Insieme compatto con |E'|=|N|

[keccogrin-votailprof]

L'esercizio che vi presento è questo:
Costruire un insieme compatto di numeri reali i cui punti di accumulazione formino un insieme numerabile.
Io ho pensato a questo esempio, ma non so se è corretto:
Siano [tex]E_{2} = \{1/2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \}[/tex] e in generale [tex]E_{m} = \{1/m + \frac{m-1}{m} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \}[/tex].
Allora l'unione [tex]\bigcup E_{m}[/tex] dovrebbe essere un insieme chiuso, perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione, limitato, perché contenuto nell'intervallo [tex][0,1][/tex], e i suoi punti di accumulazione sono un insieme numerabile, in particolare sono [tex]E' = \{1/n : n=2, 3, 4, \dots\}[/tex].
E' giusto? C'era qualcosa di più semplice?
Grazie.

[j18eos]

"EdmondDantès":...Allora l'unione [tex]\bigcup E_{m}[/tex] dovrebbe essere un insieme chiuso, perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione...

Che l'insieme \(\displaystyle E=\bigcup_{m=1}^{+\infty}E_m\) sia chiuso è vero, ma questa giustificazione non mi convince!

[keccogrin-votailprof]

"j18eos":Che l'insieme \( \displaystyle E=\bigcup_{m=1}^{+\infty}E_m \) sia chiuso è vero, ma questa giustificazione non mi convince!

Ho semplicemente usato la definizione di insieme chiuso in uno spazio metrico: \(\displaystyle E \) è chiuso se ogni punto di accumulazione di \(\displaystyle E \) è un punto di \(\displaystyle E \).
Tuttavia, quello che avevo scritto non era proprio corretto: devo aggiungere almeno lo zero all'insieme \(\displaystyle E \), perché altrimenti questo sarebbe un punto di accumulazione di \(\displaystyle E \) senza esserne un elemento, quindi per come avevo scritto io \(\displaystyle E \) non era nemmeno chiuso.
Inoltre c'è qualcos'altro di poco chiaro nel mio esempio: anche una volta aggiunto lo 0 si dovrebbe dimostrare che non ci sono altri punti di accumulazione (ad esempio potrebbe esistere una successione convergente ad un qualche elemento di \(\displaystyle E_{m} \) che non sia della forma \(\displaystyle 1/k \) ).
A questo punto rilancio la sfida: chi trova un esempio corretto?

[j18eos]

Mi ero dimenticato dello \(0\)... errore mio; inoltre, non ricordavo quella caratterizzazione.

Dovresti dimostrare non che tutte le successioni di quell'insieme convergono a \(0\), ma che l'insieme di tutti i possibili limiti sia infinito numerabile.

Hai idee in merito?

[keccogrin-votailprof]

"j18eos":Mi ero dimenticato dello \(0\)... errore mio; inoltre, non ricordavo quella caratterizzazione.

Stai parlando della definizione che ho dato di insieme chiuso? Siccome io conosco questa, qual è quella che è più familiare a te?

"j18eos": Dovresti dimostrare non che tutte le successioni di quell'insieme convergono a \(0\), ma che l'insieme di tutti i possibili limiti sia infinito numerabile.
Hai idee in merito?

In realtà no. So solo che per costruzione l'insieme [tex]\{ 1/n \ \vert \ n=1,2,3,\dots\} \cup \{0\}[/tex] è fatto da punti di accumulazione di [tex]E = \bigcup_{m=1}^{+\infty} E_{m}[/tex], ma non saprei dire se questi siano tutti e soli i possibili limiti o perché, se ce ne sono altri, l'insieme resti infinito numerabile... un aiutino?

