Omomorfismo e matrice
Buongiorno a tutti!
Mi sono imbattuto in questi due problemi:
1) Sia $ h: R^3 -> R^4 $ un omomorfismo. Stabilire (dimostrandolo) se:
a) l'immagine di h può essere una retta che non passa per l'origine
b) l'immagine di h può essere una retta che passa per l'origine
c) l'immagine di h può essere una circonferenza di raggio r>0
d) l'immagine di h può essere contenuta in una circonferenza di raggio r>0
e) il nucleo di h può essere un piano qualsiasi
2) Determinare una matrice A a coefficienti reali che abbia $ (x+1)(x-2)^2 $ come polinomio caratteristico e tale che $ A \cdot V = V $ dove $ V = {(x,y,z) \in R^3 : 2x - z = y} $
Per il primo, pensavo di usare l'omomorfismo che manda le basi canoniche di $ R^3 $ nelle basi canoniche di $ R^4 $ . Una volta definito però, non so come stabilire se i punti a, b, c, d, ed e siano veri o falsi.
Per il secondo invece, posto che il polinomio caratteristico è definito come $ p(x) = det(A - xI) $, non saprei come inventarmi una matrice quadrata tale per cui il polinomio caratteristico sia esattamente quello richiesto, a maggior ragione se poi $ A \cdot V $ deve restituire esattamente $ V = {(x,y,z) \in R^3 : 2x - z = y} $ .
Non so se questo genere di esercizi possa essere più o meno banale, ma mi mette sempre in difficoltà.
Ringrazio coloro che potranno illuminarmi la via.
A presto!
Mi sono imbattuto in questi due problemi:
1) Sia $ h: R^3 -> R^4 $ un omomorfismo. Stabilire (dimostrandolo) se:
a) l'immagine di h può essere una retta che non passa per l'origine
b) l'immagine di h può essere una retta che passa per l'origine
c) l'immagine di h può essere una circonferenza di raggio r>0
d) l'immagine di h può essere contenuta in una circonferenza di raggio r>0
e) il nucleo di h può essere un piano qualsiasi
2) Determinare una matrice A a coefficienti reali che abbia $ (x+1)(x-2)^2 $ come polinomio caratteristico e tale che $ A \cdot V = V $ dove $ V = {(x,y,z) \in R^3 : 2x - z = y} $
Per il primo, pensavo di usare l'omomorfismo che manda le basi canoniche di $ R^3 $ nelle basi canoniche di $ R^4 $ . Una volta definito però, non so come stabilire se i punti a, b, c, d, ed e siano veri o falsi.
Per il secondo invece, posto che il polinomio caratteristico è definito come $ p(x) = det(A - xI) $, non saprei come inventarmi una matrice quadrata tale per cui il polinomio caratteristico sia esattamente quello richiesto, a maggior ragione se poi $ A \cdot V $ deve restituire esattamente $ V = {(x,y,z) \in R^3 : 2x - z = y} $ .
Non so se questo genere di esercizi possa essere più o meno banale, ma mi mette sempre in difficoltà.
Ringrazio coloro che potranno illuminarmi la via.
A presto!
Risposte
Il primo è già stato discusso a questo indirizzo: http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=112383
[Ma studiate tutti sugli stessi testi ?
]
Per il (2), secondo me ci sono "un fottìo" di soluzioni. Cosa del resto provata dalla consegna che parla di
"una matrice" e non "della matrice". Salvo avviso in contrario...
Tra queste molteplici soluzioni, tenuto conto che una base di V è ${ (1,2,0)^t,(0,1,-1)^t}$, scelgo quella per la quale risulta:
\begin{cases}f((1,2,0)^t)=-1\cdot (1,2,0)^t\\f((0,1,-1)^t)=2\cdot (0,1,-1)^t\\f((0,1,0)^t)=2\cdot (0,1,0)^t\end{cases}
Facendo i relativi calcoli si trova questo omomorfismo :
$f(x,y,z)=(-x,-6x+2y,2z)$
La matrice A corrispondente ( una delle tante possibili ) è :
$A=((-1,0,0),(-6,2,0),(0,0,2))$
E' facile verificare che tale matrice soddisfa le condizioni poste sugli autovalori e su V.
[Ma studiate tutti sugli stessi testi ?
]Per il (2), secondo me ci sono "un fottìo" di soluzioni. Cosa del resto provata dalla consegna che parla di
"una matrice" e non "della matrice". Salvo avviso in contrario...
Tra queste molteplici soluzioni, tenuto conto che una base di V è ${ (1,2,0)^t,(0,1,-1)^t}$, scelgo quella per la quale risulta:
\begin{cases}f((1,2,0)^t)=-1\cdot (1,2,0)^t\\f((0,1,-1)^t)=2\cdot (0,1,-1)^t\\f((0,1,0)^t)=2\cdot (0,1,0)^t\end{cases}
Facendo i relativi calcoli si trova questo omomorfismo :
$f(x,y,z)=(-x,-6x+2y,2z)$
La matrice A corrispondente ( una delle tante possibili ) è :
$A=((-1,0,0),(-6,2,0),(0,0,2))$
E' facile verificare che tale matrice soddisfa le condizioni poste sugli autovalori e su V.
Mi sono perso.
Come hai scelto la base? E le immagini delle basi? Più che una delle soluzioni a me interessava capire come arrivarci.
Però intanto ti ringrazio!
Come hai scelto la base? E le immagini delle basi? Più che una delle soluzioni a me interessava capire come arrivarci.
Però intanto ti ringrazio!
V è definito da una sola equazione:$ y=2x-z $. In essa due variabili sono arbitrarie mentre la terza è dipendente e quindi V ha dimensione 2. Per trovare una base di V servono pertanto due vettori linearmente indipendenti.
