Autovalori di matrici giganti

[baldo891]

In meccanica quantistica, spesso bisogna calcolarsi gli autovalori di matrici molto grandi dove quasi tutti gli elementi di matrice sono nulli. Quindi se uno riuscisse, data una certa matrice a scriverla come se fosse una matrice a blocchi il problema si semplificherebbe enormemente dal momento che calcolare gli autovalori di una matrice a blocchi non richiede fatica.
per esempio supponiamo di avere una matrice 9x9 (P.S le matrici sono sempre simmetriche, e gli elementi sulla diagonale sono quasi sempre nulli)
$((0,0,0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,A,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0,B,0),(0,0,0,0,0,0,0,0,0),(0,A,0,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,0,0,D),(0,0,0,B,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,D,0,0))$
sapreste ricondurla ad una matrice a blocchi con un metodo standard che funziona sempre?

[anonymous_af8479]

Gli elementi della matrice sono reali ? Ti serve un software che trovi gli autovalori ?

[baldo891]

si gli elementi di matrice sono reali. No, non mi servono software. cose di questo tipo capitano spesso negli esami scritti.
in particolare questa matrice mi salta fuori nello studio dell'effetto stark con n=3(problema 14 capitolo 5 sakurai)
A me serve un modo generale per ricondurre matrici di questo tipo a matrici a blocchi, così il calcolo si fa semplice..

[anonymous_af8479]

Allora la matrice e' diagonalizzabile. Di metodi numerici , come ben si sa, ce ne sono diversi, ma a mano mi sembra un'inutile perdita di tempo ... nell'era del computer ...

Mi rendo conto che in un esame non si possa usare un tablet o affini (o si puo' ?) con un qualsiasi programma di calcolo. Se e' cosi', penso che il sistema universitario sia assai anacronistico, se vogliamo compere con il mondo. In altre parole, che senso ha perdere tempo per diagonalizzare una matrice ?

Scusa la digressione ...

[baldo891]

sono d'accordo però in questo caso la matrice non è poi così complicata, quasi tutti gli elementi sono nulli...
e ci si può ricondurre (in qualche modo) ad una matrice a blocchi.
Usando un computer ovviamente tutto è banale, però durante un esame ovviamente si può usare solo carta penna e calamaio e calcolatrice

[anonymous_af8479]

Mi rendo conto, ma, a forza di usare il computer, ho dimenticato le proprietà delle matrici a blocchi ...

Comunque (ci ho messo 30 secondi) gli autovalori dovrebbero essere questi :

[[-d,d,-b,b,-a,a,0],[1,1,1,1,1,1,3]]

(casualmente ho scritto in minuscolo e a destra ci sono le molteplicità).

Ora, a posteriori, partiziona in blocchi di 3x3.

Le matrici nulle sono 3, per cui ho un autovalore 0 con molteplicità 3.

Somma le matrici con la A ed ottieni gli autovalori A e -A.

Somma le matrici con la B es ottieni gli autovalori B e -B.

Prendi la matrice con la D ed ottieni gli autovalori D e -D.

Ed il gioco è fatto .... (magari, qualcuno con maggiori skills in algebra lineare potrà formalizzare meglio la cosa ...).

[baldo891]

grazie per la risposta, ma non sono sicuro di aver capito.
come ti sei ricondotto ad una matrice a blocchi?
I blocchi non dovrebbero essere sulla diagonale?

[anonymous_af8479]

Si', appunto. Se mandi una riga orizzontale ogni tre e lo stesso in verticale, ottieni nove matrici 3x3 ...

[anonymous_af8479]

Ho provato a lavorare un po' sulla mia congettura ma non ci ho ricavato nulla. Rimane solo un metodo fortuito un po' pazzerello, anche se, sotto sotto, a intuito, ci potrebbe essere del vero. Ci vorrebbe percio' l'aiuto di un esperto ...

Allora ho provato col polinomio caratteristico. Grazie alla simmetria e a tutti quegli zeri, con una mezzoretta di lavoro si dovrebbe arrivare al risultato ...