[_GaS_11]

Scusate se mi intrometto, però ne approfitto in quanto in questi giorni sto studiando anche gli spazi metrici.
Direi che potrebbe andare bene una cosa del genere:
Sia '' $E=[a,b]sub(QQ,d)$ '' con '' $d$ '' metrica euclidea. Ovvero non siamo in '' $RR$ '' ma in '' $QQ$ '', quindi sono omessi i numeri irrazionali. Dovrebbe andare bene poiché: '' $EsubQQsubRR$ '' quindi vale il teorema di Heine - Borel.
$AAr>0,AAqinE,EEh!=q:hinB(q,r)$. Infatti tra due numeri razionali vi sono infiniti numeri razionali.
$-oo '' $E$ '' è chiuso poiché in '' $QQ$ '' contiene tutti i punti di accumulazione.
Mi sembra tutto a posto.

[j18eos]

Ma quale intromissione _GaS_!!!

"_GaS_":...'' $ E $ '' è chiuso poiché in '' $ QQ $ '' contiene tutti i punti di accumulazione...

Questo è sbagliato: \((\mathbb{Q};d)\) non è uno spazio metrico completo; l'esempio classico è dato dalla successione \(\displaystyle\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\in\mathbb{Q}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\) che converge al numero di Nepero \(e\), il quale è irrazionale (Hermite, XIX secolo).

@EdmondDantès Per definizione un insieme chiuso in uno spazio topologico è il complementare di un insieme aperto.
Ma il tuo problema è costruire un insieme numerabile compatto con una infinità numerabile di punti di accumulazione?

[_GaS_11]

Grazie per la dritta J18eos!
Comunque è servito.

[keccogrin-votailprof]

"j18eos":@EdmondDantès Per definizione un insieme chiuso in uno spazio topologico è il complementare di un insieme aperto.

E allora per insieme aperto cosa intendi? Un insieme fatto solo da punti interni, cioè per ognuno dei quali ogni intorno è interamente contenuto nell'insieme, sei d'accordo?

"j18eos":Ma il tuo problema è costruire un insieme numerabile compatto con una infinità numerabile di punti di accumulazione?

Esattamente è questo:

"EdmondDantès":
Costruire un insieme compatto di numeri reali i cui punti di accumulazione formino un insieme numerabile.

Magari per te è elementare ma per me non lo è. La proposta di soluzione del mio primo post mi sono accorto che non era corretta, perché mancava lo zero e in più commettevo un errore simile a _GaS_ in quanto non dimostravo che non ci potessero essere altri punti di accumulazione...

[Plepp]

"EdmondDantès ":
si dovrebbe dimostrare che non ci sono altri punti di accumulazione (ad esempio potrebbe esistere una successione convergente ad un qualche elemento di \(\displaystyle E_{m} \) che non sia della forma \(\displaystyle 1/k \) ).

Inizialmente avevo pensato a un esempio simile al tuo, ma mi sono accorto di questa seccatura...Per ovviare a questo problema potresti costruire l'insieme in modo leggermente diverso. E' semplice dimostrare che l'unico punto di accumulazione di[nota]$n\ge 2$ ce l'ho messo a cavolo evidentemente va bene qualsiasi altro intero positivo.[/nota]
\[E_0:=\{1/n\,|\,n\in\mathbb{N}^\ast,\ n \ge 2 \}\]
è $x=0$. Ora dovrebbe essere sufficiente definire $E_1,...,E_n$ "traslando" di $1,...,n$ unità $E_0$, ad esempio
\[E_1:=\{1+1/n\,|\,n\in\mathbb{N}^\ast,\ n \ge 2\}\]
il cui unico punto di accumulazione è $x=1$. L'unione $\bigcup E_i$ dovrebbe fare a caso nostro.
Sei d'accordo?

[_GaS_11]

@EdmonDantès.
Scusa, all'apparenza può sembrare che intaso il topic, ma penso anche tu trarrai benefici dai miei errori ( inoltre discuto di un argomento relativo ). Quindi metto in spoiler il seguente messaggio.
@J18eos.