Per trovarli ho fatto come segue.
Dapprima scelgo $x=1,z=0$ da cui ottengo $y=2$. Il vettore corrispondente è $(1,2,0)^t$
Poi scelgo $x=0,z=-1$ da cui ottengo $y=1$. Il vettore corrispondente è $ (0,1,-1)^t $
E dunque la base di V è quella indicata nel precedente mio post.
Per avere le immagini dei vettori di tale base occorre ricordare che il problema impone che V sia trasformato in sé dall'omomorfismo richiesto..
Per questo motivo ho scelto di far coincidere gli autovettori corrispondenti agli autovalori -1 e 2 con i vettori della base di V. Poiché per definire completamente il nostro omomorfismo occorrono 3 vettori lin.ind. ho dovuto scegliere un altro vettore ( non dipendente dai vettori della base di V) e considerarlo come terzo autovettore riferito anch'esso all'autovalore 2 ( ricorda che 2 è autovalore doppio). A questo punto, avendo tre vettori e le corrispondenti immagini, l'omomorfismo richiesto è completamente determinato.
Per trovarli ho fatto come segue.
Dapprima scelgo $x=1,z=0$ da cui ottengo $y=2$. Il vettore corrispondente è $(1,2,0)^t$
Poi scelgo $x=0,z=-1$ da cui ottengo $y=1$. Il vettore corrispondente è $ (0,1,-1)^t $
E dunque la base di V è quella indicata nel precedente mio post.
Per avere le immagini dei vettori di tale base occorre ricordare che il problema impone che V sia trasformato in sé dall'omomorfismo richiesto..
Per questo motivo ho scelto di far coincidere gli autovettori corrispondenti agli autovalori -1 e 2 con i vettori della base di V. Poiché per definire completamente il nostro omomorfismo occorrono 3 vettori lin.ind. ho dovuto scegliere un altro vettore ( non dipendente dai vettori della base di V) e considerarlo come terzo autovettore riferito anch'esso all'autovalore 2 ( ricorda che 2 è autovalore doppio). A questo punto, avendo tre vettori e le corrispondenti immagini, l'omomorfismo richiesto è completamente determinato.
Si delinea in me una certa chiarezza (e ti ringrazio!).
Se ho ben capito:
Scelgo degli $x$ e $z$ arbitrari (non ho vincoli, esatto?), li sostituisco nella sola equazione che definisce $V$ e ottengo due vettori che formano una base (perché non ne abbiamo trovati direttamente 3, visto che la dimensione di $R^3$ è appunto 3, ed è pari al numero di elementi delle sue basi? Si poteva fare?).
Dopodiché impongo tutte le uguaglianze nel sistema; siccome so che i miei autovalori saranno -1 con molteplicità algebrica 1 e 2 con molteplicità algebrica pari a 2 (per via del quadrato), voglio far sì che:
$ { ( f(v_1) = "autovalore"_1 \cdot (v1) ),
( f(v_2) = "autovalore"_2 \cdot (v2) ),
( f(v_3) = "autovalore"_3 \cdot (v3) ):} $
Dove $ v_3 $ corrisponde a $ e_3 $ (visto che non l'abbiamo trovato prima e visto che ci occorrevano tre vettori linearmente indipendenti per definire l'omomorfismo), $ "autovalore"_1 = -1 $ e $ "autovalore"_2 = 2 = "autovalore"_3 $.
Da qui dovrei soltanto ricavarmi l'omomorfismo e scriverne la matrice.
Tutto corretto?
Se ho ben capito:
Scelgo degli $x$ e $z$ arbitrari (non ho vincoli, esatto?), li sostituisco nella sola equazione che definisce $V$ e ottengo due vettori che formano una base (perché non ne abbiamo trovati direttamente 3, visto che la dimensione di $R^3$ è appunto 3, ed è pari al numero di elementi delle sue basi? Si poteva fare?).
Dopodiché impongo tutte le uguaglianze nel sistema; siccome so che i miei autovalori saranno -1 con molteplicità algebrica 1 e 2 con molteplicità algebrica pari a 2 (per via del quadrato), voglio far sì che:
$ { ( f(v_1) = "autovalore"_1 \cdot (v1) ),
( f(v_2) = "autovalore"_2 \cdot (v2) ),
( f(v_3) = "autovalore"_3 \cdot (v3) ):} $
Dove $ v_3 $ corrisponde a $ e_3 $ (visto che non l'abbiamo trovato prima e visto che ci occorrevano tre vettori linearmente indipendenti per definire l'omomorfismo), $ "autovalore"_1 = -1 $ e $ "autovalore"_2 = 2 = "autovalore"_3 $.
Da qui dovrei soltanto ricavarmi l'omomorfismo e scriverne la matrice.
Tutto corretto?
Interpretazione corretta. Quanto a prendere direttamente 3 vettori ( con le corrispondenti immagini), è una cosa possibile purché siano presi in modo da rispettare le condizioni del quesito :
1) V si deve trasformare in sé
2) l'autovalore 2 deve avere molteplicità due
1) V si deve trasformare in sé
2) l'autovalore 2 deve avere molteplicità due
Ciao, scusate se uppo un topic vecchio, mi sono imbattuto in questo esercizio e non sapevo risolverlo. Mi sono chiari quasi tutti i passaggi della risoluzione, tranne questo:
Potreste specificare questi calcoli? Vi ringrazio.
"ciromario":
Facendo i relativi calcoli si trova questo omomorfismo :
$f(x,y,z)=(-x,-6x+2y,2z)$
Potreste specificare questi calcoli? Vi ringrazio.
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