Proiezione di due sottospazi
Ho delle difficoltà con la comprensione di un esercizio. Ho due sottospazi precedentemente calcolati (e che so corretti):
[tex]U= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} ; W= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Dopo aver verificato che [tex]U \oplus W = R4[/tex] , si determini la proiezione [tex]\pi_U^W[/tex] su [tex]U[/tex] parallelamente a [tex]W[/tex], esplicitandone la matrice rispetto alle base canonica di [tex]R4[/tex]. Determinare anche la matrice della simmetria di asse [tex]W[/tex] e direzione [tex]U[/tex].
Ora, so che i due sottospazi sono in somma diretta e complementari per grassman, ma il resto della domanda non mi è chiaro.
Innanzitutto che si intende con "su U parallelamente a W"? E' la proiezione di cosa su cosa? E come procedo operativamente per il calcolo delle due matrici? Sono due giorni che cerco spiegazioni su internet ma non riesco a riferirle al caso specifico, ogni eventuale aiuto sarebbe enormemente apprezzato.
[tex]U= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} ; W= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Dopo aver verificato che [tex]U \oplus W = R4[/tex] , si determini la proiezione [tex]\pi_U^W[/tex] su [tex]U[/tex] parallelamente a [tex]W[/tex], esplicitandone la matrice rispetto alle base canonica di [tex]R4[/tex]. Determinare anche la matrice della simmetria di asse [tex]W[/tex] e direzione [tex]U[/tex].
Ora, so che i due sottospazi sono in somma diretta e complementari per grassman, ma il resto della domanda non mi è chiaro.
Innanzitutto che si intende con "su U parallelamente a W"? E' la proiezione di cosa su cosa? E come procedo operativamente per il calcolo delle due matrici? Sono due giorni che cerco spiegazioni su internet ma non riesco a riferirle al caso specifico, ogni eventuale aiuto sarebbe enormemente apprezzato.
Risposte
Puoi postare il testo completo dell'esercizio?
Il testo è completo, l'unica differenza tra il testo originale e quello che ho riportato è che il testo originale dava W come sistema di equazioni cartesiane (e U aveva due vettori linearmente dipendenti).
In generale, se \(\displaystyle V=U \oplus W\), si chiama proiezione di \(\displaystyle V \) su \(\displaystyle U \) lungo \(\displaystyle W \) la seguente applicazione:
dove \(\displaystyle v=u+w\) con \(\displaystyle u \in U, w \in W \) (nota che la decomposizione in somma è unica per ogni \(\displaystyle v \), essendo la somma diretta, quindi l'applicazione è ben definita)
Praticamente consideri solo il fattore di $U$ e ignori quello di $W$
\(\displaystyle \pi: v \in V \mapsto u \in U \)
dove \(\displaystyle v=u+w\) con \(\displaystyle u \in U, w \in W \) (nota che la decomposizione in somma è unica per ogni \(\displaystyle v \), essendo la somma diretta, quindi l'applicazione è ben definita)
Praticamente consideri solo il fattore di $U$ e ignori quello di $W$
Innanzitutto grazie per la risposta. Ora, ho scartabellato appunti di svariati anni del corso di geometria analitica che sto seguendo ed alla fine ho trovato quello che cercavo.
La risposta datami è si utile a capire il contesto nel quale si lavora (sopratutto il fatto che V è composizione di un vettore di U ed uno di W) ma comunque non mi permetterebbe di calcolarmi la matrice dell'applicazione. Per farlo si procede in questo modo, premettendo che la matrice (e quindi V) sono in base canonica:
Si moltiplica la matrice identità (che è la base canonica) per un vettore generico X, a questa matrice si sottrae la combinazione lineare dei vettori di W, in questa maniera si ottengono n equazioni parametriche corrispondenti ai valori della n-upla del vettore v. Questi valori vanno poi a sostituire le incognite nell'equazione lineare di U, si ottiene cosi' un sistema di n equazioni, e cioè l'applicazione lineare cercata (i cui coefficienti, ovviamente, sono i valori della matrice associata). Spero di averlo spiegato bene, non è un procedimento chiarissimo nemmeno ora che ho la soluzione davanti e purtroppo tra libri, dispense ed appunti in aula il nostro docente si rifiuta di darci gli algoritmi risolutivi degli esercizi...
La risposta datami è si utile a capire il contesto nel quale si lavora (sopratutto il fatto che V è composizione di un vettore di U ed uno di W) ma comunque non mi permetterebbe di calcolarmi la matrice dell'applicazione. Per farlo si procede in questo modo, premettendo che la matrice (e quindi V) sono in base canonica:
Si moltiplica la matrice identità (che è la base canonica) per un vettore generico X, a questa matrice si sottrae la combinazione lineare dei vettori di W, in questa maniera si ottengono n equazioni parametriche corrispondenti ai valori della n-upla del vettore v. Questi valori vanno poi a sostituire le incognite nell'equazione lineare di U, si ottiene cosi' un sistema di n equazioni, e cioè l'applicazione lineare cercata (i cui coefficienti, ovviamente, sono i valori della matrice associata). Spero di averlo spiegato bene, non è un procedimento chiarissimo nemmeno ora che ho la soluzione davanti e purtroppo tra libri, dispense ed appunti in aula il nostro docente si rifiuta di darci gli algoritmi risolutivi degli esercizi...
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