Per favore, correggimi se sbaglio. '' $QQ'=RR$ '', quindi in qualsiasi intervallo l'insieme dei punti di accumulazione lo supera, pertanto non è chiuso. Questo lo sapevo, ma l'errore che ho commesso prima dovrebbe essere questo: ho considerato quel tratto di retta '' $[a,b]$ '' '' a buchi '', senza gli irrazionali. Quindi in questo ambito in ogni intorno di un qualsiasi punto dell'intervallo ricadono infiniti punti, allora sono punti di accumulazione. Siccome non considero gli irrazionali in '' $QQ$ '' i punti di accumulazione non superano l'insieme stesso, quindi in '' $QQ$ '' è chiuso. Ma qui c'è l'errore, in quanto esistono gli irrazionali ( anche se al di fuori dell'insieme definito ), che sono tutti di accumulazione. L'esclusione da una definizione non preclude l'esistenza di un oggetto. Di conseguenza '' $[a,b]$ '' non è chiuso. Dovrebbe essere proprio questo.

[Plepp]

@EdmondDantès
mi ero perso "compatto" (che tra l'altro sta anche nel titolo del topic!)...ignora il mio post precedente

[j18eos]

"EdmondDantès":...per insieme aperto cosa intendi? Un insieme fatto solo da punti interni, cioè per ognuno dei quali ogni intorno è interamente contenuto nell'insieme, sei d'accordo?...

Sì, sono d'accordo!

"EdmondDantès":...Magari per te è elementare ma per me non lo è...

No, non lo è nemmeno per me... Proverei con l'insieme:
\[
\bigcup_{p\in\mathbb{P}}\left\{\frac{1}{p}-\frac{1}{p^n}\in\mathbb{Q}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset[0;1].
\]
EDIT1 Anche questo insieme è una unione numerabile di insiemi chiusi (e limitati per cui compatti); l'insieme unione è limitato per quanto evidenziato, è chiuso perché il complementare è aperto, e i suoi punti di accumulazione sono \(\displaystyle\left\{\frac{1}{p}\in\mathbb{Q}\right\}_{p\in\mathbb{P}}\).
Ti risulta?

[j18eos]

"_GaS_":...j18eos...

La j è piccola!

"_GaS_":...'' $ QQ'=RR $ ''...

Questo è corretto!

"_GaS_":...in qualsiasi intervallo l'insieme dei punti di accumulazione lo supera...

Non ho capito che intendi; chiarito ciò, potrei darti una risposta sul resto.

[keccogrin-votailprof]

"j18eos":Proverei con l'insieme:
\[
\bigcup_{p\in\mathbb{P}}\left\{\frac{1}{p}-\frac{1}{p^n}\in\mathbb{Q}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset[0;1].
\]

Scusami, non capisco una cosa: che insieme di indici è \(\displaystyle \mathbb{P} \)?

[j18eos]

In genere con \(\mathbb{P}\) si intende l'insieme dei numeri primi (positivi)!

In altri contesti può essere usato per indicare lo spazio proiettivo su\di qualcosa... non entro nei dettagli.

[_GaS_11]

@j18eos.

La j è piccola!

In genere quando cito un utente scrivo il suo nick sempre con l'iniziale maiuscola, indipendentemente da come è scritto il suo nome. Una forma di rispetto. Da ora cambio.
Tornando al problema: un insieme è chiuso rispetto al '' campo d'azione '' oppure l'essere chiuso è una sua caratteristica assoluta? La seconda opzione dovrebbe essere quella giusta. Altrimenti '' $[a,b]$ '', come prima definito, sarebbe chiuso in '' $QQ$ ''. L'errore era stato questo: considero un insieme privato degli irrazionali; poiché ogni punto dell'intervallo possiede infiniti punti, sono tutti d'accumulazione. Siccome non ci sono gli irrazionali ( esclusi per definizione ) allora l'insieme dei punti d'accumulazione non supera '' $[a,b]$ '' ( ricordiamo: solo razionali ). Quindi in '' $QQ$ '' '' $[a,b]$ '' è chiuso. Fin qui c'è l'errore. Possibile correzione: anche se ho escluso gli irrazionali dalla definizione dell'insieme, essi esistono. L'esclusione da una definizione non preclude l'esistenza di un oggetto. Quindi anche se li ho esclusi dall'insieme, esistono e sono punti d'accumulazione. Quindi l'insieme dei punti d'accumulazione supera '' $[a,b]$ '', di conseguenza non è chiuso. Insomma, un intervallo non è chiuso rispetto a '' $QQ$ '' o a '' $RR$ '', ma è chiuso e basta.
- Per '' ...in qualsiasi intervallo l'insieme dei punti di accumulazione lo supera... '' intendo che lo contiene ( l'insieme dei punti d'accumulazione di '' $QQ$ '' contiene strettamente '' $QQ$ '' ).
- '' $QQ$ '' è aperto o chiuso in se stesso? Nessuno dei due.
- Meditando mi sono accorto del fatto che l'essere chiuso o meno non è una caratteristica assoluta dell'insieme, ma dipende dalla metrica imposta. Ad esempio '' $QQ$ '' con la metrica discreta è sia chiuso che aperto. Comunque la domanda prima fatta continua a valere. Basta riconsiderarla con la condizione '' a parità di metrica imposta ''.
Spero di essere stato più chiaro.

