Angolo tra rette (?!) - definizione oscura
Causa la mia scarsa voglia di prendere appunti quel giorno, ho qui una definizione di qualcosa, ma non so di cosa 
A quanto pare si tratta dell'angolo tra due rette del piano, ma la definizione è ben diversa da quella che conosco già e che è stata data due pagine prima.
Si considerano due rette $r$,$s$ del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ di direzione $u_1,w_1\in V$ rispettivamente ($V$ è lo spazio vettoriale euclideo associato a $\mathbb{E}^2$), $u_1$,$w_2$ versori, e un riferimento cartesiano $\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$, con $\mathcal{B}=(v_1,v_2)$ base ortonormale di $V$.
Esiste un unico versore $u_2$ tale che $\mathcal{B}_r=(u_1,u_2)$ sia una base ortonormale di $V$ concordemente orientata con $\mathcal{B}$; analogamente, sia $w_2$ l'unico versore che rende $\mathcal{B}_s=(w_1,w_2)$ una base ortonormale di $V$ concorde a $\mathcal{B}$.
Si considera dunque la matrice di passaggio $A$ da $\mathcal{B}_r$ a $\mathcal{B}_s$; per quanto detto si ha $A\in "SO"_2(RR)$, dunque esiste un unico $\theta\in[0,2\pi)$, tale che
\[A=\begin{pmatrix}
\cos \theta& -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\]
$\theta:=\hat{rs}$ (?!?!). Fine.
Quello che riesco a dedurre facendo uno sforzo di immaginazione è che $\theta$ è l'angolo di cui bisogna ruotare $r$ (o meglio $u_1$) per sovrapporla a $s$ (ovvero a $w_1$) nel "senso di rotazione" determinato dalla base $\mathcal{B}$.
Detto ciò (ammesso che corrisponda a verità), questo $\theta$ ha un nome? Si può definire solo in questo modo barbaro? Non trovo questa definizione da nessuna parte (dispense di università varie, Sernesi, ecc...), né fin'ora ho trovato la definizione di un angolo tra rette che varia tra $0$ e $2\pi$, ma solo di angoli che variano tra $0$ e $\pi$ (convessi e non orientati).
Siete la mia ultima speranza
Ciao!
A quanto pare si tratta dell'angolo tra due rette del piano, ma la definizione è ben diversa da quella che conosco già e che è stata data due pagine prima.Si considerano due rette $r$,$s$ del piano euclideo $\mathbb{E}^2$ di direzione $u_1,w_1\in V$ rispettivamente ($V$ è lo spazio vettoriale euclideo associato a $\mathbb{E}^2$), $u_1$,$w_2$ versori, e un riferimento cartesiano $\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$, con $\mathcal{B}=(v_1,v_2)$ base ortonormale di $V$.
Esiste un unico versore $u_2$ tale che $\mathcal{B}_r=(u_1,u_2)$ sia una base ortonormale di $V$ concordemente orientata con $\mathcal{B}$; analogamente, sia $w_2$ l'unico versore che rende $\mathcal{B}_s=(w_1,w_2)$ una base ortonormale di $V$ concorde a $\mathcal{B}$.
Si considera dunque la matrice di passaggio $A$ da $\mathcal{B}_r$ a $\mathcal{B}_s$; per quanto detto si ha $A\in "SO"_2(RR)$, dunque esiste un unico $\theta\in[0,2\pi)$, tale che
\[A=\begin{pmatrix}
\cos \theta& -\sin \theta\\
\sin \theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\]
$\theta:=\hat{rs}$ (?!?!). Fine.
Quello che riesco a dedurre facendo uno sforzo di immaginazione è che $\theta$ è l'angolo di cui bisogna ruotare $r$ (o meglio $u_1$) per sovrapporla a $s$ (ovvero a $w_1$) nel "senso di rotazione" determinato dalla base $\mathcal{B}$.
Detto ciò (ammesso che corrisponda a verità), questo $\theta$ ha un nome? Si può definire solo in questo modo barbaro? Non trovo questa definizione da nessuna parte (dispense di università varie, Sernesi, ecc...), né fin'ora ho trovato la definizione di un angolo tra rette che varia tra $0$ e $2\pi$, ma solo di angoli che variano tra $0$ e $\pi$ (convessi e non orientati).
Siete la mia ultima speranza
Ciao!
Risposte
Prendi un vettore generatore della prima retta e uno generatore della seconda, diciamo $v,w$. Allora la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz in uno spazio vettoriale euclideo (reale) di dimensione finita dice che il numero reale \( \lambda(v,w)=\displaystyle \frac{v\cdot w}{|v||w|}\) e' compreso tra -1 e 1. Definisci allora
$$
\theta =\theta(v,w)= {\rm arccos}\; \lambda(v,w)
$$
Ora puoi divertirti a mostrare tutti i teoremi che conosci:
La definizione data e' coerente col fatto che uno si aspetta che $|v|^2 + 2v\cdot w +|w|^2 = |v|^2 + 2|v||w|\cos\theta(v,w) +|w|^2$; vale il teorema di Pitagora nella forma $v\perp w \iff |v+w| = |v| + |w|$; vale il teorema di Carnot nella forma $|v-w|^2 = |v|^2-2|v||w|\cos\theta(v,w) + |w|^2$
$$
\theta =\theta(v,w)= {\rm arccos}\; \lambda(v,w)
$$
Ora puoi divertirti a mostrare tutti i teoremi che conosci:
La definizione data e' coerente col fatto che uno si aspetta che $|v|^2 + 2v\cdot w +|w|^2 = |v|^2 + 2|v||w|\cos\theta(v,w) +|w|^2$; vale il teorema di Pitagora nella forma $v\perp w \iff |v+w| = |v| + |w|$; vale il teorema di Carnot nella forma $|v-w|^2 = |v|^2-2|v||w|\cos\theta(v,w) + |w|^2$
Ciao buddha, la definizione che hai dato è quella che conosco già di angolo non orientato tra due vettori (o tra due rette), e che si trova due pagine prima del bordello che ho scritto su.
Quella che ho scritto su dovrebbe essere la definizione di angolo orientato tra due rette, che non trovo su alcun libro/dispensa/ecc. che ho a disposizione...
Quella che ho scritto su dovrebbe essere la definizione di angolo orientato tra due rette, che non trovo su alcun libro/dispensa/ecc. che ho a disposizione...
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