un coverage- \(\bigcup V_i \supseteq U\).[/nota]
il fatto che venga utilizzato anche la notazione di immagine diretta per l'immagine dell'immersione (e di restrizione).Credo che il punto sia dimostrare la proprietà universale della topologia indotta e il fatto che un embedding sia definito con una proprietà categoriale (una certa mappa è un isomorfismo) rende naturale parlare di immagini dirette e inverse.
Chi fa topologia pointfree ama definire uno "spazio topologico" come un "frame", cioè un reticolo completo con join arbitrari che soddisfa la proprietà distributiva infinita, \(U\cap \big(\bigcup_{i\in I} V_i\big) = \bigcup_{i\in I} U\cap V_i\), e una "mappa continua" come un omomorfismo di frames.
Tutti gli spazi topologici sono dei frame, ovviamente, perché la definizione è modellata in maniera tale che \(\mathscr{O}_X\) sia un esempio particolare di questa struttura, e una funzione \(f : X \to Y\) è continua se e solo se la restrizione di \(f^\leftarrow\) a \(\mathscr{O}_Y\) è un omomorfismo di frame; e le aggiunzioni immagine diretta/inversa sono piuttosto importanti, ad esempio si dimostra che \(f\) è una mappa aperta se e solo se \(f^\leftarrow : \mathscr{O}_Y \to \mathscr{O}_X\) ha un aggiunto sinistro \(f_!\) che soddisfa la c.d. "identità di Frobenius" \(f_!(U\cap f^\leftarrow V) = f_! U \cap V\) per ogni coppia di aperti $U,V$. Questo aggiunto non cade dal cielo, è esattamente l'aggiunto destro della preimmagine, cioè l'immagine diretta: così la definizione "una mappa aperta manda aperti in aperti" diventa una proprietà categoriale di \(f_!\) (la restrizione dell'immagine diretta al -frame degli aperti del-la topologia sul dominio).
"413":Eh, appunto, sospettavo che venisse da un libro di topalg; è il libro che si pregia di avere una sola figura, o ricordo male? In ogni caso è una buona idea studiare da lui.
Quale Dieck? Algebraic topology?
@megas_archon Ti rispondo in ot... sperando che i neuroni si siano ripresi![ot]
Nel mio primo errore, avevo pensato al funtore covariante che associa ad ogni oggetto \(\displaystyle U\) in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) egli stesso come oggetto di \(\displaystyle\mathbf{Sets}\), ed ogni morfismo tra gli oggetti in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) loro stessi come funzioni, ovvero come morfismi di \(\displaystyle\mathbf{Sets}\). (Sono stato chiaro?) In questo senso qui avevo "confuso" una topologia con un funtore (covariante)!
Poi non voglio incominciare ad andare agli estremi confini della teoria delle categorie, dove (in qualche senso opportuno e se non vado errato) basta conoscere i funtori tra categorie per identificare a meno di equivalenze (se non proprio di isomorfismi) di categorie la categoria sorgente e la categoria obiettivo del funtore stesso... Non è questo l'obiettivo! (Scusa il gioco di parole)
Nel secondo esempio[nota]Quello che non ricordavo in prima istanza![/nota] (che comunque non dovrebbe essere un fascio, perché non soddisfa la proprietà di incollamento), ho pensato al funtore controvariante che associa ad ogni oggetto \(\displaystyle U\) in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) l'oggetto \(\displaystyle X\setminus U\) di \(\displaystyle\mathbf{Sets}\), ed ad ogni morfismo \(\displaystyle U\hookrightarrow V\) tra gli oggetti in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) associa l'inclusione \(\displaystyle X\setminus V\hookrightarrow X\setminus U\) in \(\displaystyle\mathbf{Sets}\).[/ot]
Riguardo la domanda ingenua su \(\displaystyle\mathcal{O}_X\): a pie' di pagina 2 di Grauert, Remmert - Coherent Analytic Sheaves gli autori dichiarano che Cartan gli abbia scritto una lettera, in cui dichiarava di aver scelto \(\displaystyle\mathcal{O}_X\) per indicare un fascio sullo spazio topologico \(\displaystyle X\) perché così fu ispirato da una notazione usata da van der Waerden nel suo trattato Moderne Algebra. E personalmente non l'avevo mai visto per indicare una topologia!
"megas_archon":Cercherò di essere più preciso: ad ogni spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) puoi associare la categoria \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) i cui oggetti sono i sottoinsiemi aperti e i morfismi sono le inclusioni di insiemi. (E su questo siamo entrambi d'accordo!)
Ora ci sediamo e mi spieghi in quale senso una topologia (cioè un sottoinsieme di un certo insieme) è un funtore (cioè una mappa tra due categorie), sono curioso. [...]
