Piani osculatori curva piana

[simone94sr]

Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema:
Dimostrare che una curva è piana se e solo se i piani osculatori passano per uno stesso punto.
Per la prima implicazione ho dimostrato che il piano osculatore in un punto coincide con il piano in cui giace la curva (e in modo indiretto ho dimostrato che tutti i piani osculatori passano per uno stesso punto) ma non ne sono convinto al 100%.
Per la seconda implicazione ho considerato il piano passante per $p$ (il punto in comune tra i piani osculatori) e per $a(s)$ (punto generico della curva) e perpendicolare al versore binormale della curva, utilizzando i fasci di piani. Questo ragionamento mi sembra però macchinoso e in effetti mi porta a calcoli enormi.
Avete qualche suggerimento?
Grazie

[anonymous_af8479]

Mi sembra che, usando le formule di Frenet, si possa dimostrare la cosa velocemente ed elegantemente ...

[simone94sr]

Sinceramente ci avevo pensato ma in questo modo non avrei saputo utilizzare la condizione di passaggio per un punto. Ho optato per quella strada per sfruttare le formule di definizione dei piani (osculatori) nello spazio. In che modo posso usare le formule di Frenet?

[anonymous_af8479]

Se c'è un punto fisso $P$, allora:

$\alpha(s) + A(s) t(s) + B(s) n(s) = P$,

dove $\alpha(s)$ è una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza, $A(s)$ e $B(s)$ sono due opportune funzioni scalari, $t$ è la tangente ed $n$ la normale.

Derivando ed applicando Frenet si ottiene che la torsione è nulla, per cui la curva è piana ...

[simone94sr]

Ti ringrazio! Scusa per il disturbo!

[anonymous_af8479]

Nessun disturbo, spero che l'idea sia corretta ...