Autovalori di una matrice e regole del determinante
Ho una matrice A, diciamo 4x4, della quale voglio conoscere gli autovalori. So che il suo determinante non varia se sommo una riga con il prodotto scalare di un altra e so che il suo polinomio caratteristico è dato da [tex]det(A-xI)[/tex]
Diciamo che il calcolo diretto di questo determinante è molto complesso e mi interesserebbe utilizzare la proprietà del determinante sopra esposta. Posso applicare questa proprieta alla matrice PRIMA di eseguire la somma [tex]A-xI[/tex] oppure no? Insomma, in soldoni, posso prima ridurre a scala la matrice e poi cercare gli autovalori con la formula oppure posso effettuare operazioni di gauss sulla matrice solamente dopo aver introdotto l'incognita?
altrimenti, ci sono altre maniere di trovare gli autovalori senza il calcolo diretto di una lunga equazione di 4° grado?
Per chi fosse interessato, la matrice è:
[tex]A=\begin{pmatrix}2&0&0&2\\1&2&1&3\\-1&1&2&2\\2&0&0&-1\end{pmatrix}[/tex]
di polinomio caratteristico [tex](x-1)(x+2)(x-3)^2[/tex], che non riesco ad ottenere.
Diciamo che il calcolo diretto di questo determinante è molto complesso e mi interesserebbe utilizzare la proprietà del determinante sopra esposta. Posso applicare questa proprieta alla matrice PRIMA di eseguire la somma [tex]A-xI[/tex] oppure no? Insomma, in soldoni, posso prima ridurre a scala la matrice e poi cercare gli autovalori con la formula oppure posso effettuare operazioni di gauss sulla matrice solamente dopo aver introdotto l'incognita?
altrimenti, ci sono altre maniere di trovare gli autovalori senza il calcolo diretto di una lunga equazione di 4° grado?
Per chi fosse interessato, la matrice è:
[tex]A=\begin{pmatrix}2&0&0&2\\1&2&1&3\\-1&1&2&2\\2&0&0&-1\end{pmatrix}[/tex]
di polinomio caratteristico [tex](x-1)(x+2)(x-3)^2[/tex], che non riesco ad ottenere.
Risposte
"Eradan":
So che il suo determinante non varia se sommo una riga con il prodotto scalare di un altra
Quest'affermazione è sbagliata. Il valore del determinante varia se fai un'operazione di Gauss di questo tipo. Puoi predere una matrice 2x2 e fare una prova. Detto ciò, qualunque cosa tu voglia fare per semplificare con Gauss la matrice $A-xI$ e calcolarne il determinante ti porterà ad un risultato sbagliato.
Non ci sono scorciatoie, devi cacolarti il determinante di $A-xI$ sensa modificare la matrice.
Innanzitutto grazie per la risposta, ma ora sono confuso. Ho provato con 2 matrici diverse 2x2 (di numeri primi, per andare sicuri), e la cosa funziona. Inoltre quest'affermazione la trovo su testi universitari, non la invento io. Un esempio:
http://www1.mat.uniroma1.it/people/garr ... ione11.pdf
Pagina 8, e cito:
"Il determinante non cambia se a una riga (o colonna) si somma un’altra riga (o colonna) moltiplicata per uno scalare non nullo".
Perciò ora mi chiedo se pure il resto della risposta sia da scartare.
http://www1.mat.uniroma1.it/people/garr ... ione11.pdf
Pagina 8, e cito:
"Il determinante non cambia se a una riga (o colonna) si somma un’altra riga (o colonna) moltiplicata per uno scalare non nullo".
Perciò ora mi chiedo se pure il resto della risposta sia da scartare.
My bad!
Hai ragione ( rispondere in fretta ha i sui rischi alle volte ).
Il determinate è lineare per righe e se due righe sono unguali allora è nullo. Da ciò si ricava la proprietà che dicevi.
Detto ciò, torniamo alla domanda:
No, devi applicarla alla matrice $A-xI$ e non prima ad A e poi calcolare il determinate di $A-xI$. Questo per il semplice fatto che il determinante non è un'applicazione lineare. Spero sia chiaro.
Hai ragione ( rispondere in fretta ha i sui rischi alle volte ).
Il determinate è lineare per righe e se due righe sono unguali allora è nullo. Da ciò si ricava la proprietà che dicevi.