Nel mio primo errore, avevo pensato al funtore covariante che associa ad ogni oggetto \(\displaystyle U\) in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) egli stesso come oggetto di \(\displaystyle\mathbf{Sets}\), ed ogni morfismo tra gli oggetti in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) loro stessi come funzioni, ovvero come morfismi di \(\displaystyle\mathbf{Sets}\). (Sono stato chiaro?) In questo senso qui avevo "confuso" una topologia con un funtore (covariante)!
Poi non voglio incominciare ad andare agli estremi confini della teoria delle categorie, dove (in qualche senso opportuno e se non vado errato) basta conoscere i funtori tra categorie per identificare a meno di equivalenze (se non proprio di isomorfismi) di categorie la categoria sorgente e la categoria obiettivo del funtore stesso... Non è questo l'obiettivo! (Scusa il gioco di parole
)Nel secondo esempio[nota]Quello che non ricordavo in prima istanza![/nota] (che comunque non dovrebbe essere un fascio, perché non soddisfa la proprietà di incollamento), ho pensato al funtore controvariante che associa ad ogni oggetto \(\displaystyle U\) in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) l'oggetto \(\displaystyle X\setminus U\) di \(\displaystyle\mathbf{Sets}\), ed ad ogni morfismo \(\displaystyle U\hookrightarrow V\) tra gli oggetti in \(\displaystyle\mathbf{Op}(X)\) associa l'inclusione \(\displaystyle X\setminus V\hookrightarrow X\setminus U\) in \(\displaystyle\mathbf{Sets}\).[/ot]
Riguardo la domanda ingenua su \(\displaystyle\mathcal{O}_X\): a pie' di pagina 2 di Grauert, Remmert - Coherent Analytic Sheaves gli autori dichiarano che Cartan gli abbia scritto una lettera, in cui dichiarava di aver scelto \(\displaystyle\mathcal{O}_X\) per indicare un fascio sullo spazio topologico \(\displaystyle X\) perché così fu ispirato da una notazione usata da van der Waerden nel suo trattato Moderne Algebra. E personalmente non l'avevo mai visto per indicare una topologia!
Dieck, pag. 5, usa una notazione diversa (usa solo [tex]\mathcal{O}[/tex], che evidentemente richiama il fatto che la topologia è una scelta di open set di [tex]X[/tex], per la topologia di [tex]Y[/tex] usa [tex]\mathcal{S}[/tex], non usa lo star basso per l'immagine)...
Forse anche per lui [tex]\mathcal{O}_X[/tex], scritto in quel modo, vuol dire fascio di struttura di [tex]X[/tex]. Secondo me non è consigliabile usare lo stesso simbolo per indicare la topologia... De gustibus...
Comunque è sempre piacevole leggervi
Forse anche per lui [tex]\mathcal{O}_X[/tex], scritto in quel modo, vuol dire fascio di struttura di [tex]X[/tex]. Secondo me non è consigliabile usare lo stesso simbolo per indicare la topologia... De gustibus...
Comunque è sempre piacevole leggervi
Allora, il fatto è che io non so cosa sia un fascio di insiemi
Ho messo i pedici sulla \( \mathcal O \) ma non pensavo che venisse fuori qualcosa di ambiguo (a proposito, quel font non è né mathscr né mathcal... che cos'è?)
Ho messo i pedici sulla \( \mathcal O \) ma non pensavo che venisse fuori qualcosa di ambiguo (a proposito, quel font non è né mathscr né mathcal... che cos'è?)
"megas_archon":
è il libro che si pregia di avere una sola figura, o ricordo male? In ogni caso è una buona idea studiare da lui.
[ot]
Che [tex]\mathcal{O}_X[/tex] non fosse un fascio di anelli nella tua domanda era chiaro
fin lì c'ero arrivato pure io la mia domanda si basava sul fatto che affermavi di aver usato la stessa notazione del libro, e spesso le notazioni non sono casuali, per cui mi domandavo se la scelta dell'autore fosse motivata da qualcosa. Dal momento che si tratta di una tua rivisitazione, la mia domanda non ha senso.
