Dimostrazione che $RR^m$ non è omeomorfo a $RR^n$,$m,n inNN,m!=n$

[lordb]

Ciao a tutti,

sapete dove possa reperire la dimostrazione del risultato sopra riportato?

Ovviamente il problema sta nel dimostrare la non continuità di qualsiasi applicazione biettiva tra i due insiemi (o della sua inversa).

Grazie in anticipo

[vict85]

La dimostrazione che conosco io usa il fatto che in due spazi hanno gruppi di omologia e coomologia differenti (o anche usando il risultato analogo per le sfere). La trovi sull'hatcher se non ricordo male. La dimostrazione dipende comunque da che omologia o coomologia si usa.

[lordb]

Ok grazie mille

[killing_buddha]

"vict85":La dimostrazione che conosco io usa il fatto che in due spazi hanno gruppi di omologia e coomologia differenti (o anche usando il risultato analogo per le sfere). La trovi sull'hatcher se non ricordo male. La dimostrazione dipende comunque da che omologia o coomologia si usa.

Davvero ci possono essere anelli tali che $H^n(X,R)=0$ e $H^n(X,S)\neq 0$, per uno stesso spazio $X$ e anelli dei coefficienti diversi? Il famoso risultato di Eilenberg e Steenrod che assiomatizza le teorie (co)omologiche dice invece che le coomologie (a patto che esse siano "normali", in un senso spiegato dal loro teorema) sono isomorfe grado per grado. E anche cambiando anello di base, la formula dei coefficienti universali ti spiega cosa ti perdi per strada. Non ho mai avuto tempo di capire davvero questa cosa.
Per il resto la dimostrazione che conosco io usa i gruppi di omotopia delle sfere (una delle poche cose che si sanno su di essi): supponiamo per assurdo che \(\mathbb R^n\cong\mathbb R^m\); allora sono omeomorfe anche le loro compattificazioni di Alexandrov, cioe' succede che \(S^n\cong S^m\). Peccato che pero' adesso (supponendo wlog $nteorema di Freudenthal).

[vict85]

Il calcolo dei gruppi è potenzialmente differente, ma ovviamente la dimostrazione in sé è la stessa. Mi ero espresso male.