Detto ciò, torniamo alla domanda:
"Eradan":
Posso applicare questa proprieta alla matrice PRIMA di eseguire la somma \( A-xI \) oppure no? Insomma, in soldoni, posso prima ridurre a scala la matrice e poi cercare gli autovalori con la formula oppure posso effettuare operazioni di gauss sulla matrice solamente dopo aver introdotto l'incognita?
No, devi applicarla alla matrice $A-xI$ e non prima ad A e poi calcolare il determinate di $A-xI$. Questo per il semplice fatto che il determinante non è un'applicazione lineare. Spero sia chiaro.
Non c'è problema, sbagliano tutti, e riconosco l'impossibilità di applicare gauss come ho chiesto io.
Quindi, nel caso specifico, l'unica maniera di risolvere il determinante è laplace e risolvere un equazione di 4° grado? Lo chiedo perchè questo è un testo di esame, e io sono sicuro che con la pressione di dover risolvere 15 quesiti simili in due ore sicuramente farei macelli nell'affrontare operazioni cosi' lunghe, e preferirei affidarmi a teoremi piuttosto che ad un calcolo crudo simile.
Quindi, nel caso specifico, l'unica maniera di risolvere il determinante è laplace e risolvere un equazione di 4° grado? Lo chiedo perchè questo è un testo di esame, e io sono sicuro che con la pressione di dover risolvere 15 quesiti simili in due ore sicuramente farei macelli nell'affrontare operazioni cosi' lunghe, e preferirei affidarmi a teoremi piuttosto che ad un calcolo crudo simile.
\(\displaystyle A-xI=\begin{pmatrix}2-x&0&0&2\\1&2-x&1&3\\-1&1&2-x&2\\2&0&0&-1-x\end{pmatrix} \)
$ A-xI=(2-x)((2-x,1,3),(1,2-x,2),(0,0,-1-x))-2((1,2-x,1),(-1,1,2-x),(2,0,0)) $
$A-xI=(2-x)(-1-x)((2-x,1),(1,2-x))-4((2-x,1),(1,2-x))$
$A-xI=(2-x)(-1-x)[(2-x)^2-1]-4[(2-x)^2-1]$
$A-xI=[(2-x)^2-1][(2-x)(-1-x)-4]$
$A-xI=(2-x-1)(2-x+1)(x^2-x-6)$
$A-xI=(1-x)(3-x)(x+2)(x-3)$
$A-xI=(x-1)(x+2)(x-3)^2$
$ A-xI=(2-x)((2-x,1,3),(1,2-x,2),(0,0,-1-x))-2((1,2-x,1),(-1,1,2-x),(2,0,0)) $
$A-xI=(2-x)(-1-x)((2-x,1),(1,2-x))-4((2-x,1),(1,2-x))$
$A-xI=(2-x)(-1-x)[(2-x)^2-1]-4[(2-x)^2-1]$
$A-xI=[(2-x)^2-1][(2-x)(-1-x)-4]$
$A-xI=(2-x-1)(2-x+1)(x^2-x-6)$
$A-xI=(1-x)(3-x)(x+2)(x-3)$
$A-xI=(x-1)(x+2)(x-3)^2$
Ecco ciromario, vedi? La tua è una soluzione bella ed elegante, che io con le mie capacità non riuscirò mai ad eguagliare durante una sessione d'esame. Ti basti pensare che una volta ottenute le due matrici 3x3 al secondo passaggio, studiando a casa, sono partito come un bufalo cieco usando Sarrus, quando se avessi speso 10 secondi a guardare la matematica che avevo davanti avrei molto probabilmente trovato il tuo sentiero.
Per ovviare alle mie lacune, ho trovato la "formula di Souriau", che permette di trovare i coefficienti del polinomio caratteristico per vie traverse e un po' più semplici. Ovviamente, risolvendo come hai fatto tu non c'è nemmeno bisogno di rompersi la testa a trovare le radici di un polinomio di 4° grado.
Per ovviare alle mie lacune, ho trovato la "formula di Souriau", che permette di trovare i coefficienti del polinomio caratteristico per vie traverse e un po' più semplici. Ovviamente, risolvendo come hai fatto tu non c'è nemmeno bisogno di rompersi la testa a trovare le radici di un polinomio di 4° grado.
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