Dopodiché, se megas_archon dice che quella notazione ha un significato in un contesto diverso da quello a cui facevo riferimento io, ci posso assolutamente credere.[/ot]
"marco2132k":
Allora, il fatto è che io non so cosa sia un fascio di insiemi
Ho messo i pedici sulla \( \mathcal O \) ma non pensavo che venisse fuori qualcosa di ambiguo
Che [tex]\mathcal{O}_X[/tex] non fosse un fascio di anelli nella tua domanda era chiaro
fin lì c'ero arrivato pure io la mia domanda si basava sul fatto che affermavi di aver usato la stessa notazione del libro, e spesso le notazioni non sono casuali, per cui mi domandavo se la scelta dell'autore fosse motivata da qualcosa. Dal momento che si tratta di una tua rivisitazione, la mia domanda non ha senso.Dopodiché, se megas_archon dice che quella notazione ha un significato in un contesto diverso da quello a cui facevo riferimento io, ci posso assolutamente credere.[/ot]
@marco2132k Credo che abbiano scelto \(\mathcal{O}\) perché sinonimo di open sets, come già scritto da un altro... e (ovviamente) non ricordo chi!
Però mi impegno a dare una risposta alla tua domanda.
Però mi impegno a dare una risposta alla tua domanda.
"j18eos":
Però mi impegno a dare una risposta alla tua domanda.
Su cosa sia un fascio d'insiemi o su che font è quella specie di eucal leggermente inclinato?
Nel dubbio rispondiamo a entrambe; un fascio di insiemi su $X$ è semplicemente una funzione continua $p : E \to X$ con la proprietà di essere un omeomorfismo locale: ogni $x\in X$ ha un intorno $U_x$ tale che $p$ ristretta a \(p^\leftarrow(U_x)\) sia un omeomorfismo.
La O simil-eucal è probabilmente proprio eucal, ma nella variante che sta bene con times.
La O simil-eucal è probabilmente proprio eucal, ma nella variante che sta bene con times.
Allora, mi è (ed era) chiaro che se una funzione \( \iota\colon Y\to X \) induce un omeomorfismo \( (Y,{\color{red}\tau}_Y)\cong (\iota_*(Y),\tau_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \), allora la composta \( \iota\circ g \) è una continua \( (Z,\tau_Z)\to(X,\tau_X) \). Questo è ovvio (il tizio lo dice proprio due righe sopra la proposizione): una funzione \( f\colon A\to B \) per due spazi topologici \( (A,\tau_A) \) e \( (B,\tau_B) \) è continua \( (A,\tau_A)\to (B,\tau_B) \) se e solo se per un qualche \( N\subset B \) tale che \( f_*(A)\subset N \) è continua la mappa \( (A,\tau_A)\to (N,\tau_B{\restriction_N}) \) indotta dalla restrizione di \( f \) in codominio.
Ora, facciamo sempre che \( \iota \) sia un embedding, e facciamo che \( \iota\circ g \) induca un omeomorfismo \( (Z,\tau_Z)\cong (X,\tau_X) \). Intanto, per quanto appena detto è anche \( (Z,\tau_Z)\cong (\iota_*(Y),\tau_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \). Sia \( U\in \tau_Y \). Abbiamo \( {(\iota^{-1})}^*(U) = V\cap \iota_*(Y) \) per qualche \( V\in \tau_X \). Allora, vale
\[
g^* = g^*[\iota^*( {(\iota^{-1})}^*(U) )] = {(\iota\circ g)}^*( {(\iota^{-1})}^*(U) ) = {(\iota\circ g)}^*(V\cap \iota_*(Y)) = g^*[\iota^*(V\cap \iota_*(Y))] = g^*[\iota^*(V)\cap \iota^*(\iota_*(Y))] = g^*[\iota^*(V)\cap Y] = g^*[\iota^*(V)] = {(\iota\circ g)}^*(V)
\] dove l'ultimo termine è un aperto di \( (Z,\tau_Z) \). \( \square \)
Come va? Ho usato solo il fatto che \( (\phi\circ\psi)^* = \psi^*\circ \phi^* \), che \( \phi^*(A\cap B) = \phi^*(A)\cap \phi^*(B) \) e la relazione che c'è per una \( \phi \) invertibile tra \( \phi^* \), \( \phi_* \), \( (\phi^{-1})^* \) ecc. (con ovvio significato dei simboli, ma sono uguaglianze elementari di teoria degli insiemi). Possibilissimo che abbia incasinato i simboli o scritto uguaglianze non vere eh...