Ti ringrazio.

[merdino]

Manteniamo l'idea iniziale. L'insieme numerabile \(\{1/n\}\cup\{0\}\) è un sottoinsieme di \([0,1]\). Il problema mi sembra cercare delle successioni di punti di \([0,1]\) che tendono ai vari \(x \in \{1/n\}\cup\{0\}\), però per stare "sicuri" non ci devono essere altri punti di accumulazione. Prima cerco l'\(m\) per il quale va bene la disuguaglianza (mi spiegherò poi)
\[
\frac{1}{n}>\frac{1}{n}-\frac{1}{m}>\frac{1}{n+1}
\]
Quindi

\[
\begin{split}
1/n-1/m&>1/(n+1) \\
(m-n)/(mn)&>1/(n+1) \\
(n+1)(m-n)&>mn \\
nm-n^{2}+m-n&>mn \\
-n^{2}+m-n&>0 \\
m&>n^{2}+n \\
m&>n(n+1)
\end{split}
\]

Ora, gli insiemi della forma
\[
\left \{\frac{1}{n}-\frac{1}{m},m>n(n+1)\right\}_{n,m \in \mathbb{N}}
\]
sono sostanzialmente una successione di punti tendenti a \(1/n\) da destra, e sono contenuti in una zona limitata, fra \(1/n\) e \(1/(n+1)\). In questo modo, prendendo tali insiemi al variare di \(n\) i punti non si "confondono" fra loro e ad occhio \(\{1/n\}\cup\{0\}\) sono i soli di accumulazione perché altrove non c'è sufficiente "concentrazione".

[j18eos]

@_GaS_

Forse sto iniziando a capire il tuo errore: un insieme è chiuso\aperto in assoluto nel senso di invarianza per omeomorfismi!
Riprendendo il tuo esempio: l''insieme \(\E=displaystyle[a;b]\cap\mathbb{Q}\) è chiuso in\(\displaystyle\mathbb{Q}\) ma non in\(\displaystyle\mathbb{R}\); come ti ho mostrato, possono esistere successioni di \(E\) che non convergono in esso ma in\(\displaystyle\mathbb{R}\) poiché comunque\(\displaystyle E\subset\mathbb{R}\)!
Devi stare un pò attento allo spazio ambiente.

@merdino Il tuo ragionamento mi fila giusto; eccezion fatta che per:

"merdino":...ad occhio \( \{1/n\}\cup\{0\} \) sono i soli punti di accumulazione...

fermo restando che il derivato di quell'insieme che hai costruito è numerabile; per motivi di forza maggiore.

[merdino]

Il derivato è l'insieme dei punti di accumulazione. Se quelli sono i soli punti di accumulazione allora il derivato è numerabile.

[j18eos]

Te lo scrivo in matematichese: tu dici \(\displaystyle E'=\left\{\frac{1}{n}\in\mathbb{Q}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\cup\{0\}\) e io dico che è sicuramente \(\displaystyle E'\supseteq\left\{\frac{1}{n}\in\mathbb{Q}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\cup\{0\}\)!

Non sono sicuro dell'uguaglianza stretta.