Base di intorni
buongiorno a tutti
qualcuno mi può guidare nel risolvere questo esercizio?
Sia $tau_{cof}$ la topologia cofinita su un insieme $X$. Si dimostri che :
1- per ogni $x in X$, l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ coincide con il punto $x$
2- se $B_x$ è una base di intorni al punto $x$, allora $nnn_{B in B_x} B={x}$
grazie mille
qualcuno mi può guidare nel risolvere questo esercizio?
Sia $tau_{cof}$ la topologia cofinita su un insieme $X$. Si dimostri che :
1- per ogni $x in X$, l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ coincide con il punto $x$
2- se $B_x$ è una base di intorni al punto $x$, allora $nnn_{B in B_x} B={x}$
grazie mille
Risposte
Per il primo punto: ragiona col complemento in \(\displaystyle X\) di quella intersezione!
Il secondo è conseguenza diretta del primo punto.
Il secondo è conseguenza diretta del primo punto.
vediamo se il mio ragionamento per il primo punto è giusto
gli intorni di $x$ sono tutti gli insiemi contenenti $x$ il cui complementare è finito
quindi il complementare di quella intersezione è l'unione di tutti i complementari degli intorni di $x$
è giusto?
se è giusto però non capisco come da questo arrivo a dimostrare il risultato
gli intorni di $x$ sono tutti gli insiemi contenenti $x$ il cui complementare è finito
quindi il complementare di quella intersezione è l'unione di tutti i complementari degli intorni di $x$
è giusto?
se è giusto però non capisco come da questo arrivo a dimostrare il risultato
Ma i complementari degli intorni di \(\displaystyle x\) sono insiemi (finiti) tali che...
il complementare è l'insieme di tutti gli elementi che non appartengono all'intorno di $x$
Lo so...
Mi sento un tonto: se \(\displaystyle x\in S\subseteq X\) allora cosa puoi affermare sul complementare di \(\displaystyle S\) in \(\displaystyle X\); indipendentemente da qualsiasi topologia?
Mi sento un tonto: se \(\displaystyle x\in S\subseteq X\) allora cosa puoi affermare sul complementare di \(\displaystyle S\) in \(\displaystyle X\); indipendentemente da qualsiasi topologia?
che $x$ non appartiene al complementare di $S$
scusami ti sto facendo impazzire...
scusami ti sto facendo impazzire...
Non credo dato che già son pazzo di mio 
Tornando a noi, siamo giunti alla conclusione che i complementari in \(\displaystyle X\) degli intorni di \(\displaystyle x\) sono insiemi finiti a cui non appartiene \(\displaystyle x\) stesso: come concludi, dopo tutto quello che ho scritto?
Tornando a noi, siamo giunti alla conclusione che i complementari in \(\displaystyle X\) degli intorni di \(\displaystyle x\) sono insiemi finiti a cui non appartiene \(\displaystyle x\) stesso: come concludi, dopo tutto quello che ho scritto?
Posso dire che $x$ non appartenendo ai complementari degli intorni non appartiene neanche al complementare dell'intersezione degli intorni quindi appartiene all'intersezione degli intorni.
ma come dimostro che l'intersezione è proprio lui...qui non ci sono ancora arrivata...
ma come dimostro che l'intersezione è proprio lui...qui non ci sono ancora arrivata...
Ma è così difficile scrivere una formula:
\[
x\in\bigcap_{I\in\mathcal{U}_X(X)}I\iff x\notin\bigcup_{F\in\mathcal{P}_f(X)\mid x\notin F}F
\]
ove \(\displaystyle\mathcal{U}_X(x)\) è l'insieme degli intorni di \(\displaystyle x\) in \(\displaystyle(X;\tau)\) e \(\displaystyle\mathcal{P}_f(X)\) è l'insieme delle parti finite di \(\displaystyle X\).
Chi è quell'unione?
\[
x\in\bigcap_{I\in\mathcal{U}_X(X)}I\iff x\notin\bigcup_{F\in\mathcal{P}_f(X)\mid x\notin F}F
\]
ove \(\displaystyle\mathcal{U}_X(x)\) è l'insieme degli intorni di \(\displaystyle x\) in \(\displaystyle(X;\tau)\) e \(\displaystyle\mathcal{P}_f(X)\) è l'insieme delle parti finite di \(\displaystyle X\).
Chi è quell'unione?
$uuu_{F in P_{f}(x)|xnotinF} F$ è il complementare di $nnn_{IinU_{x}(x)}I$
...calcola esplicitamente quella unione...
$ uuu_{F in P_{f}(x)|xnotinF} F = (I_1)^(-1) uu (I_2)^(-1) uu...$
scusa...penso di non aver scritto quello che volevi però non saprei scrivere altro su quell'unione
scusa...penso di non aver scritto quello che volevi però non saprei scrivere altro su quell'unione
Ma quali scuse
Quali sono i sottoinsiemi finiti di \(\displaystyle X\) più fessi che consideri?
Quali sono i sottoinsiemi finiti di \(\displaystyle X\) più fessi che consideri?
i punti singoli
...e quindi cosa ottieni con quella unione?
hai ragione ottengo tutti i punti tranne $x$ perché è escluso per ipotesi
Sei riuscita ad oltrepassare il tuo Piave
si finalmente ce l'ho fatta grazie a te 
Prego, di nulla!
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