Ora, facciamo sempre che \( \iota \) sia un embedding, e facciamo che \( \iota\circ g \) induca un omeomorfismo \( (Z,\tau_Z)\cong (X,\tau_X) \). Intanto, per quanto appena detto è anche \( (Z,\tau_Z)\cong (\iota_*(Y),\tau_X{\restriction_{\iota_*(Y)}}) \). Sia \( U\in \tau_Y \). Abbiamo \( {(\iota^{-1})}^*(U) = V\cap \iota_*(Y) \) per qualche \( V\in \tau_X \). Allora, vale
\[
g^* = g^*[\iota^*( {(\iota^{-1})}^*(U) )] = {(\iota\circ g)}^*( {(\iota^{-1})}^*(U) ) = {(\iota\circ g)}^*(V\cap \iota_*(Y)) = g^*[\iota^*(V\cap \iota_*(Y))] = g^*[\iota^*(V)\cap \iota^*(\iota_*(Y))] = g^*[\iota^*(V)\cap Y] = g^*[\iota^*(V)] = {(\iota\circ g)}^*(V)
\] dove l'ultimo termine è un aperto di \( (Z,\tau_Z) \). \( \square \)
Come va? Ho usato solo il fatto che \( (\phi\circ\psi)^* = \psi^*\circ \phi^* \), che \( \phi^*(A\cap B) = \phi^*(A)\cap \phi^*(B) \) e la relazione che c'è per una \( \phi \) invertibile tra \( \phi^* \), \( \phi_* \), \( (\phi^{-1})^* \) ecc. (con ovvio significato dei simboli, ma sono uguaglianze elementari di teoria degli insiemi). Possibilissimo che abbia incasinato i simboli o scritto uguaglianze non vere eh...
"marco2132k":
Ora, facciamo sempre che \( \iota \) sia un embedding, e facciamo che \( \iota\circ g \) induca un omeomorfismo \( (Z,\tau_Z)\cong (X,\tau_X) \).
Perché assumiamo che sia omeomorfismo?
"marco2132k":
con ovvio significato dei simboli
Mica tanto... indichi con [tex]f_*(A)[/tex] l'immagine di [tex]A[/tex], con [tex]f^*(A)[/tex] la controimmagine di [tex]A[/tex] e con [tex]f^{-1}[/tex] la funzione inversa?
"marco2132k":
\( {(\iota^{-1})}^*(U) = V\cap \iota_*(Y) \)
Se devi fare l'ultrapreciso, questa cosa non va bene: [tex]\iota^{-1}[/tex] in generale non è definita
io avevo usato [tex]\imath^{-1}\restriction_{\imath_*(Y)}[/tex] per denotare l'inversa della funzione [tex]\imath[/tex] il cui codominio è stato ristretto a [tex]\imath_*(Y)[/tex], ma mi rendo conto che fa un po' schifo (cioè, fa proprio schifo). Forse [tex](\imath\restriction^{\imath_*(Y)})^{-1}[/tex] andrebbe meglio.Tra una cosa e l'altra mi sono accorto di essermi perso il primo se e solo se, e quindi ho provato a dimostrare solo [tex]1)\implies2)[/tex].
L'altra direzione dovrebbe andare così: sia[tex]\imath\colon (Y,\tau_Y)\to(X,\tau_X)[/tex] una mappa iniettiva, e assumiamo vera la seguente per [tex]\imath[/tex]: una mappa [tex]g\colon(Z,\tau_Z)\to(X,\tau_X)[/tex] da un qualunque spazio topologico [tex](Z,\tau_Z)[/tex] è continua se e solo se [tex]\imath\circ g[/tex] è continua
allora [tex]\imath[/tex] è un'immersione.
Sia [tex]\imath\colon(Y,\tau_Y)\to(X,\tau_X)[/tex] iniettiva, [tex]g:=\operatorname{id}_Y\colon(Y,\tau_Y)\to(Y,\tau_Y)[/tex] la mappa identica (è continua), per la proprietà universale [tex]\imath\circ\operatorname{id}_Y=\imath[/tex] è continua e anche la sua restrizione sul codominio [tex]\imath\restriction^\tilde{Y}[/tex], dove [tex]\tilde{Y}:=\imath(Y),[/tex] è continua ed invertibile: sia [tex]\jmath[/tex] la sua inversa.
Sia [tex]g:=\jmath\colon(\tilde{Y},\tau_X\restriction_{\tilde{Y}})\to(Y,\tau_Y)[/tex], vogliamo mostrare che è continua: [tex]\imath\circ\jmath\colon(\tilde{Y},\tau_X\restriction_{\tilde{Y}})\to(X,\tau_X)[/tex] è l'inclusione di [tex]\tilde{Y}[/tex] in [tex]X[/tex] rispetto alla topologia sottospazio su [tex]\tilde{Y}[/tex], quindi è continua, dalla proprietà universale segue che [tex]\jmath[/tex] è continua, quindi [tex]\imath\restriction^{\tilde{Y}}\colon (Y,\tau_Y)\approx(\tilde{Y},\tau_X\restriction_{\tilde{Y}})[/tex].
Concludiamo: [tex]\imath[/tex] è iniettiva per ipotesi, continua per la prima parte e un omeomorfismo sull'immagine quando questa viene dotata della topologia sottospazio, quindi è un'immersione.
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